b Với những giá trị nào của x thì biểu thức có giá trị nguyên... Kết hợp hai đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh... và kết luận của bài toán được suy ra trực tiếp... Cộng hai đẳng
Trang 12 BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Bài 2.1 (2005) Cho biểu thức Q =
√ a(1 − a)2
1 − a2 : 1 − a√a
1 −√
a +
√
a 1 + a√a
1 +√
a −√a
a) Rút gọn Q
b) Xét dấu của biểu thức P = Q
a − 1 2
Giải
Với lưu ý là 1 − a√
a = (1 −√
a) (1 +√
a + a) và 1 + a√
a = (1 +√
a) (1 −√
a + a) ta có a)
Q =
√ a(1 − a)2
1 − a2 :(1 +√a + a +√
a).(1 −√
a + a −√
a)
=
√ a(1 − a)2
1 − a2 : (1 − a)2
=
√ a
1 − a2
b) Ta có P = Q
a − 1 2
=
√ a(2a − 1) 2(1 − a2) Từ đây ta có nếu 0 < a <
1
2 hoặc a > 1 thì P < 0, còn với 1
2 < a < 1 thì P > 0.
Bài 2.2 (2006) Cho biểu thức P = x + 2
x − 2 − x − 2
x + 2 +
x2 − 8x − 4
x2− 4
· x + 14 x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Với những giá trị nào của x thì biểu thức có giá trị nguyên
Giải
1 Điều kiện x 6= 0, x 6= ±2 Ta có
P = (x + 2)
2− (x − 2)2+ x2− 8x − 4
x + 14 x
= x
2 − 4
x2 − 4·
x + 14
x + 14
x .
2 Ta biến đổi P về dạng P = 1 + 14
x Để P nguyên thì
14
x phải là số nguyên, nên x phải là ước của 14 Chú ý là x phải khác ±2 Vậy x = ±1, ±7, ±14
Bài 2.3 (2006*) Tính tổng S = 1
1.3 +
1 3.5 + · +
1 (2n + 1)(2n + 3)
Trang 2Ta phân tích từng số hạng của tổng trên như sau
1 1.3 =
1 2
1 − 1 3
, 1
3.5 =
1 2
1
3 − 1 5
,
· · · · 1
(2n + 1)(2n + 3) =
1 2
1 2n + 1 − 1
2n + 3
Cộng tất cả các đẳng thức trên ta được
S = 1 2
1 − 1 2n + 3
= n + 1 2n + 3. Bài 2.4 (2007) Cho biểu thức P =
√
a + 1
√
a − 1 +
√
a − 1
√
a + 1 với a ≥ 0.a 6= 1 Tìm a để P = 3.
Giải
Trước tiên ta rút gọn P
P = a + 2
√
1 + 1 + a − 2√
a − 1
2(a + 1)
a − 1 .
Do đó P = 3 khi 2(a + 1)
a − 1 = 3 ⇒ a = 5.
