TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9CHUYÊN ĐỀ 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN DỰA TRÊN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ A.. GIỚI THIỆU: Dạng toán tìm GTLN, GTNN là một trong những dạng t
Trang 1TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
CHUYÊN ĐỀ 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN DỰA TRÊN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
A GIỚI THIỆU:
Dạng toán tìm GTLN, GTNN là một trong những dạng toán được xem là khó
và phức tạp, ta thường gặp trong các đề thi HSG toán 9
Thế nhưng SGK cũng như chương trình toán phổ thông hiện hành lại không
đề cập tới dạng toán này, cũng như không giúp các em HS được tiếp cận và học được cách giải các dạng toán này Do đó người thầy cần phải vạch ra các hướng giải cho các em, từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao
Hôm nay trong buổi báo các tham luận, xin giới thiệu chủ đề “Một số phương pháp tìm GTLN, GTNN dựa trên các phép biến đổi đại số”
Nội dung bài báo cáo cũng sưu tầm rất nhiều sách, nhiều tài liệu trên mạng và chọn lọc sắp xếp lại theo các dạng cho khoa học và gần gũi với dạng đề thi toán Violympic Sưu tầm cách giải hay để có được nội dung như bài báo báo hôm nay
Dạng tìm GTLN, GTNN tạm gọi là cực trị, thường gặp ở 2 dạng, một dạng thông thường đơn giản là dùng phương pháp biến đổi đại số, một dạng cao hơn đó là dùng bất đẳng thức côsi Phần này do đơn vị THCS BL đảm trách
Trong đề tài này chỉ giới hạn ở một số bài qua phép biến đổi đại số từ cơ bản đến nâng cao Phần lớn các em chưa tiếp cận với dạng toán này vì SGK phổ thông hiện hành không có bài nào đề cập đến chủ đề này, nhưng dạng toán này lại gặp rất nhiều trong các đề thi HSG toán Do đó khi dạy cho các em cũng phải bắt đầu từ các bài cơ bản đến nâng cao
Trong chuyên đề này được sắp xếp các dạng bài từ dễ đến khó, không đưa vào các dạng bài tìm GTLN, GTNN theo bđt côsi (BĐT Côsi viết riêng ở chuyên đề 2)
B NỘI DUNG:
MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN
QUA PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Trang 2I Dạng 1 : Biểu thức dạng A = ax 2 + bx + c
A Lí thuyết:
Cách giải 1: (Biến đổi):
Nếu a > 0 , ta biến đổi A về dạng A = [f(x)]2 + k ≥ k
Khi đó MinA = k , và x = -b/2a Nếu a < 0 , ta biến đổi A về dạng A = k - [f(x)]2 ≤ k
Khi đó MaxA = k , và x = -b/2a
B Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = -x2 + 3x – 5
Giải: A = -x2 + 3x – 5 = -(x2 – 3x + 5)
= − − ÷ + = − − ÷ −
11 4 Vậy Max A = 11
4
− khi x = 3
2
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B = 3x2 −6x+28
KQ MinB = 5
Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức C = 2 3
4
x x
− + +
C =
2
− + + = − − ÷ ≤ =
Vậy MaxC = 1 khi x = 1
2
Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức D = 4x – x2
Cách 1: Biến đổi 4x – x2 = – (x2 – 4x) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2 ≤ 4
MaxD = 4 khi x = 2
