toán lý hóa bắc trung nam toán lớp 9 BIẾN đổi đại số ( giải chi tiết)

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC 2 Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho 2 x a  .  Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a : 2 a 0 x 0 a x x a              Với hai số thực không âm a b, ta có: a b a b    .  Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý: + 2 A A A A      nếu 0 0 A A   + 2 A B A B A B   với A B, 0  ; 2 A B A B A B    với A B   0; 0 + 2 A A B A B . . B B B   với AB B   0, 0 + M M A . A A  với A  0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu) + M M A B   A B A B     với A B A B , 0,   (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n. 1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3. Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3 a là số x sao cho 3 x a   Cho   3 3 3 3 a R a x x a a      ;  Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.  Nếu a  0 thì 3 a  0 .  Nếu a  0 thì 3 a  0 .  Nếu a  0 thì 3 a  0 .  3 3 3 a a b b  với mọi b  0 .  3 3 3 ab a b  . với mọi a b, .  3 3 a b a b    .  3 3 3 A B A B  .  3 2 3 A AB B B  với B  0 Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 2  3 3 3 A A B B   3 3 2 2 3 3 3 1 A AB B A B A B      với A B   . 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n. Cho số a R n N n    , ; 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.  Trường hợp n là số lẻ: n k k N    2 1, Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2 1 k 2 1 k a x x a      , nếu a  0 thì 2 1 0 k a   , nếu a  0 thì 2 1 0 k a   , nếu a  0 thì 2 1 0 k a    Trường hợp n là số chẵn: n k k N   2 , . Mọi số thực a  0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k  a , 2 0 k a x x    và 2k x a  ; 2 0 k     a x x và 2k x a  . Mọi số thực a  0 đều không có căn bậc chẵn. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích: a) 4 P x   4 b) 3 P x   8 3 3 c) 4 2 P x x   1 Lời giải: a)        2 2 2 P x x x x x        2 2 2 2 2 . b)        3 3 2 P x x x x       2 3 2 3 4 2 3 3 . c)      2 2 2 2 2 P x x x x x x         1 1 1 . Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức: a) 1 4 A x x x     khi x  0 . b) B x x x x       4 2 4 1 4 2 4 1 khi 1 4 x  . c) C      9 5 3 5 8 10 7 4 3 Lời giải: a) 2 1 1 1 4 2 2 A x x x x x x x                 Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 3 + Nếu 1 1 2 4 x x    thì 1 1 1 2 2 2 x x A      . + Nếu 1 1 0 2 4 x x     thì 1 1 1 2 2 2 2 x x A x        b) B x x x x x x x x                 4 2 4 1 4 2 4 1 4 1 2 4 1 1 4 1 2 4 1 1 Hay     2 2 B x x x x             4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1       4 1 1 4 1 1 x x + Nếu 1 4 1 1 0 4 1 1 2 x x x         thì 4 1 1 4 1 1 x x      suy ra B x   2 4 1 . + Nếu 1 1 4 1 1 0 4 1 1 4 2 x x x          thì 4 1 1 4 1 1 x x       suy ra B  2 . c) Để ý rằng:   2 7 4 3 2 3 7 4 3 2 3        Suy ra C          9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3  2     9 5 3 5 5 3 .Hay C           9 5 3 5(5 3) 9 25 9 5 4 2 Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     7 2 6 7 2 6 là số nguyên. b) 3 3 84 84 1 1 9 9 B     là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006). c) Chứng minh rằng: 3 3 1 8 1 1 8 1 3 3 3 3 a a a a x a a         với 1 8 a  là số tự nhiên. d) Tính x y  biết    2 2 x x y y      2015 2015 2015 . Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó   2 2 A            7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 2 7 2 6. 7 2 6    14 2.5 4 Suy ra A  2 . b) Áp dụng hằng đẳng thức:     3 3 3 u v u v uv u v      3 . Ta có: 3 3 3 3 3 3 84 84 84 84 84 84 1 1 1 1 3 1 . 1 9 9 9 9 9 9 B                        3 3 84 84 1 1 9 9          . Hay Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 4 3 3 3 3 3 3 84 84 84 2 3 1 1 . 2 3 1 2 2 0 9 9 81 B B B B B B B B                               2      B B B 1 2 0 mà 2 2 1 7 2 0 2 4 B B B            suy ra B 1 . Vậy B là số nguyên. c) Áp dụng hằng đẳng thức:     3 3 3 u v u v uv u v      3 Ta có        3 3 2 x a a x x a x a x x x a              2 1 2 2 1 2 0 1 2 0 Xét đa thức bậc hai 2 x x a   2 với     1 8 0 a + Khi 1 8 a  ta có 3 3 1 1 1 8 8 x    . + Khi 1 , 8 a  ta có   1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x 1 Vậy với mọi 1 8 a  ta có: 3 3 1 8 1 1 8 1 1 3 3 3 3 a a a a x a a          là số tự nhiên. d) Nhận xét:    2 2 2 2 x x x x x x         2015 2015 2015 2015 . Kết hợp với giả thiết ta suy ra 2 2 x x y y      2015 2015 2 2 2 2                y y x x x x y y x y 2015 2015 2015 2015 0 Ví dụ 4) a) Cho x       4 10 2 5 4 10 2 5 . Tính giá trị biểu thức: 4 3 2 2 4 6 12 2 12 x x x x P x x        . b) Cho 3 x  1 2 . Tính giá trị của biểu thức 4 4 3 2 B x x x x      2 3 1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ ĐHQG Hà Nội năm 20152016). c) Cho 3 3 x    1 2 4 . Tính giá trị biểu thức: 5 4 3 2 P x x x x x       4 2 2015 Giải: a) Ta có: 2 2 x 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 4 10 2 5 . 4 10 2 5                         2 2 2               x 8 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 5 1    x 5 1. Từ đó ta suy ra  2 2 x x x      1 5 2 4 . Ta biến đổi:     2 2 2 2 2 2 2 2 12 4 3.4 12 1 2 12 4 12 x x x x P x x             . b) Ta có  3 3 3 2 x x x x x           1 2 1 2 3 3 3 0 . Ta biến đổi biểu thức P thành:     2 3 2 3 2 3 2 P x x x x x x x x x x x               ( 3 3 3) 3 3 3 3 3 3 1945 1945 Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 5 c) Để ý rằng: 3 2 3 x    2 2 1 ta nhân thêm 2 vế với 3 2 1 để tận dụng hằng đẳng thức:    3 3 2 2 a b a b a ab b      . Khi đó ta có:      3 3 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1      x    3 3 3 3 3 2               2 1 1 2 1 2 1 3 3 1 0 x x x x x x x x . Ta biến đổi:    5 4 3 2 2 3 2 P x x x x x x x x x x               4 2 2015 1 3 3 1 2016 2016 Ví dụ