Bài 2.5 (2008) Chứng minh rằng a
√
a + b√
b
√
a +√
b −√ab =√
a −√
b2 với a > 0, b > 0
Giải
Với lưu ý a√
a + b√
b =√
a +√
b a −√
ab + b thay vào ta có ngay điều phải chứng minh
Bài 2.6 (2008*) Tính tổng A = 1
1 +√
2+
1
√
2 +√
3+
1
√
3 +√
4 + · · · +
1
√
2007 +√
1008. Giải
Ta phân tích từng số hạng của tổng trên như sau
1
1 +√
2 =
√
2 − 1, 1
√
2 +√
3 =
√
3 −√ 2,
· · · · 1
√
2007 +√
1008 =
√
2008 −√
2007
Cộng tất cả các đẳng thức trên ta được
A =√
2008 − 1
Trang 3Bài 2.7 (2009) Tính A =p8 − 2√
15 −p8 + 2√
15 +√
12
Giải
Ta có
A =
r√
5 −√
3
2
−
r√
5 +√
3
2
+ 2√ 3
=√
5 −√
3 −√
5 +√ 3
+ 2√
3 = 0
Bài 2.8 Cho x +√
x2+ 3y +py2+ 3= 3, tính giá trị của biểu thức E = x + y
Giải
x2+ 3 − x √
x2+ 3 + x= 3,
p
y2+ 3 − y py2+ 3 + y= 3
Nhân hai đẳng thức này và sử dụng giả thiết ta được
−x +√x2+ 3
−y +py2+ 3
= 3
Khai triển đẳng thức trong giả thiết và đẳng thức trên ta được
√
x2+ 3py2+ 3 + xy − xpy2+ 3 − y√
x2+ 3 = 3,
√
x2+ 3py2+ 3 + xy + xpy2+ 3 + y√
x2+ 3 = 3
Công hai đẳng thức này ta được
√
x2+ 3py2+ 3 = 3 − xy
Bình phương và rút gọn ta được
x2+ 2xy + y2 = 0 ⇒ E = x + y = 0
Bài 2.9 Cho
ax3 = by3 = cz3 1
x +
1
y +
1
z = 1
, chứng minh rằng
3
p
ax2+ by2+ cz2 =√3
a +√3
b +√3
c
Giải
Đặt ax3 = by3 = cz3 = k thì ta có
3
√
a +√3
b +√3
c =√3
k 1
x +
1
y +
1 z
=√3 k và
3
p
ax2+ by2+ cz2 = 3
s k
x +
k
y +
k
z =
3
√ k
Kết hợp hai đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh
Trang 4Bài 2.10 Cho a, b, c thỏa mãn a
2002 =
b
003 =
c
2004, chứng minh 4(a − b)(b − c) = (c − a)2 Giải
Theo tính chất của phân thức thì
a
2002 =
b
003 =
c
2004 =
a − b
−1 =
b − c
−1 =
c − a
2 .
Từ đây ta có
(c − a) = −2(a − b) = −2(b − c)
và kết luận của bài toán được suy ra trực tiếp
Bài 2.11 Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện
(
a2002+ b2002+ c2002 = 1
a2003+ b2003+ c2003 = 1 , tính tổng
a2001+ b2002+ c2003 Giải
Từ đẳng thức thứ nhất ta suy ra
|a| ≤ 1, |b| ≤ 1, |c| ≤ 1
Do tính chất của lũy thừa những số nhỏ hơn 1 ta có
1 = a2002+ b2002+ c2002 ≥ a2003+ b2003+ c2003 = 1
Vậy chỉ có thể xảy ra (a, b, c) = (1, 0, 0) = (0, 1, 0) = (0, 0, 1) Từ đây a2001+ b2002+ c2003 = 1 Bài 2.12 Cho a, b, c, d thỏa mãn a2+ b2+ (a + b)2 = c2+ d2+ (c + d)2, chứng minh
a4+ b4+ (a + b)4 = c4+ d4+ (c + d)4 Giải
Khai triển giả thiết ta được
Khai triển kết luận ta được
a4+ b4+ 2a3b + 3a2b2 + 2ab3 = c4+ d4+ 2c3d + 3c2d2+ 2cd3 (3) Nhưng [3] thu được ngay lập tức khi ta bình phương [2]
Bài 2.13 Cho a, b, x, y là những số thực thỏa mãn
x4
a +
y4
b =
1
a + b
x2 + y2 = 1
Chứng minh rằng
x1994
a997 +y
1994
b997 = 2
(a + b)997
Trang 5Từ phương trình đầu của hệ ta có:
b(a + b)x4 + a(a + b)y4 = ab ⇒ b2x4 + a2y4+ ab(x4+ y4) = ab
Ta nhận được
(bx2+ay2)2−2abx2y2+ab[(x2+y2)2−2x2y2] = ab ⇒ (bx2+ay2)2−4abx2y2 = 0 ⇒ (bx2−ay2)2 = 0
Từ đây thì
bx2− ay2 = 0 ⇒ x
2
a =
y2
b . Theo tính chất của phân thức thì
x2
a =
y2
b =
x2+ y2
a + b =
1
a + b
Do đó nếu lũy thừa mũ 997 thì ta nhận được
x1994
a997 = 1
(a + b)997,y
1994
b997 = 1
(a + b)997 Cộng hai đẳng thức này với nhau, vế theo vế ta có điều phải chứng minh
Bài 2.14 Chứng minh rằng nếu abc 6= 0 và a + b + c = 0 thì
1
b2+ c2− a2 + 1
c2+ a2− b2 + 1
a2+ b2− c2 = 0
Giải
Từ giả thiết a + b + c = 0 nên
b2+ c2− a2 = b2+ c2− (b + c)2 = −2bc
Tương tự cho những biểu thức còn lại, thay vào ta được
1
b2+ c2 − a2 + 1
c2+ a2 − b2 + 1
a2 + b2− c2 = − 1
2ab − 1
2bc − 1 2ca
= −a + b + c
2abc = 0 Bài 2.15 Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa mãn
x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by, x + y + z 6= 0
Chứng minh rằng
1
1 + a +
1
1 + b +
1
1 + c = 2.