Trang 3II Dạng 2 A = g(f(x)) trong đó f(x) ≥ 0
A Lí thuyết
Thông thường ta xác định một phần nào đó trong biểu thức là dương hoặc âm, sau đó ta lần lượt nhân, chia, cộng, trừ với các số có liên quan đến biểu thức đó cho đến khi biểu thức đúng với biểu thức đã cho
B Các ví dụ:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= − 10 4x− 2
Giải Ta có x− ≥ 2 0
4 x 2 0
⇒ − 10 4 x− ≤ 2 10
Vậy MaxA = 10 khi x = 2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B= − 5 3(2x− 1) 2
Giải Ta có (2x− 1) 2 ≥ 0
=> − 3(2x− 1) 2 ≤ 0
=> 5 3(2 − x− 1) 2 ≤ 5 Vậy MaxB = 5 khi x = 1
2 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2
1 ( 6) 3
C x
=
Giải Ta có (x− 6)2 ≥ 0 ⇒ − (x 6) 2 + ≥ 3 3
=> 2
(x 6) 3 3 ≤
Vậy MaxC = 1
3 khi đó x = 6 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2
3 ( 2) 4
D x
=
Giải Ta có (x+ 2) 2 ≥ 0 => (x+ 2) 2 + ≥ 4 4
=> 2
(x 2) 4 ≤ 4
4
Trang 4Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E= −(x 1) ( x+2) ( x+3) ( x+6)
Giải: E = −( x 1) ( x+6) (x+2) (x+3)
E = x + x− x + x+
E = x + x − ≥ −
Vậy MinE = -36 khi x = 0 hoặc x = -5
III Dạng 3 Dạng phân thức A
B
A Lí thuyết
Cách giải: Biến đổi phân thức về các dạng sao cho có chứa bình phương của biểu thức chứa x Khi đó biểu thức chứa x là không âm
B Các ví dụ:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 8
2
x A x
+
= +
1
A
có x2 ≥ 0 =>x2 + ≥ 2 2
2
2 2
x
+ 2
6
2
x
<=> + ≤ + =
+
Vậy MaxA = 4 khi x = 0
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 15 16 3
C
x
+ +
= với x > 0 Giải: Ta biến đổi theo 2 hướng:
1) Hằng đẳng thức bình phương một tổng:
C
+ + +
Biểu thức (x + 4)2 nhỏ nhất khi x = -4 < 0 (loại)
2) Hằng đẳng thức bình phương một hiệu:
C
− + +
Vậy MinC = 23
3 khi x = 4
Trang 5Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
x x D
x x
+ +
= + + với x > 0
Giải: (Chia đa thức tử cho đa thức mẫu) ta được:
( )
2
2
x x D
+ +
Xét tiếp (x + 1)2 ≥ 0 => (x + 1)2 + 2 ≥ 2 => 2
(x + 1) + 2 ≤ 2
(x + 1) + 2 2 2
Vậy MaxD = 7
2 khi đó x = -1
IV Dạng 4 : Dạng tổng nhiều giá trị tuyệt đối:
A Lý thuyết:
Dùng các tính chất:
(1) x + ≥ +y x y để tìm GTNN
Dấu bằng xảy ra khi x.y ≥ 0
(2) Nếu có P= − + −x a x b (a < b)
Thì MinP = b – a khi a ≤ x ≤ b
(3) Nếu có Q= ax b− + ax c− (b < c)
Thì MinQ = c – b khi b x c
a ≤ ≤ a (4) Nếu có R= ax b+ + ax c+ (b < c)
Thì MinR = c – b khi b x c
− ≤ ≤ −
B Các ví dụ:
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A = 2x− +5 2x−1
Giải: A = 2x− +5 2x− =1 2x− + −5 1 2x ≥ 2x− + −5 1 2x = − =4 4
Vậy MinA = 4
Trang 6Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức B = x− + − + −1 x 2 x 3
Giải: Ta có x− + − = − + − ≥ − + − =1 x 3 x 1 3 x x 1 3 x 2
Dấu “=” xảy ra khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0 1 ≤ x ≤ 3
2 0
x− ≥ ( x−2nhỏ nhất khi x = 2) Suy ra x− + − + − ≥1 x 2 x 3 2
Vậy MinB = 2 khi x = 2
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức C = x− + − + − + −1 x 2 x 3 x 4 Giải: Ta có x− + − = − + − ≥ − + − =1 x 4 x 1 4 x x 1 4 x 3