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức

1.1 CĂN THỨC BẬC 2

Kiến thức cần nhớ:

 Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x2a

 Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà

bình phương của nó bằng a:

2

a x





 Với hai số thực không âm a b, ta có: a  b  a b

 Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:

A



  

 nếu

0 0

A A



 + A B2  A B A B với A B, 0; A B2  A B  A B với A0;B0

+ A A B.2 A B

B  B  B với AB0,B0

A

A  với A0;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)

A B





 với A B, 0,A B (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n

1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3

Kiến thức cần nhớ:

 Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3a là số x sao cho x3a

3

;

a R a  x x  a a

 Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3

 Nếu a0 thì 3a 0

 Nếu a0 thì 3a0

 Nếu a0 thì 3a 0

3

b  b với mọi b0

 3ab 3a b.3 với mọi a b,

 a b 3a 3b

 A B3 3 A B3



B  B với B0

 3 3

3



A B









1.2.2 CĂN THỨC BẬC n

Cho số a R n N n ,  ; 2 Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a

 Trường hợp nlà số lẻ: n2k1,k N

Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:

2 1

2 k  1a  x x k  a , nếu a0 thì 2 k  1a 0, nếu a0 thì 2 k  1a 0, nếu a0 thì

2 k  1a0

 Trường hợp nlà số chẵn: n2 ,k kN

Mọi số thực a0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2ka (gọi là căn

bậc 2k số học của a) Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2ka, 2 ka   x x 0 và x2k a;

2 ka x x 0

    và x2k a

Mọi số thực a0 đều không có căn bậc chẵn

Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:

a) Px44

b) P8x33 3

c) Px4x21

Lời giải:

a) Px22x22x 2x 2 x22

P x  x  x  x x  x

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:

4

A x x x khi x0

b) B 4x2 4x 1 4x2 4x1 khi 1

4

x

Lời giải:

a)

2

A x x x  x  x   x x

+ Nếu 1 1

x  x   + Nếu A

0

x   x  A x b)