Giải
Trang 6(
x = by + cz
y = ax + cz , cộng hai đẳng thức này ta được
(a + 1)x = (b + 1)y
Tương tự ta có đẳng thức: (b + 1)y = (c + 1)z Từ đó ta có
(a + 1)x = (b + 1)y = (c + 1)z = l ⇒ 1
a + 1 =
x
l,
1
b + 1 =
y
l,
1
c + 1 =
z
l. Cộng lại ta được
1
1 + a +
1
1 + b +
1
1 + c =
x + y + z
2(ax + by + cz)
ax + by + cz = 2.
Bài 2.16 Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức C = 80
x2− 2x + 1 có giá trị nguyên.
Giải
Rõ ràng để C nguyên thì x2− 2x + 1 phải là các ước nguyên dương của 80(vì x2− 2x + 1 ≥ 0) và đồng thời nó phải là số chính phương(vì x2− 2x + 1 = (x − 1)2) Vì vậy x2− 2x + 1 chỉ có thể là
1, 4, 16 Từ đó ta tìm được các giá trị của x là
x =∈ {−3, −1, 0, 2, 3, 5}
Bài 2.17 Tìm các giá trị nguyên x sao cho biểu thức B = 4x + 1
3x + 2 có giá trị nguyên.
Giải
Vì x nguyên nên 3x + 2 6= 0 Ta nhận thấy biểu thức 4x + 1
3x + 2 nguyên thì biểu thức 3.
4x + 1 3x + 2 cũng nhận giá trị nguyên Mà
3.4x + 1 3x + 2 =
12x + 3 3x + 2 = 4 −
5 3x + 2.
Do đó điều kiện để 3.4x + 1
3x + 2 nguyên là 3x + 2 phải là ước của 5 Kiểm tra tập giá trị có thể của 3x + 2 là ±1, ±5, đối chiếu với B nguyên ta có x ∈ {3, 1}
Bài 2.18 Tìm các giá trị nguyên x sao cho biểu thức D = 2x
2− 3x + 5 3x + 4 có giá trị nguyên. Giải
Ta có biểu thức D nguyên thì 9D cũng là biểu thức nguyên Nhưng khi đó
9D = 18x
2− 27x + 45 3x + 4
= 6x − 17 + 113
3x + 4.
