Hằng Đẳng Thức

HẰNG ĐẲNG THỨC đáng nhớ* Một số hằng đẳng thức tổng quỏt 1... Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương... Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:Dạng 1: Phân tích đa thức thàn

HẰNG ĐẲNG THỨC đáng nhớ

* Một số hằng đẳng thức tổng quỏt

1 an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)

2 a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)

3 a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k)

4 (a + b)n = an + nan-1b +

2 1

) 1 (n−

n

an-2b2+…+

2 1

) 1 (n−

n

a2bn-2 +nabn-1 + bn

5 (a -b)n = an - nan-1b +

2 1

) 1 (n−

n

an-2b2-

…-2 1

) 1 (n−

n

a2bn-2 +nabn-1 - bn

Bài tập1: Chứng minh cỏc hằng đẳng thức sau :

1 (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2(AB+BC+AC)

2 (A+B+C)3 = A3 +B3 +C3 +3(A+B) (.B+C) (.A+C)

3 ( 2 2) ( ) (2 )2

2 A +B = A+B + A−B

4 (A2 +B2)(.X2 +Y2)=(AX −BY) (2 + AX +BY)2

Bài tập 2 Tớnh :

a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)

A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)

A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005

A = ( 1 + 2002 ) 2005 : 2 = 2011015

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = …

B =(232 - 1)(232 + 1) – 264

B = 264 – 1 – 264

B = - 1

* Chỳ ý: Quan sỏt và biến đổi bài toỏn bằng cỏch sử dụng hằng đẳng thức A 2 – B 2

Bài tập 3: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất hay giỏ trị lớn nhất của cỏc biểu thức sau:

a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x2 + 8x

c/ C = - 2x2 + 8x – 15

Giải a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3

Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.

b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16

Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 4 = 0 ⇔ x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4

c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7

Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2

* Chú ý:

 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:

- Chứng minh A > m với m là một hằng số.

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )

 Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:

- Chứng minh A < t với t là một hằng số.

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )

Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c ) 2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c

Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )

⇔a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac

⇔a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0

⇔2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0

⇔ ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0

⇔ ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0

⇔ ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0

⇔ a = b hay b = c hay c = a

⇔a = b = c

* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức

(a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

Bài tập 5 Chứng minh rằng:

a/ 7.52n + 12.6n  19 ( n∈ N)

b/ 11n+2 + 122n+1  133 ( n∈ N)

Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n  19

Vì ( 25n – 6n )  ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n )  19 và 19.6n  19

Vậy 7.52n + 12.6n  19 ( n∈ N)

b/ 11n+2 + 122n+1  133 = 112 11n + 12.122n

= 12.( 144n – 11n) + 133.11n  133

Vì (144n – 11n)  (144 – 11) nên (144n – 11n)  133

* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài tốn bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức

a n – b n = (a- b)(a n-1 + a n-2 b + … + ab n-2 + b n-1 ) do đĩ (a n – b n )  (a- b)

Bài tập 6 Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

Giải 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

⇔ (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0

⇔ ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0

⇔ ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0

⇔ x = - 5 ; y = -3; z = 8

* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài tốn bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức

(a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

Bài tập 7: Cho x =   

1 số chữ

n

15

11

; y =   

1 số chữ

n

19

11

Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.

Ta cĩ : y =   

1 số chữ

n

19

11

=   

1 số chữ

n

15

11

+ 4 = x + 4

Do đĩ: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2

hay xy + 4 =   

1 số chữ

n

2

17

11

là số chính phương

* Xét bài tốn phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta cĩ: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc

= [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)

= (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c)

= (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab)

= (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

= 2

1 (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]

Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0

=>

2

1

(a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0

=> 





=

− +

− +

−

= + +

0 ) ( ) ( ) (

0

2 2

b a

c b a

=> 





=

=

= + +

c b a

c b

Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.

Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.

DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ

Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử

Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:

(x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)

Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử

Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3

Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:

(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2)

Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử

(x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3

= (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3

= x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3

= 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x)

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3

Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c

=>x+y+z = a+b+c

=>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:

Bài 1: Cho 1+ 1+1 =0

z y

zx x

yz z

Từ 1+1 +1 =0

z y

3 1 1 1

3 3







= + +

= + +

xyz

xyz z

y x

xyz y

xyz x

xyz z

xyz y

zx x

yz z xy

Bài 2: Cho abc ≠0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = 









 +











 +











 +

a

c c

b b

a

1 1

1

Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => a a+=b b+=c c=0

Nếu a+b+c = 0 thì A = = − − − =−1









 +











 +











 +

α

b c

a b

c c

c a c

c b b

b a

Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8

=> A có 2 giá trị: -1 và 8

Bài 3: Cho xyz ≠0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 Tính P = 









 +











 +







x

z z

y y

x

1 1

1

Đặt a= xy, b = yz, c =zx

Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => 





=

=

= + +

c b a

c b

Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz

xy

y z x zx

x z y yz

z y x x

x z z

z y y

y x x

z x

y y











 +











 +







 +

=











 +











 +







1 1

1

= ( )( )( ) 1

−

−

yz xy zx

zx yz xy

Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8

Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3

Ta biến đổi b-c = b-a+a-c

Ta được A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)

Vì a+b+c=0 -> A=0

Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B =

xzy

z y x

−

+

3

vì x+y+z=0 => x3+y3+z3 = 3xyz => B = 3 3

3 3 3

−

=

−

=

−

+ +

xyz

xyz xyz

z y x

Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c ≠0 tính giá trị biểu thức M= ( )2