B x   x   x   x   4x  1 1 4x  1 1

2

x    x    thì 4x x  1 1 4x  suy ra 1 1 B2 4x 1

x    x     thì 4x x   1 1 4x  suy ra 1 1 B 2

7 4 3  2 3  7 4 3  2 3 Suy ra C 9 5 3 5 8 10(2   3)  9 5 3 5 28 10 3   2

.Hay C 9 5 3 5(5  3)  9 25  9 5  4 2

Ví dụ 3) Chứng minh:

a) A 7 2 6  7 2 6 là số nguyên

B    là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT

chuyên ĐHQG Hà Nội 2006)

với 1

8

a là số tự nhiên

d) Tính x y biết x x22015y y220152015

Lời giải:

a) Dễ thấy A0,

Suy ra A  2

3

u v u  v uv u v Ta có:

3

31 84 31 84

Hay

3 3 84 84 3 3 84 3 3

B 1 B2 B 2 0

2

B   B B   

  suy ra B Vậy B là số nguyên 1

3

u v u  v uv u v

Ta có x32a 1 2a x  x32a1x2a 0 x1 x2 x 2a 0

Xét đa thức bậc hai x2 x 2a với   1 8a0

+ Khi 1

8

a ta có 31 3 1

1

+ Khi 1,

8

a ta có   1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x1 Vậy với mọi 1

8

a ta

1

x a    a    là số tự nhiên

d) Nhận xét:  x22015x x22015xx22015x2 2015

Kết hợp với giả thiết ta suy ra x22015 x y22015 y

a) Cho x 4 10 2 5  4 10 2 5 Tính giá trị biểu thức:

2

2 12

P



b) Cho x 1 32 Tính giá trị của biểu thức Bx42x4x33x21942.(Trích đề thi vào lớp

10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016)

c) Cho x 1 3234 Tính giá trị biểu thức: Px54x4x3x22x2015

Giải:

a) Ta có:

2

x

x  x  x

2 2

1

P

x   x  x  x  x  Ta biến đổi biểu thức P thành:

Px x  x  x x x  x  x  x  x  x  

c) Để ý rằng: x 32232 1 ta nhân thêm 2 vế với 32 1 để tận dụng hằng đẳng thức:

a b  a b a ab b Khi đó ta có: 32 1  x 32 1  322 32 1 

Ta biến đổi: Px54x4x3x22x2015x2 x 1x33x23x 1 2016 2016 Ví dụ

5) Cho , ,x y z và 0 xy yz zx   1

b) Chứng minh rằng:

2

Lời giải:

a) Để ý rằng: 1x2 x2xy yz zx  (x y x z )(  )

Tương tự đối với 1y2;1 ta có: z2

2

1

Suy ra P x y z    y z x  z x y  2 xy yz zx  2

b) Tương tự như câu a)

Ta có:

         2 2 2

1

2

x   x   n x n  x x  x b) Cho

2

( )

f n



   với n nguyên dương Tính f(1) f(2)   f(40) Lời giải:

1 2, 2 2.2 , , n 2

b) Đặt

2

4

2



  



Suy ra 2 2 3 3        

2

1

2

Ví dụ 7)

n

2

n

Lời giải:

Dễ thấy A B

1 1

1

 

Suy ra A B  2 1  3 2   81 80 81 1 8  Do A B suy ra

2A A B    8 A 4

b) Để ý rằng:

VT

P

n

n

Do đó: 2 2 1  3 2   n 1 nT

Hay 2 n  2 T 2 n 1

Ví dụ 8)

a) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn 1 2 1 2 1 2 3

2

a b b c c a  Chứng minh rằng:

2

a b c 

a) Tìm các số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện: x 1y2 y 2z2 z 3x2 3 (Trích đề thi

tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có

a b b c c a          

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2

3

2 1

1



(đpcm)

b) Ta viết lại giả thiết thành: 2x 1y2 2y 2z2 2z 3x2 6

Áp dụng bất đẳng thức : 2ab a 2 ta có: b2

2x 1y 2y 2z 2z 3x x  1 y y  2 z z  3 x  Suy ra VT VP6  Dấu

bằng xảy ra khi và chỉ khi:

2

2

2

1

3



Ví dụ 9) Cho

2

8 16

A



a) Rút gọn A.Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Lời giải:

a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x4

   

 

2

4 4

A

x x





4

x



+ Nếu 4 x 8 thì x   nên 4 2 0  4 2 2 4 4 16

4

A

Do 4 x 8 nên 0    x 4 4 A 8

+ Nếu x8 thì x   nên 4 2 0

thức Cô si) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 4 8 4 4 8

4

x

Vậy GTNN của A bằng 8 khi x8

b) Xét 4 x 8 thì 4 16

4

A

x

 