Dấu “=” xảy ra khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 1 ≤ x ≤ 4
x− + − = − + − ≥ − + − =2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x 1
Dấu “=” xảy ra khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 2 ≤ x ≤ 3
x− + − + − + − ≥ + =x x x khi 2 ≤ x ≤ 3
Vậy MinC = 4 khi 2 ≤ x ≤ 3
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức D = 25x2 −20x+ +4 25x2
25x −20x+ +4 25x = 5x−2 + 5x
5= x− +2 5x = −2 5x + 5x ≥ −2 5x+5x =2
Vậy MinD = 2
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức E = 2x− +5 2x−7
Theo (3) ta có MinE = 7 – 5 = 2 khi 5 7
2≤ ≤x 2 Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức F = 3x+ +5 3x+7
Theo (4) ta có MinF = 7 – 5 = 2 khi 7 5
− ≤ ≤ −
Trang 7Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức G = 1 6− x+9x2 + 9x2 −12x+4
Giải: G = ( )2 ( )2
3x−1 + 3x−2 = 3x− +1 3x−2
3= x− + −1 2 3x ≥ 3x− + −1 2 3x =1
Vậy MinG = 1
Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức H = x− + − + + −1 x 2 x 2014
Giải: Ta có
H = ( x− + −1 x 2014) (+ x− + −2 x 2013) + + ( x−1007 + −x 1008)
H = ( x− +1 2014−x ) (+ x− +2 2013−x) + + ( x−1007 +1008−x) MinH = 2013 + 2011 + … + 1 = 10072
HĐT 1 + 3 + 5 + … + k =
2 1 2
k +
÷
V Dạng 5: Dạng hiệu hai giá trị tuyệt đối:
A Lí thuyết:
Dùng các tính chất:
x − ≤ −y x y để tìm GTLN
Dấu bằng xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0
B Các ví dụ:
Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức A = 3x+ −5 3x+7
Giải: Ta có A = 3x+ −5 3x+ ≤7 (3x+ −5) (3x+7) =2
Vậy MaxA = 2
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 5x+ −7 5x−2
Giải: Ta có B = 5x+ −7 5x− ≤2 (5x+ −7) (5x−2) =9
Vậy MaxB = 9
Trang 8Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức C = 4x2 −1975 − −4x2 +2025
Giải: Ta có C = 4x2 −1975 − −4x2 +2025
C = 4x2 −1975 − 4x2 −2025 ≤ (4x2 −1975) (− 4x2 −2025) =50
Vậy MaxC = 50
Bài 4: Tìm GTLN của các biểu thức (Giải tương tự)
b) E = 19x5 +1890 −19x5+2014
VI Dạng 6: Dạng tổng hai căn thức: A+ B
A Lí thuyết:
Để tìm GTNN ta dùng bất đẳng thức A+ B ≥ A B+ (A ≥ 0 ; B ≥ 0)
Dấu “=” xảy ra khi A = 0 hoặc B = 0
Để tìm GTLN ta dùng bất đẳng thức Côsi:
Với A ≥ 0 ; B ≥ 0 thì A + B ≥ 2 A B hay 2 A B ≤ A + B
dấu “=” xảy ra khi A = B
Phương pháp tìm GTLN của biểu thức dạng A+ B, ta bình phương biểu thức đó, sau đó áp dụng BĐT Côsi 2 A B ≤ A + B
Chú ý:
- Nếu a.b = k (không đổi) thì Min(a+b) = 2 k a = b
- Nếu a + b = k (không đổi) thì Max(a.b) =
2
4
k
a = b
B Các ví dụ:
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x− +3 5−x
Giải: ĐKXĐ 3 ≤ x ≤ 5
Trang 9Ta có A = x− +3 5− ≥x (x− + −3) (5 x) = 2
Dấu “=” xảy ra khi x = 3 hoặc x = 5
Vậy MinA = 2 khi x = 3 hoặc x = 5
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x+12+ x−4
Giải: ĐK x ≥ 4 Thay x = 4 vào biểu thức A = 4 + 0 = 4
Vậy MinA = 4
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B= x−12 + x−4
Giải: ĐK x ≥ 12 Thay x = 12 vào biểu thức B= +0 8= 8