2 2 2

c b a

c b a

+ +

+ +

ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 0

= ( ) ( [ ) ( ) ( ) ] 0

2

1 a+b+c a−b 2+ b−c 2+ c−a 2 =

Mà a+b+c ≠0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = 0 => a=b=c

1 9

3

2 2

2 2 2

=

= + +

a

a a

a a a

Bài 7: Cho a+b+c=0 (a ≠ 0; b ≠0; c ≠ 0) tính giá trị biểu thức

A =

b a c

c a

c b

b c

b a

a

−

−

+

−

−

+

−

−

Ta có A =

abc

c b

a3+ 3+ 3 vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc

A = 3abc 3

2 2

2 2

2 2

2 2

2

b a c

c a

c b

b c

b a

a

−

−

+

−

−

+

−

−

Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab

TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac

Nên B=

abc

c b a ab

c ac

b bc a

a

2 2

2 2

3 3 3 2 2

ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc

-> B =

2

3 2

3

=

abc abc

Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức:

b c b

a b a c

Đặt B =

b

a c a

c b c

b









− +

=











− +

=

a ac bc b b a

c b

a c a

c b b a

c b

a

1

1

abc

c ab

c ab

b a c b a b a

1

2 1

−

Tương Tự B 1 2 ;

3

abc

a c

b

a

+

=

2 1

3

abc

b a

c

b

+

=

−

abc

c b a abc

b abc

a abc

3

2 1

2 1 2

Vì a+b+c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 +2.3 =9

abc abc

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3

(3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = 0

=> (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = 0 =>

Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = 0

¸p dông nhËn xÐt trªn ta cã tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

x3 +y3+z3- 3xyz=1

Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 <=> (x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1

Ta xét x2+y2+z2-xy-xz=

2

1 [(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ] ≥ 0 nên chỉ có thể xảy ra







=

−

−

− + +

= + +

) 2 ( 1

) 1 ( 1

2 2

x

z y

x

Từ 1 ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 1 (3)

Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0 <2-3>

Nên x2 +y2 + z2 = 1

giả sử x2 ≥ y2 ≥z2

=>z = 0; y = 0; x = ±1









=

=

=

0 0 1

z y

x

không t/m









=

=

=

0 0 1

z

y

x

T/m phương trình

và TH: =>









=

=

=

0 1 0

z y

x

và









=

=

=

1 0 0

z y x

DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC

Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc

Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Ta có a3 +b3+c3 = 3abc 





=

=

= + +

⇔

c b a

c b

Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c ≠0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0)

=> ∆ABC Là tam giác đều

Bài 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a3+b3+c3+d3 = 3 (d+c) (ab-cd)

Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3

=3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b)

= 3(c+d)(ab-cd)

Bài 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)

từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z)5= -x5

=>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5

=>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = 0

=>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0

=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= 0

=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 0

2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm

C Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất

Bài tập 1 : Cho a>b>0, biết

a/ 3a2 +3b2 =10ab Tính

b a

b a P

+

−

=

b/ 2a2 +2b2 =5ab Tính

b a

b a Q

−

+

=

a Xét

4

1 6 10

6 10 6

3 3

6 3 3 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

+

−

= + +

− +

= + +

+

−

=













+

−

=

ab ab

ab ab ab

b a

ab b

a b ab a

b ab a

b a

b a

2

1

0⇒ =

P

b ( Tương tự ) Xét E2 =9⇒E =3

Bài tập 2:

a/ Cho a+b+c=0và a2 +b2 +c2 =14 Tính A=a4 +b4 +c4

b/ Cho x+y+z=0 và x2 +y2 +z2 =a2 Tính B=x4 + y4 +z4theo a

a/ Ta có: 142 =(a2 +b2 +c2)2 ⇒a4 +b4 +c4 =196−2(a2b2 +b2c2 +c2a2)

2 0

0

2 2 2

+ +

⇒

= +

a

( + + )2 =49⇒ 2 2 + 2 2 + 2 2 +2 ( + + )=49⇒ 2 2 + 2 2 + 2 2 =49

Vậy A=a4 +b4 +c4 =196−2.49=98

4

z y x z y x z

y

2 2

2

4 4

B a z

y x z y x z

x z y y x z

y

⇒

Bài tập 3: Cho x≠0và a

x

x+1 = Tính các biểu thức sau theo a

2

x

x

x x

x x

x x









−











 +











=

+

+

1

1 1

n

n n

n n

n

x

x x

x x

x x

x

Ta tính được A=a2 −2 B=a3 −3a C =a6 −6a4 +9a2 −2 D=a7 −7a15+14a3−7a

Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số

a/ a2(b−c)+b2(c−a)+c2(a−b)

b/ a3 +4a2 −29a+24à

c/ x4 +6x3 +7x2 −6x+1

d/ x3 +6x2 +11x+6

e/ (x+1) ( x+3) ( x+5) ( x+7)+15

f/ ( ) (3 ) (3 )3

x z z y

y

Gợi ý:

a/ Thay b−c=−(c−a)−(a−b)

Sau khi thay, ta được

(a−b) (c2 −a2)+(c−a) (b2 −a2)=(a−b)(c−a) ( [ c+a) (− b+a) ]=(a−b)(c−a)(c−b)

b/ Đáp số: (a−1)(a−3)(a+8)

1

3 −

x

d/ Đáp số: (x+1)(x+2)(x+3)

e/ Đáp số: (x2 +8x+10).(x+6) (.x+2)

f/ Đặt x−y=a y−z =b z−x=c

( )3 3

c

b

⇒

(a b) c a b c ab a b abc ab

b

⇒

(x y)(y z)(z x)