KN Hệ thức vi- Ét và ứng dụng

Nhận thức đợc tầm quan trọng của việc đổi mới ph- ơng pháp giảng dạy nói chung, giảng dạy toán 9 nói riêng, bản thân đã đợc giảngdạy chơng trình toán 9 cũ và đợc tiếp cận chơng trình toá

và cuối cùng, về điều khiển chúng Nh vậy ở lứa tuổi học sinh trung học cơ sở đã cónhững điều kiện thuận lợi cho sự hình thành khả năng tự điều chỉnh trong hoạt độnghọc tập, tính tích cực chung của trẻ, sự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khácnhau, nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “ngời lớn”.

2) Cơ sở giáo dục:

Bậc học trung học cơ sở thuộc bậc trung học (với hai giai đoạn là THCS và PTTH)

đóng vai trò cầu nối giữa phổ thông trung học và bậc tiểu học Đa số học sinh tốtnghiệp THCS sẽ ra đời hoặc vào các trờng dạy nghề, số ít còn lại tiếp tục học lênTHPT Ngoài những yêu cầu chung về phẩm chất đạo đức, chính trị, thì dù thuộcluồng nào, mọi học sinh đều phải đợc để giáo dục trở thành ngời lao động năng

động, sáng tạo, thích ứng với mọi sự phát triển đa dạng với tốc độ nhanh của xã hội,ngời công dân có trách nhiệm cao, con ngời đợc phát triển toàn diện cùng với chất l-ợng cuộc sống ngày càng nâng cao Những yêu cầu trên đợc phản ánh qua một hệthống năng lực mà trong đó năng lực giải quyết các tình huống, năng lực tự học có

vị trí vô cùng quan trọng Tất nhiên mức độ đòi hỏi phải phù hợp với đối tợng vàchức năng của trờng THCS Đổi mới phơng pháp dạy học phải góp phần tích cựcthực hiện mục tiêu đó trên cơ sở tơng hợp với nội dung đào tạo đợc lựa chọn theoyêu cầu quán triệt mục tiêu

3) Cơ sở thực tiễn:

Nghị quyết TW II khoá VIII đã khẳng định: "Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành thạo nếp t duy sáng tạo của ngời học Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học".

Trong Luật giáo dục đã khẳng định" Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học" Nói cách khác là việc dạy học theo chơng trình mới nhằm

mục tiêu đào tạo con ngời mới thích ứng với sự phát triển nhanh mạnh từng ngày ,từng giờ của khoa học kĩ thuật Nhận thức đợc tầm quan trọng của việc đổi mới ph-

ơng pháp giảng dạy nói chung, giảng dạy toán 9 nói riêng, bản thân đã đợc giảngdạy chơng trình toán 9 cũ và đợc tiếp cận chơng trình toán 9 theo chơng trình cảicách và chuẩn kiến thức kỹ năng nên tôi mạnh dạn soạn và áp dụng dạy theo một

hệ thống bài tập có tính hệ thống lôgíc giới hạn ở hệ thức Vi-ét với phơng trình bậchai một ẩn

Muốn đổi mới phơng pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chơng trình cải cách

và nội dung SGK khoa mới thì giáo viên trớc hết phải dạy cho học sinh những trithức phơng pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cáh suy luận,biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới Bên cạnh đó đòi hỏihọc sinh phải cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu kiến thứcmới Muốn dạy cho học sinh nắm đợc những tri thức phơng pháp thì ngời giáo viênphải thờng xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị kiến thức đặt ra trớc mắttheo cách nào, theo hớng nào , để học sinh hiểu và vận dụng hiệu quả hơn

Trong chơng trình bộ môn toán 9 nhiều bài tập, đặc biệt là thi vào THPT xuấthiện nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ thức Vi-ét, nhng thời lợng chơng trìnhdành cho học và vận dụng hệ thức Vi-ét là không nhiều Vì vậy muốn học sinh đọchiểu và có khả năng vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức Vi-ét nói riêng vàogiải các bài tập liên quan phần không nhỏ phụ thuộc vào lòng say mê công việc,không ngừng suy nghĩ khai thác các đơn vị kiến thức thành hệ thống các dạng bàitập để học sinh nhận diện ra phơng pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vàogiải dạng bài tập đó

