Chuyên đề biến đổi đại số ứng dụng

Chuyên đề 2 BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC I... Chuyên đề 3: BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC I.. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC CƠ BẢN: 1.

Chuyên đề 2

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:

1.Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng :

1 (a b+ )2 =a2+2ab b+ 2

2 (a b− )2 =a2 −2ab b+ 2

3 a2−b2 =(a b a b+ )( − )

4 (a b+ )3 =a3+3a b2 +3ab2+b3→a3+b3 =(a b+ ) 3 (3− ab a b + )

5 (a b− )3 =a3−3a b2 +3ab2−b3

6 a3+b3 =(a b a+ )( 2−ab b+ 2)

7 a3−b3 =(a b a− )( 2+ab b+ 2) 8) (a b c+ + )2 =a2 +b2 + +c2 2ab+2ac+2bc

9) (a b c) a b c 3a b 3ab 3a c 3ac 3b c 3bc 6abc

= a b c 3(a b)(b c)(c a)

a b c abc a b c a b c ab ac bc a b c a b b c c a

Hệ quaû: Nếu a b c 0+ + = thì 3 3 3

a +b +c =3abc 11) a n −b n =(a b a− )( n− 1+a b n− 2 + + b n− 1)

II BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1: Cho

2

⎜

1) Rút gọn M thành một phân thức

2) Với giá trị nào của x thì M<0

3) Tìm x ∈ ] để 1

Bài giải:

1) Điều kiện của biến là:

x 2

⎧⎪⎪

Khi đĩ:

2

2

2

2

2

x 1 3

3x

⎜

−

2) Ta có: M< ⇔ − < ⇔0 x 1 0 x<1

Kết hợp với điều kiện của biến ta có kết quả:

x 1

x 0

1 x 2

⎧ <

⎪⎪

⎪⎪ ≠

⎪⎪

⎪⎨ ≠ −

⎪⎪

⎪⎪

⎪ ≠

⎪⎪⎩

−

Để 1

M ∈ ] khi x ∈ ] thì ta phải có:

x− là ước của 3 1

⎣ Đối chiếu với điều kiện của x ta có đáp số là: x= −2; x=2; x=4

Bài giải:

Điều kiện của biến là : x 0

≥

⎧⎪⎪

⎨ ≠

⎪⎪⎩

≥

⎧⎪⎪

⎨ ≠

( )

2

2

2

2

2 2

a 2 (a 1)

a 1 a 2

⎜

=⎜⎜⎝ + − + − + + − ⎟⎟⎟⎠ −

=

=

P= x +1

BÀI TẬP TỰ GIẢI:

Bài 1: Cho biểu thức: M x x 1 x 1 : x x

Tìm các giá trị của x để M cĩ nghĩa, khi đĩ hãy rút gọn M

>

⎨ ≠

⎪⎪⎩

Bài 2: Cho biểu thức: M x 2 x 3 x 2 : 2 x

Tìm các giá trị của x để M cĩ nghĩa, khi đĩ hãy rút gọn M

Đáp số:

⎧⎪ ≥

⎪⎪ ≠

⎪⎪⎩

Bài 3: Cho biểu thức: 2x 1 x 2x x x x (x x 1)( x)

Tìm các giá trị của x để M cĩ nghĩa, khi đĩ hãy rút gọn M

Đáp số:

1

1 x 4

⎧⎪⎪

⎪ ≥

⎪⎪

⎪⎪

⎪ ≠

⎪⎪⎪⎩

Bài 4: Cho biểu thức: M 2 x 9 2 x 1 x 3

Tìm các giá trị của x để M cĩ nghĩa, khi đĩ hãy rút gọn M

Đáp số:

⎧⎪ ≥

⎪⎪ ≠

⎪⎪⎩

Bài 2 : Cho 1 1 1 0

a b c+ + = Tính giá trị của biểu thức : 2 2 2

ab bc ca S

Bài giải:

Sử dụng kết quả: Nếu a b c 0+ + = thì 3 3 3

a +b +c =3abc

Từ giả thiết 1 1 1 0

a b c+ + = ta suy ra được 3 3 3

3

Khi đĩ:

ab bc ca abc abc abc

abc

Bài 3: Cho a3+b3+c3 =3abc Tính giá trị của biểu thức : S 1 a 1 b 1 c

Bài giải:

Sử dụng kết quả

( + + ) (⎡⎣ − ) (+ − ) (+ − ) ⎤⎦= ⇒ ⎢0 ⎡ + + == =

⎣

a b c

a b c

Nếu a= = ⇒b c P=(1+1)(1+1)(1+1)= 8

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho x ≠0 và x 1 a

x

+ = là một hằng số Tính theo a các biểu thức :

3 3

1

A x

x

x

= + ; C x7 17

x

= +

Bài giải:

+ =⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎝⎜⎜ + ⎟⎟⎠ ⎝−⎜⎜ + ⎟⎟⎠ với n>1

⎛ ⎞⎛⎟ ⎞ ⎛⎟ ⎞⎟

+ =⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎝⎜⎜ + ⎟⎟⎠ ⎝−⎜⎜ + ⎟⎟⎠

Với

2

2

⎜

Ta tính được:

3

2

2

3

1

x

⎜

=⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ − = − − = − + −

⎛ ⎞⎛⎟ ⎞ ⎛⎟ ⎞⎟

=⎜⎜ + ⎟⎟⎜⎜ + ⎟⎟−⎜⎜ + ⎟⎟= − + −

Bài 2: Cho x >0 thỏa mãn x2 12 7

x

5

1 x x

Bài giải:

Ta cĩ: 5 4 3

⎛ ⎞⎛⎟ ⎞ ⎛⎟ ⎞⎟

+ =⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎝⎜⎜ + ⎟⎟⎠ ⎝−⎜⎜ + ⎟⎟⎠

Do:

2

2 2

Mặt khác:

⎛ ⎞⎛⎟ ⎞ ⎛⎟ ⎞⎟

+ =⎜⎜ + ⎟⎟⎜⎜ + ⎟⎟−⎜⎜ + ⎟⎟= − =

Và

2

⎜

⎛ ⎞⎛⎟ ⎞ ⎛⎟ ⎞⎟

+ =⎜⎜ + ⎟⎟⎜⎜ + ⎟⎟−⎜⎜ + ⎟⎟= − =

Bài 2: Cho ba số x,y,z thỏa mãn đồng thời :

2 2 2

2 1 0

⎨

⎪ + + =

⎪⎩

Tính giá trị của biểu thức : A x= 2009+y2009+z2009

Bài giải:

Cộng từng vế các đẳng thức đã cho và biến đổi ta được;

⎧⎪ + =

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪ + =

⎪⎪⎩

Bài 3:Chứng minh rằng nếu a+b+c = 0 thì : 2 12 2 2 12 2 2 12 2 0

b +c −a +c +a −b +a +b −c =

Bài giải:

Từ giả thiết:

Tương tự:

+ +

Bài 4: Cho 4 3 4 216

a M

−

=

Bài giải:

Rút gọn biểu thức M

( ) ( )( )

4

4

2

2

16

16

a M

a

−

=

−

=

=

+

=

− Tìm a ∈ ] để A ∈ ]

+

Để A ∈] khi a ∈] thì ta phải cĩ:

a− là ước của 4 2

a 2 1

a 3

a 1

a 4

a 2 2

a 6

a 2 4

⎡ − =

⎡

⎢

⎢ − = − ⎢

⎢

⎢ − = − ⎢

⎢

⎢

⎢

⇔ ⎢ − =⎢ ⇔ ⎢⎢ =

= −

⎢

⎢ − = − ⎢

⎢

⎢ =

⎢⎣

Đối chiếu với điều kiện của a ta cĩ đáp số là: a =1;a= 3;a=4;a =6

Bài 5: Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì :

Bài giải:

Biến đổi vế trái:

a b a c b c b a c a c b

a b b c c a

Bài 6: Chứng minh rằng:

2)

3x 1 3x 2 3 3x 1 3x 2

⎜

= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠

3)

x 1 x x 1 2 x 1 x x(x 1)

Áp dụng: Tính các tổng sau:

1)

1.2 2.3 3.4 1

n S

n n

+

2)

n

n S

III MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ TRONG GIẢI TOÁN: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=2x2−6x+ 1

Bài giải:

Biến đổi biểu thức A

2

2

2 x

⎜

⎜

Dấu đẳng thức xảy ra khi x 3

2

2

= −

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=(x−1 x)( +2 x)( +3 x)( +6)

Bài giải:

Biến đổi biểu thức A

2 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi x= hoặc x0 = − Vậy min A5 = − 36

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

Bài giải:

Biến đổi biểu thức 4A

2

Vậy min A=2009

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n

n 2 2 n 1

11 + +12 + chia hết cho 133

Bài giải:

( )n

Nhận xét rằng: 144 11− =133 nên ta thêm và bớt 12.11 vào biểu thức A ta được: n

Do (144n −11n)#(144−11)=133 nên ta suy ra A 133# (đpcm)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm

4

x + + =x 2 0

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=x +2y −2xy 2x 10y+ −

B=(x 1)+ + −(x 3)

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có

x +y + −z xy yz xz− − ≥0

Bài 4: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử

(a−b) + −(b c) + −(c a)

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n

3

n +11n chia hết cho 6

-Hết -

Chuyên đề 3:

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC

I MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC CƠ BẢN:

1 Biến đổi căn thức bậc lẻ:

• 2 1 2 1k+ A k+ =A

• 2 1k+ A B =2 1k+ A.2 1k+ B

2 1k (B 0)

k

k

+ +

+

• 2 1 2 1k+ A k+ B A= 2 1k+ B

2 Biến đổi căn thức bậc chẵn:

• 2k A2k = A

• 2k A B =2k A.2k B (A.B 0)≥

2k (A.B 0 , B 0)

k

k

A A

• 2k A B2k = A.2k B (B 0)≥

• m n A =mn A (A 0)≥

Trong đó : k, m, n là những số nguyên dương

Chú ý: 2k A có nghĩa khi A ≥0

Biến đổi căn thức bậc hai:

• A B = A B (A.B 0)≥

• A A (A.B 0 , B 0)

• A B2 = A B (B 0)≥

Chú ý: A có nghĩa khi A ≥0

Biến đổi căn thức bậc ba:

• 3 A3 = A

• 3 A B =3 A B.3

• 3 A B A B3 = 3

•

II BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1:Chứng minh đẳng thức : 2 3 5 13 48 1

=

Bài giải:

2

2 3 5

2 3 5 13 48

(1)

2 3 5 2 3 1

2 3 4 2 3

2 3 1

=

+

=

+

+

2

2

2 3

1

3

2

1

+

=

+

−

+

Bài 2: Chứng minh đẳng thức :

(1)

Bài giải:

(1)

1 3

2

+ +

2 3 2 3 (2 3)(3 3) (2 3)(3 3) 3 3 3 3 1

−

Bài 3: Chứng minh đẳng thức : 449 20 6 449 20 6 3

2

Bài giải:

VT(1)

2

2

2

=

=

Hướng dẫn:

Bài 5: Xét biểu thức 3 9 3 2 1 1

P

Hướng dẫn:

Bài 6:Rút gọn biểu thức : A = 5− 3− 29 12 5−

Đáp số: A= 1

Bài 7: Thu gọn biểu thức : 2 3 6 8 4

Đáp số: P= +1 2

Rút gọn M với 0≤ ≤x 1

Hướng dẫn:

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức :A (3x= 3+8x2+2)2009với x ( 5 2) 17 5 383

5 14 6 5

=

Hướng dẫn:

3

= + Thay x vào A sẽ được A=32009

Bài 10:Cho 1 2 1

x =

−

Tính giá trị của biểu thức :A=(x4−x3−x2 +2x−1)2007

Hướng dẫn:

+ Rút gọn x

+ Thay x vào A

Bài 11: Tính giá trị của biểu thức : P (x= 4−4x2+3)2007

−

Hướng dẫn:

+ Rút gọn x

+ Thay x vào A

Bài 12: Cho số x=39 4 5+ +39 4 5−

1) Chứng tỏ x là nghiệm của phương trình x3−3x 18 0− =

2) Tính x

Hướng dẫn:

1) Ta cĩ:

3 3

Suy ra x là nghiệm của phương trình x3−3x 18 0− =

2) Giải phương trình (1) được x= 3

Bài 13: Chứng minh rằng x 33 9 125 3 3 9 125

= + + − − + + là một số nguyên

Hướng dẫn:

Giải tương tự bài 12

Bài 14: Chứng minh rằng số : x =0 2+ 2+ 3 − 6 3 2− + 3

là một nghiệm của phương trình : x4−16x2+32 0=

Bài giải:

Biến đổi phương trình:

4 2 ( 2 )2

Ta sẽ chứng minh: ( 2 )2

0

Thật vậy:

2

2 0 2

2 0

8 2 2 3 2 3 2 3

8 4 2 3 6 3 3 3 3 4 3 32

x x

Vậy x là nghiệm của phương trình 0 x4−16x2+32 0=

Bài 18:

2) Tính tổng:

-Hết -