 , ta thấy A Z khi và chỉ khi

nguyên dương của 16 Hay x 4 1; 2;4;8;16 x 5;6;8;12; 20 đối chiếu điều kiện suy ra x 5

hoặc x6

+ Xét x8 ta có: 2

4

x A x



 , đặt

2 4 4

2

x m

m

 khi đó ta có:

 2 

2

m



   suy ra m2;4;8 x 8; 20;68

Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x5;6;8; 20;68

MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1 (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)

Với x0, cho hai biểu thức A 2 x

x



 1) Tính giá trị biểu thức A khi x64

2) Rút gọn biểu thức B

3) Tính x để 3

2

A

B Câu 2 (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)

2

x A x





 Tính giá trị của biểu thức A

:

B

3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức

 1

B A là số nguyên

Câu 3 (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội)

25

A

x



  , với x0,x25

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị của A khi x9

3) Tìm x để 1

3

A Câu 4 (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội)

9

P

x





  , với x0,x 9

1) Rút gọn P

2) Tìm giá trị của x để 1

3

P 3) Tìm giá trị lớn nhất của P

Câu 5 (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)

Thu gọn các biểu thức sau:

: 1

x

B

Câu 6 (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)

Thu gọn các biểu thức sau:

9

A

x



Câu 7 (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)

2

P

x

x x





 , với x0,x 2 Câu 8 (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)

Chứng minh rằng B A

Câu 9 (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)

Cho biểu thức

2x y 2 x y2 2,

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tính giá trị của P khi x 7 4 3 và y 4 2 3

Câu 10 (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)

Cho các số thực dương ,a b ; a b

Chứng minh rằng:

 

3

0

a b

b a

a a b b





Câu 11 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)

Câu 12 (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)

4

x A

x



  x0,x4 Rút gọn A và tìm x để 1

3

A Câu 13 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi)

x x x P



2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  P y:  x2 và đường thẳng  d :y mx 1 (m là tham số)

chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng  d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt có

hoành độ x x1, 2 thỏa mãn x1x2 2

Câu 14 (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)

a C

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C

2) Tính giá trị của biểu thức C khi a 9 4 5

Câu 15 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)

A

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên

Câu 16 (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)

1) Tính giá trị của biểu thức 1

1

x A x





 , khi x9

P

P

x



b) Tìm các giá trị của x để 2P2 x5

Câu 17) Cho a 3 5 2 3  3 5 2 3 Chứng minh rằng a22a  2 0

Câu 18) Cho a 4 10 2 5  4 10 2 5

Tính giá trị của biểu thức:

2

2 12

T



Câu 19) Giả thiết , ,x y z và 0 xy yz zx a  

Chứng minh rằng:  2 2   2 2  2 2

Câu 20 Cho a 2 7361 46 5 1 

a) Chứng minh rằng: a414a2 9 0

b) Giả sử f x x52x414x328x29x19 Tính f a 

Câu 21 Cho a338 17 5 338 17 5

Giả sử có đa thức    3 2016

3 1940

f x  x  x Hãy tính f a 

Câu 22 Cho biểu thức   2 1  1

1

f n



Tính tổng S f 1  f 2  f  3   f2016

Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có 3

Câu 25) Chứng minh rằng:

442 1 1 2 3 2 2 3  2002 2001 2001 2002  45

(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)

Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

 

Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 2

LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1 1) Lời giải:

64

1

B



:



2 Lời giải:

1) Với x36, ta có 36 4 10 5

36 2

2) Với x0,x16 ta có:

B

B A

 1

B A nguyên, x nguyên thì x16 là ước của 2, mà U  2   1; 2 Ta có bảng giá trị

tương ứng:

Kết hợp điều kiện, để B A 1 nguyên thì x14;15;16;17

3) Lời giải:

25

A

x



2

5

A x



A     

4) Lời giải:

3

P

x



x

0 3 3

x



5 Lời giải:

3 5 5 5 2 5 5

 

x

:

         

6 Lời giải:

Với x0 và x9 ta có:

 3 33 39 . 93 1 3

A

21

2

21

2

2

7) Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:

x

P



8 Lời giải:

Ta có: 1 1 1 1

1 12 12 2  2 23 32 3  120 120121 121120 121

    2 1  3 2    121 120  1 121 10 (1)

B     B 2 2 1 3 2 4 3   36 35

B

        (2) Từ (1) và (2) suy ra B A

9 Lời giải:

1)

  