Chính vì nhận thấy tầm quan trọng của việc khai thác có hệ thống các đơn vịkiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan đợc sự hớng dẫn và giúp đỡ tận tìnhcủa tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trờng, tôi mạnh dạn đi sâu suynghĩ khai thác và đúc kết thành kinh nghiệm “ Hệ thức vi- ét và ứng dụng “ tronggiảng dạy theo hệ thống các nội dung sau:

+ Không giải phơng trình bậc hai áp dụng định lý Vi-et tính giá trị biểu thức đốixứng giữa các nghiệm x1, x2 của phơng trình bậc hai

+ áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m để phơng trình bậc hai cóhai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện T cho trớc

+ Hệ thức Vi-ét trong sự tơng giao hàm số y = ax2 ( a ≠ 0) và y = mx + n

+ Lập phơng trình bằng định lý Vi-ét đảo.

+ Giải hệ phơng trình bằng định lý Vi-ét đảo.

Phần thứ hai : Nội dung A- Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:

1/ Mục đích nghiên cứu:

- Đề tài có thể giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề liên quan đến

hệ thức Vi-ét, rút ra đợc những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu vàhoàn thiện hiểu biết Từ đó có phơng pháp dạy-học cho học sinh có hiệu quả, giúphọc sinh giảm bớt những khó khăn lúng túng khi học nội dung này

- Thực hiện đề tài để thấy đợc những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nộidung hệ thức Vi-ét Qua đó định hớng nâng cao chất lợng dạy-học môn toán

2/ Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Thấy đợc vai trò của hệ thức Vi-ét trong chơng trình toán THCS đặc biệt lànhững dạng toán có liên quan

- Giảm bớt những khó khăn, những lúng túng của các em khi nghiên cứu nộidung có liên quan đến hệ thức Vi-ét Học sinh xác định đợc cách giải của một sốdạng bài toán cơ bản

3) Đối tợng và phạm vi nghiên cứu:

1 Nghiên cứu phần "phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 có chứa tham số" và

ứng dụng của định lý Vi-ét trong phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0

2 Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó

3 Giáo viên giảng dạy Toán cấp THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khốilớp 9

B- Các phơng pháp nghiên cứu :

1- Phơng pháp nghiên cứu lí luận :

Đọc các tài liệu có liên quan để phân dạng bài tập và phơng pháp giải

+ Các tạp chí giáo dục, toán học

+Sách giáo khoa, sách giáo viên

Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn.

a

c P a b S a

a

P S

a

P S

a

P S

0 0 0

a P

a ac

cã hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm

d-¬ng có giá trị lớn hơn giá trị tuyệt

đối của nghiệm âm:

cã hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm

âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương:

0 0 0 0

a

S P

d¬ng (0 x= < 1 x2):

0 0 0

a P S

a P S

a S

a

b a

≠



 <



iii) cã mét nghiÖm b»ng 0, nghiÖm

a P S

Để phương trình có hai nghiệm, điều kiện là: ∆ ≥ ' 0 ⇔ − ≥ 1 m 0 ⇔ ≤m 1

Khi đó phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 1 2

Để chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trình ta xét:

Nếu m=0, phương trình có hai nghiệm x1 = 0 và x2 = 2.

Nếu m<0, phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm

Bài to¸n 2: Cho phương trình x2 − 2(m+ 1) x m− + = 1 0 Xác định m để phương trình:

a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dương phân biệt

Bài giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 < < 0 x2 khi: P<0⇔-m+1<0⇔m>1

Vậy, với m>1 phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 x< < 1 x2khi:

Vậy với 0 < <m 1 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Bài to¸n 3: Cho phương trình ( ) 2 ( )

trình: a) Có một nghiệm b) Có hai nghiệm cùng dấu

Bµi giải

a) Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Khi m-1=0⇔m=1, phương trình đã cho trở thành:

6x=0⇔x=0, là nghiệm duy nhất của phương trình.

Trường hợp 2: Với m-1≠0⇔m≠1 Khi đó, để phương trình có một nghiệm điều

m m

Bài to¸n 4: Cho phương trình mx2 − 2 3( −m x m) + − = 4 0 Xác định m để phương

trình: a) Cã hai nghiệm đối nhau b) Có đúng một nghiệm âm

0

m

m m m

m m m

m m m

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm cùng dấu

Bài tập 6: Cho phương trình (m− 1) x2 + 2(m+ 2) x m+ − = 1 0 Xác định m để phương

trình:

a) Có hai nghiệm âm phân biệt

b) Có hai nghiệm dương phân biệt

Bài tập 7: Cho phương trình (m− 1) x2 + 2mx m+ + = 1 0 Xác định m để phương trình:

a) Có hai nghiệm âm phân biệt.