Do đó 9D nguyên thì 3x + 4 phải là ước của 113 Đối chiếu với điều kiện để D nguyên ta tìm được
x ∈ {−39, −1}
Trang 7Bài 2.19 Rút gọn biểu thức
C =
r
1 + 1
22 + 1
32 +
r
1 + 1
32 + 1
42 + · · · +
r
1 + 1
20022 + 1
20032 Giải
Trước tiên ta chứng minh một kết quả là nếu a + b + c = 0 và abc 6= 0 thì
r 1
a2 + 1
b2 + 1
c2 =
1
a +
1
b +
1 c
Thật vậy
1
a +
1
b +
1 c
2
= 1
a2 + 1
b2 + 1
c2 + 2 1
ab+
1
bc +
1 ca
= 1
a2 + 1
b2 + 1
c2 + 2a + b + c
abc
= 1
a2 + 1
b2 + 1
c2 (do a + b + c = 0)
Áp dụng vào ta có
r
1 + 1
22 + 1
32 =
s
1 + 1
22 + 1 (−3)2 =
1 + 1
2− 1 3
= 1 + 1
2 −1
3, r
1 + 1
32 + 1
42 =
s
1 + 1
32 + 1 (−4)2 =
1 + 1
3− 1 4
= 1 + 1
3 −1
4,
· · · ·
r
1 + 1
20022 + 1
20032 =
s
1 + 1
20022 + 1
(−2003)2 =
1 + 1
2002 − 1
2003
= 1 + 1
2002− 1
2003. Cộng các đẳng thức trên ta được
C = 2001 + 1
2 − 1
2003 = 2001
2001
4006. Bài 2.20 Rút gọn biểu thức D =p4 +√
7 −p4 −√
7 −√ 2
Giải
Ta có
D = √1
2
q
8 + 2√
7 −
q
8 − 2√
7 − 2
= √1 2
r√
7 + 1
2
−
r√
7 − 1
2
− 2
!
= √1 2
√
7 + 1 −√
7 + 1 − 2= 0
Trang 8Bài 2.21 Cho các số thực dương a và b thỏa mãn a100+ b100 = a101+ b101 = a102+ b102 Tính giá trị của biểu thức P = a2004+ b2004
Giải
Sử dụng đẳng thức
a102+ b102 = (a101+ b101)(a + b) − ab(a100+ b100)
ta được
1 = a + b − ab ⇒ (a − 1)(b − 1) = 0
Từ đây ta tìm ra được (a, b) = (1, 1) Vậy P = 2
Bài 2.22 Tính giá trị của biểu thức A = x3+ 15x tại x = q3
5(√
6 + 1) −q3
5(√
6 − 1)
Giải
Với chú ý là
3
q 5(√
6 + 1).3
q 5(√
6 − 1) = √3
125 = 5
ta được
x3 = 5(√
6 + 1) − 5(√
6 − 1) − 3.5
3
q 5(√
6 + 1) − 3
q 5(√
6 − 1)
= 10 − 15x
Do đó x3 + 15x = 10
Dưới đây là một số bài tập luyện tập
1 Rút gọn biểu thức P = 1
1 +√
5+
1
√
5 +√
9+ · · · +
1
√
2001 +√
2005 (HD: Tương tự như bài 2.6 với chú ý 1
1 +√
5 =
1 4
√
5 − 1) Kết quả là 1
4
√
2005 − 1
2 Rút gọn biểu thứcp6 +√
11 −p6 −√
11 (HD: tương tự như bài 2.20)
3 Chứng minh giá trị của biểu thức M = 2x
x + 3√
x + 2+
5√
x + 1
x + 4√
x + 3+
√
x + 10
x + 5√
x + 6 (x ≥ 0) không phụ thuộc vào x (HD: sử dụng các biến đổi x+3√
x+2 = (√
x+1)(√
x+2), x+4√
x+3 = (√
x + 1)(√
x + 3), x + 5√
x + 6 = (√
x + 2)(√
x + 3) để ra kết quả M = 2)
4 Với giá trị nào của x thì biểu thức
M = 2x√x + x −√
x
x√
x − 1 − x +
√ x
x − 1
x − 1 2x +√
x − 1+
√ x
2√
x − 1 đạt giá trị nhỏ nhất (HD: rút gọn M =
√ x(√
x + 1)
x +√
x + 1, từ đó M ≥ 0).