Vậy MinB = 8
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức B = 20x−414+ 2014 20− x
Bài 5: Cho x + y = 15 Tìm GTNN của biểu thức C = x− +4 y−3
VII Dạng 7: Dạng hiệu hai căn thức: A− B
A Lí thuyết:
Dùng bất đẳng thức a − b ≤ a b− (a ≥ b ≥ 0) để tìm GTLN Dấu “=” xảy ra khi b = 0 hoặc a = b
B Các ví dụ:
Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức A = x+ −1 x−8
Giải: Ta có A = x+ −1 x− ≤8 (x+ − − =1) (x 8) 9 3=
Dấu “=” xảy ra khi x – 8 = 0 x = 8
Vậy MaxA = 3 khi x = 8
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 12x+1012 − 12x−1013
Giải: Ta có
Trang 10B = 12x+1012− 12x−1013≤ (12x+1012) (− 12x−1013) = 2025 45=
Vậy MaxB = 45
VIII Dạng 8 : Dạng hai biến
a Dạng hai biến đơn giản
Cách giải: Biến đổi biểu thức đã cho về dạng tổng bình phương của các đa thức.
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x= +2 y2 −2x+6y+11
Giải : A x= 2+ y2 −2x+6y+ =11 x2 −2x+ +1 y2 +6y+ +9 1
( ) (2 )2
= − + + + ≥
Vậy MinA = 1 khi x = 1 và y = -3
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B x= +2 y2 −2x−4y+7
Giải tương tự, kết quả MinB = 2 khi x = 1 và y = 2
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C = − +5 x2 2x−4y2 −4y
Giải: C = − +5 x2 2x−4y2 −4y= −5 (x2 −2x+4y2 +4 )y
( ) (2 )2
C = − x − x+ + y + y+ = − −x − y+ ≤
Vậy MaxC = 7 khi x = 1 và y = 1
2
−
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D x= +2 5y2 −2xy+4y+3
Giải: D x= +2 5y2 −2xy+4y+3
D x= − xy y+ + y + y+ +
( ) (2 )2
D= −x y + y+ + ≥
Vậy MinD = 2 khi x = y = 1
2
−
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E =( x2 −2x x) ( 2 −2x+2)
Giải: Đặt t = x2 – 2x
Ta có E = t(t + 2) = t 2 + 2t = t 2 + 2t +1 – 1 = (t + 1) 2 – 1 ≥ -1
MinE = -1 khi t = -1 x 2 – 2x = -1 (x – 1) 2 = 0 x = 1
Vậy MinE = -1 khi x = 1
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = +x2 5y2 −4xy+10x−22y+28
Trang 11Giải: F = +x2 5y2 −4xy+10x−22y+28
F = −x xy+ y + y − y+ + x− y+
F = −x y + y− + x− y +
F = −x y + x− y + + y− +
F = −x y+ + y− + ≥
MinF = 2 khi y = 1 và x – 2.1 + 5 = 0
Hay MinF = 2 khi x = -3 và y = 1
b Dạng hai biến phức tạp
A Lí thuyết:
Qui ước các hệ số trong biểu thức như sau
f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + g Tính Δ = b2 – 4ac
a) Nếu Δ > 0 thì biểu thức không có GTLN cũng không có GTNN b) Nếu ∆ < 0 :
+ Nếu a, c > 0 :
minf(x, )y = +g ae −bde cd+
∆
Và x0 = 2cd be− ; y0 = 2ae bd−
+ Nếu a, c < 0 :
maxf(x, )y = +g ae −bde cd+
∆
Và x0 = 2cd be− ; y0 = 2ae bd−
c) Nếu ∆ = 0:
11
b
d a
a
d g y NÕu
o o
+
−
=
−
=
>
=
≠
−
x y
; ý tuú x
vµ
) , minf(x :
0 a
vµ bd 2ae , 0 b
o
2
4
2
b
d a
a
d g y NÕu
o o
+
−
=
−
=
<
=
≠
−
x y
; ý tuú x
vµ
) , maxf(x :
0 a
vµ bd 2ae , 0 b
o
2
4
2
c
c
e g y NÕu
o
2
4
2
e y
; ý tuú x
vµ
) , minf(x :
0 c
vµ be 2cd , 0 b a
o=−
−
=
>
=
=
=
−
c
e g y NÕu
4
2
e y
; ý tuú x
vµ
) , maxf(x :
0 c
vµ be 2cd , 0 b a
−
=
−
=
<
=
=
=
−
Trang 12B Các ví dụ
1) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó.