b) Có hai nghiệm đối nhau

Bài tập 8: Cho phương trình 2 ( )

2 1 1 0

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm dương phân biệt

c) Có đúng một nghiệm dương

Bài tập 9: Cho phương trình (m− 4) x2 − 2(m− 2) x m+ − = 1 0 Xác định m để phương

trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương

Bài tập 10: Cho phương trình x2 − 6x m+ − = 1 0 Xác định m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

b) Có hai nghiệm trái dấu

Bài tập 11: Tìm k để các phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:

Bài tập 16: Cho phương trỡnh x2 − 2mx+ 2m− = 3 0.

a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m

b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu Chứng minh với giỏ trị m vừa tỡm được phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương

Bài tập 17: Tỡm a để phương trỡnh cú nghiệm và xột dấu cỏc nghiệm của phương trỡnh đú:

1) x2 +ax+ = 4 0 2) 2x2 + 3x a+ = 0

Bài

tập 18: Cho phương trỡnh 2x2 + 3x m+ = 0

a) Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm

b) Chứng tỏ rằng nếu phương trỡnh cú nghiệm, thỡ nú cú ớt nhất một nghiệm õm.c) Xỏc định m để phương trỡnh cú cả hai nghiệm õm

Bài tập 19: Cho phương trỡnh x2 +(m+ 2) x m+ = 0 Tỡm m để phương trỡnh:

a) Cú hai nghiệm cựng dương b) Cú hai nghiệm cựng õm

c) Cú hai nghiệm trỏi dấu d) Có hai nghiệm phân biệt

e) Có hai nghiệm dơng phân biệt

Dạng 2: Không giải phơng trình bậc hai áp dụng định lý Vi-et tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình bậc hai.

* Bài toán cơ bản:

Không giải phơng trình bậc hai áp dụng định lý Vi-et tính giá trị biểu thức đối xứnggiữa các nghiệm x1, x2 của phơng trình bậc hai

đổi) đồng thời giáo viên hớng dẫn các em học sinh có thói quen biểu diễn biểu thức

đối xứng qua S và P (tổng và tích các nghiệm số) Chẳng hạn nh:

8) x1 + x2 (để tồn tại x1 + x2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm dong)muốn tính đợc x1 + x2 ta cần tính đợc ( )2

10) x x1 2 +x2 x1 = x x1 2( x1 + x2) đến đây áp dụng công thức nêu ở trờng hợp 8

*Ngoài việc giáo viên hớng dẫn các em học sinh có thói quen biểu diễn biểu thức

đối xứng qua S và P (tổng và tích các nghiệm số) cũng cần rèn luyện kĩ năng biểudiễn biểu thức không đối xứng qua S và P Chẳng hạn nh:

=( x1 − x2)(x1 + +x2 x x1 2) và tiếp tục làm như trường hợp trờn.

Bài toán 1: Cho phơng trình 2

a) Ta có: a=4, c=-1 Suy ra: ac=4.(-1)=-4<0

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2

Vì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 nên theo hẹ thức Vi-et ta có:

1 2 2 1 2 2 1 2

tr×nh kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:

Gäi x x1, 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh TÝnh: 2 2

1 2 ; 1 2 ; 1 2

x +x x −x x −x víi x x1 , 2 lµ nghiÖmcña c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1) x2 − 4x− = 12 0 2) x2 + 5x+ = 6 0

3) x2 + 3x− = 2 0 4) 4x2 + 5x− = 1 0

Bµi tËp 5: Cho ph¬ng tr×nh: 3x2 − 6x− = 2 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh (x x1 , 2lµ

Dạng 3: áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số

m để phơng trình thoả mãn điều kiện T cho trớc.

* Bài toán cơ bản:

Tìm giá trị của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (I)

Có nghiệm thảo mãn điều kiện T cho trớc

* Phơng pháp giải:

Để phơng trình (I) có nghiệm ta phải có: Δ ≥ 0 (*)

Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2

1 2

b

x x

ac

so sánh với điều kiện (*) và kết luận bài toán

*Cỏc điều kiện T cho trước cú thể là:

Thay cỏc giỏ trị x x1 , 2 vào (2) tỡm tham số

Chọn cỏc giỏ trị tham số thỏa món điều kiện (*)

Giải (4) ⇒tìm được giá trị của tham số.