Trang 95 Tính giá trị của biểu thức P = x3+ y3− 3(x + y) + 2004 với x = p3 3 + 2√
2 +p3 3 − 2√
2 và
y =p3 17 + 12√
2 +p3 17 − 12√
2 (HD: tương tự bài 2.22)
6 Chứng minh rằng số x = 3
s
3 +
r
9 + 125
27 − 3
s
−3 +
r
9 + 125
27 là số hữu tỉ (HD: tương tự bài 2.22)
7 Cho x = 3
s
a +a + 1 3
r 8a − 1
3
s
a − a + 1 3
r 8a − 1
3 , chứng minh rằng với a ≥
1
8 thì x là
số tự nhiên (HD: tương tự bài 2.22)
8 Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức 2x
2+ 12x − 5
3 − 2x ,
x + 3
x2− 1,
x2− 4
x3− 1 nhận giá trị nguyên (HD: tương tự bài 2.18)
9 Chứng minh rằng số a =√3
4 +√3
2 là số vô tỉ (HD: tương tự như bài 2.22)
10 Cho a, b > 0, c 6= 0, chứng minh rằng 1
a +
1
b +
1
c = 0 ⇔
√
a + b = √
a + c +√
b + c (HD: biến đổi tương đương bằng cách bình phương)
Bài tập không có hướng dẫn
11 Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 3√
xy, tính giá trị của biểu thức x
y.
12 Cho a + b + c = 1 và 1
a +
1
b +
1
c = 0, tính a
2+ b2+ c2
13 Rút gọn biểu thức P =pa + b + c + 2√
ac + bc +pa + b + c − 2√
ac + bc
14 Chứng minh P =
3 −
r
3 +
q
3 +p3 + · · · +√
3
6 −
r
3 +
q
3 +p3 + · · · +√
3
< 1
5, tử số có 2007 dấu căn, mẫu số có
2006 dấu căn
15 Chứng minh
r 2
q
3p4 √
2010 < 3
16 Rút gọn các biểu thức dưới đây
√
x + 3√
2
√ 2x + 2√
x − 3√
2 − 6 +
√ 2x − 6
√ 2x + 2√
x + 3√
2 + 6 (b) M =
3
√
1 + a+
√
1 − a
:
3
√
1 − a2 + 1
(c) P = √ x
xy + y +
y
√
xy − x −x + y√
xy
Trang 10(d) A =
x + 2
x√
x − 1 +
√ x
x +√
x + 1 +
1
1 −√ x
:
√
x − 1 2
(e) A = x3− 1
x − 1 + x
x3+ 1
x + 1 − x
: x(1 − x
2)2
x2− 2 (f) A =√
x +
3
p
2 −√
3.p6 7 + 4√
3 − x
4
p
9 − 4√
5.p2 +√
5 +√ x
(g) A =
2
r
3 +
q
5 −p13 +√
48
√
6 +√ 2 (h) A = 3 +
√ 5
√
10 +p3 +√
5
√ 5
√
10 +p3 −√
5 (i) B =
r 2
3 +
r 3
2 + 2
! √
2 +√ 3
4√
√ 3
√
2 +√ 3
! (24 + 8√
6)
√ 2
√
2 +√
3+
√ 3
√
2 −√ 3
!
(j) 3
q
2√
3 − 4√
2.6
q
44 + 16√
6
(k) E =
v u u t6 + 2√2
s
3 −r√
2 +√
12 +
q
18 −√
128
(l)
2(a + b)
√
a3− 2√2b3 −
√ a
a +√ 2ab + 2b
·
√
a3+ 2√
2b3
2b +√
2ab −√a
!
(m) a
3− 5a + (a2− 1)√a2− 9 + a2+ 3
a3− 5a + (a2− 1)√a2− 9 − a2− 3
...a + b = √
a + c +√
b + c (HD: biến đổi tương đương cách bình phương)
Bài tập khơng có hướng dẫn
11 Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 3√
xy, tính...
x + 10
x + 5√
x + (x ≥ 0) không phụ thuộc vào x (HD: sử dụng biến đổi x+3√
x+2 = (√
x+1)(√
x+2), x+4√
x+3 = (√
x + 1)(√
x... Chứng minh số x = 3
s
3 +
r
9 + 125
27 − 3
s
−3 +
r
9 + 125
27 là số hữu tỉ