P

2) Với x 7 4 3  2 3 và y 4 2 3  3 1

Thay vào P ta được:

22 33  3 13 1 3 2 31 3 2 33



10.Lời giải:

Ta có:

 

3

a b

Q

b a

a a b b







3

0

0

11 Lời giải:

6 7 19 5

A



3

x



12 Lời giải:

2 2

x

A



A

x



3

A khi x16

13 Lời giải:

1) ĐKXĐ: x3

x x x P



x x



3

x



Vì P  2 x 2 x  3 2 x 3 2 x  3 1 0

             Vậy x3 và x4

2) Phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d là: x2mx 1 0

có  m2 4 0 với mọi m, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Theo hệ thức Viet ta

có: x1x2  m và x x1 2  1

 2 2

     với mọi m x1x2 2 với mọi m (ĐPCM)

14 Lời giải:

1) Biểu thức C có nghĩa khi:

0, 16

0

4 0

a a







a C

a



 

4

4

a





2) Giá trị của C khi a 9 4 5

a

Vậy

 4 5 2 45 2 5 25 2 9 4 5

a

C

a

15 Lời giải:

1) Với x0,x4 biểu thức có nghĩa ta có:

:

x A

:







Vậy với x0,x4 thì 5

x A

x



 2) Ta có x   0, x 0,x4 nên 5

x

x



x

5 0

2 A

   , kết hợp với A nhận giá trị là một số

nguyên thì A 1, 2

A  x  x  x   x thỏa mãn điều kiện

A  x  x  x   x không thỏa mãn điều kiện

9

x thì A nhận giá trị là nguyên

16 Lời giải:

1) Với x9 ta có 3 1

2

3 1

A  

2) a)

P

b) Theo câu a) P x 1

x





2 2

x



      2 x 2 2x5 x 2x3 x 2 0 và x0

17 Giải:

          Do a0 nên a 3 1 Do đó

 2

a  hay a22a  2 0

18 Giải:

a            8 2 5 1   6 2 5 Vì a0

nên a 5 1 Do đó  2

a  hay a22a Biểu diễn 4

 2  2 2 

2 2

T

19 Giải:

Ta có: a x 2x2xy yz zx  x y x z   .Tương tự ta có:

2

20 Giải:

3

61 46 5  1 2 5  1 2 5

Từ đó a 2 7 1 2 5 1    2 5

b) Do f x x414x29 x21 và x414a2 9 0 nên ta được f a 1

21 Giải:

Vì a338 17 5 38 17 5 3.3 38 17 5 38 17 5    3  3 

   2012

22 Nhân cả tử và mẫu của f n  với n 1 n, ta được:

   1 1

f n  n n n n Cho n lần lượt từ 1 đến 2016 , ta được:

 1 2 2 1 1;  2 3 3 2 2; ; 2016 2017 2017 2016 2016

 1  2  3 2016 2017 2017 1

23 Giải:

Vì n là số nguyên dương nên: 1 12 12 12 12 12 1

       (1) Mặt khác, với mọi k ta 1 có:

2

     Cho k2,3, 4, ,n ta có:

…………

Cộng vế với vế ta được:

 (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

24 Giải:

Đặt 13 13 13 13

P

n

     Thực hiện làm trội mỗi phân số ở vế trái bằng cách làm giảm mẫu, ta

có:

Cho k4,5, ,n thì

P

 

108 3.4 n n 1 108 3.4 27

65 64

P (đpcm)

25 Giải:

Đặt

 

n

S

Để ý rằng :

 

 

1

k

k k



Cho k1,2, ,n rồi cộng vế với vế ta có:

1 1 1 1 1 1 1

n

S

Do đó 2001 1 1

2002

Như vậy ta phải chứng minh:

1

44  2002 4545 2002 44

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh

26 Giải:

Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:

Bổ đề: với mọi số thực dương x y, ta có: x yy x x x y y

Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

0

x yy xx x y y x x y y x y y x   

0

Bổ đề được chứng minh

Áp dụng bổ đề ta có:

n1 n 1 n n n n   1 n 1 n

n 1 n1 1 n n n n 1 1n 1 n

Vì thế:

 

 

1

 

Câu 27)

Giải:

Để ý rằng các phân số có tử và mẫu hơn kém nhau 2 đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức

1

2



P



 Ta có:

2 1 4 7 10 3 . 2 3. 1 1 4 7 10 3 . 2 3. 1

P

1 1 3 6 7 9 3 3 3 2 3 3 1



  Từ đây suy

P

n



 Bất đẳng thức được chứng minh