Chọn giá trị tham số thỏa mãn điều kiện (*)

Giải (5)⇒tìm được giá trị của tham số.

Chọn giá trị tham số thỏa mãn điều kiện (*)

2 0 6

Giải (6)⇒tìm được giá trị của tham số.

Chọn giá trị tham số thỏa mãn điều kiện (*)

Giải (7)⇒tìm được giá trị của tham số.

Chọn giá trị tham số thỏa mãn điều kiện (*)

Bµi to¸n 1: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2m x + 2m -1 = 0 (1)

*L u ý: Trong quá trình tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm nếu điều kiện là

một phơng trình hay bất phơng trình mà ta giải nó gặp khó khăn , chẳng hạn nh bàitập trên điều kiện là m2 - 4m - 4 ≥ 0 thì ta có thể không giải phơng trình hay bất ph-

ơng trình đó Sau khi tìm đợc m thì thay vào xem có thoả mãn không

Ví dụ ở bài tập trên tìm đợc x = 6 ta thay vào (*) ta có: Δ = 62 - 4.6 - 4 = 8 > 0Vậy m = 6 thoả mãn (*)

Bài toán 3: Cho phơng trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (3 )

Tìm các giái trị của m để phơng trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn :

A = 10 x1x2 + x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Bài giải :

Min A = 48 khi 2m + 6 = 0 hay m = -3.( tmđk*)

Vậy m =-3 thì A đạt giá trị nhỏ nhất và MinA = 48

Bài toán 4 : Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phơng trình:

Bài toán 5 : Cho phơng trình x2 - mx + m -1 = 0 (5 )

a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với ∀ m

b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

− khi m=-2.( tm) Max P = 1 khi m=1.( tm)

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1

2

− .

* Nhận xét: Đối với những biểu thức chỉ chứa các nghiệm của phơng trình chotrớc muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta làm theo trình tự sau:

+Trớc hết ta phải tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

+Biến đổi biểu thức xuất hiện tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm

+Từ đó áp dụng hệ thức Vi -ét thay vào đợc biểu thức chỉ chứa tham số m Ta tiếnhành tìm GTNN, GTLN của biểu thức với ẩn m

Bài toán 6: Cho phơng trình x2 - 2(m + 1) x + m -1 = 0 (6 )

a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với ∀ m

b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình Chứng minh rằng biểu thức:

A x 1 x= − +x 1 x− không phụ thuộc vào giá trị của m

Vậy phơng trình (6 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với ∀ m.

b/ Khi đó phơng trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có:

1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm số phân biệt

2) Tìm m để phơng trình có một nghiệm số là -2 Tính nghiệm còn lại

3) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn điều kiện:

NGHIỆM x x= 1 TÌM NGHIỆM CÒN LẠI.

-Thay x x= 1 vào phương trình đã cho để tìm giá trị của tham số.

-Chọn giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện (*)

Vì phương trình đã cho có nghiệm x=1 nên ta có:

3+7+m=0⇔m=-10 (thỏa mãn điều kiện (*))

Vậy m=-10 thì phương trình đã cho có nghiệm x=1

* Tìm nghiệm còn lại:

Cách 1:

Khi m=-10 phương trình đã cho trở thành 3x2 + 7x− = 10 0 có nghiệm 1 2

10 1;

7 3

x x = −

Bài tập 6: Xác định m để phương trình 2x2 +mx− = 5 0 có một nghiệm trong cácnghiệm bằng 1 Tìm nghiệm còn lại.

Bài tập 7: Xác định m để phương trình 2 ( )

2x − m− 3 x+ = 3 0 có một nghiệm trong các

nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm còn lại

Bài tập 8: Xác định m để phương trình 2x2 −(m+ 3) x− 5m= 0 có một nghiệm trong

các nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm còn lại

Bài tập 9: Xác định m để phương trình 4x2 +(2m+ 13) x m− 2 = 0 có một nghiệm trong

các nghiệm bằng -1 Tìm nghiệm còn lại

Bài tập 10: Xác định m để phương trình mx2 − 2(m− 2) x m+ − = 3 0 có một nghiệm

trong các nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm còn lại

Bài tập 11: Xác định m để phương trình 2 ( )

3mx + 2m− 1 x− = 14 0 có một nghiệm trong

các nghiệm bằng -2 Tìm nghiệm còn lại

Bài tập 12: Xác định để phương trình (m+ 1) x2 − 2mx m+ − = 5 0 có một nghiệm trong