A = 2x2 - 3xy + y2 + 5x - 7y +1 Giải
Ta có a = 2 ; b = -3 ; c = 1 ; d = 5 ; e = -7 ; g = 1
∆ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4.2.1 = 1 > 0 Vậy A không có GTLN cũng không có GTNN
2) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó
B = x2 - 2xy + 3y2 - 4x + 8y – 7 Giải
Ta có a = 1 ; b = -2 ; c = 3 ; d = -4 ; e = 8 ; g = -7
∆ = b2 - 4ac = (-2)2 + 4.1.3 = -8 < 0
Vì ∆ < 0 và a,c > 0
minf(x, )
1.8 ( 2).( 4).8 3.( 4)
8
ae bde cd
y = +g − +
∆
− − − + −
−
minf(x,y)= - 13 ; x = 1 và y = -1
3) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó
C = -4x2 +12x - 9y2 - 4x + 6y + 8 Giải
Ta có a = - 4 ; b = 12 ; c = -9 ; d = -4 ; e = 6 ; g = 8
a
a
d g y c
NÕu
4
2
d x
; ý tuú y
vµ
) , minf(x :
0 a
vµ be 2cd , 0 b
−
=
>
=
=
=
−
a
a
d g y c
NÕu
o
2
4
2
d x
; ý tuú y
vµ
) , maxf(x :
0 a
vµ be 2cd , 0 b
−
=
<
=
=
=
−
0
0
1 8
1 8
cd be x
ae bd y
Trang 13∆ = b2 - 4ac = (12)2 + 4.(-4).(-9) = 144-144 = 0.
Vì ∆ = 0 và a,c < 0 ; 2ac = bd = -48 nên:
o
tùy ý
y
o
x
b
Chọn xo 1 y o 2 1 2.1 1 1
o
C LỜI KẾT
Trên đây là một số dạng bài toán tìm GTLN, GTNN ở mức độ cơ bản dùng để giúp các em buổi đầu thực hành làm quen với dạng toán này Trong tài liệu này chỉ giới thiệu đến một số dạng bài tập tìm GTLN, GTNN qua phép biến đổi đại số, không
sử dụng đến BĐT Côsi nên có phần đơn giản hóa các dạng bài tập Tuy nhiên tài liệu cũng thể hiện được cụ thể hóa các dạng bài tập và được sắp xếp theo từng phần có cách giải gần như giống nhau Do thời gian có hạn nên không thể nghiên cứu đào sâu các dạng nâng cao hơn nữa Tài liệu soạn chưa thật kỹ lắm nên chắc có nhiều thiếu sót, mong các đồng nghiệp vui lòng góp ý để các bài viết sau được hay hơn
Xin chân thành cảm ơn
Cái dầu, ngày 15/10/2016
GV soạn
Trương Hùng Phương
( 4)
4 4.( 4)
d
a
−
−