Ứng dụng hàm số

Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số * Tim giao điểm của hai đường * Viết phương trinh của tiếp tuyến Sẽ có nhiều vấn đề lý thú đây!!. Tớ và các bạn cùng tập trung học và suy

KiÓm Tra Bµi Cò

?Nªu c¸c c¸ch gi¶i bµi to¸n: Gi¶i vµ biÖn luËn theo m, sè nghiÖm cña pt :

x2 -2x-m=0

?H·y biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña pt :

X3 + 3x2 -4 = m

Một số bài toán liên quan đến

khảo sát hàm số

* Tim giao điểm của hai đường

* Viết phương trinh của tiếp tuyến

Sẽ có nhiều vấn đề

lý thú đây!! Tớ và các bạn cùng tập trung học và suy

nghĩ nhé!!!!

Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đường.

Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có

đồ thị là (C1) Hãy tìm các giao điểm của (C)và (C1)

0(x0 ;y0) là giao điểm của (C)và(C1) khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ y = f(x)

y= g(x)

Do đó để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và

(C1) ta giải phương trình : f(x) = g(x) (1)

Nếu x0,x1…là nghiệm của (1) thì các điểm M0(x0; f(x0)) ;

M1(x1; f(x1)) …là các giao điểm của (C)và (C1)

ví dụ 1 : Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm

số y =

1

x

−

Và y=m-x

Giải :

Xét phương trình :

2 2 2

1

m x x

− + − = −

− (1) (x≠1)

⇔ -x2+2x-2 = (m-x)(x-1) (x ≠1)

⇔ -x2+2x-2= -x2+ (1+m)x-m (x ≠1)

⇔ (m-1)x =m-2 (2) (x ≠1)

Biện luận

* m=1 : (2) có dạng 0x=-1

⇒ (2) vô nghiệm

Meo!! Bạn có

định vẽ hinh ứng với mỗi giá trị của

m không? Hic!!

Sao nhiều hinh quá vậy? Meo,

meo!!

Bạn xem đây có phải là bài toán tim giao điểm mà minh vừa học ko? Meo, minh cùng tim phư

ơng trinh hoành độ giao điểm đi! Mieo, minh ra rùi nè!!

* m≠ 1: phương trình (2) có nghiệm duy nhất

2 1

m x

m

−

=

−

1 1

m

−

⇔ m-2=m-1⇔ 0m = 1 (vô lý )

Vậy trong trường hợp này , có một giao điểm là (x;y) với :

2

m

y= m-x là biểu thức thế nào nhỉ ? à, minh thay x= biểu thức mới tim đư

ợc vào là ra thui!! Quá

đơn giản!!!!

x 0

-1 1

-2

-4

-2

1

Ví dụ 2 a, Khảo sát hàm số : y =x(C) 3 + 3x2 – 4

b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình : x3 + 3x2 - 4 =m (*)

Giải a, Ta có đồ thị sau (C)

b, Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m

Các bạn ơi, minh cùng vẽ hinh với Harry Poter nhé!!?

Xem ai nhanh hơn

nhé!

Wow!!!!Tớ vẽ xong rùi nè!!

úm ba la hinh

vẽ hiện ra!!!

đơn giản vậy thôi à? Minh thử vẽ

hinh xem sao!!!????

-2

-4

KÕt luËn :

m> 0 m< -4 ⇒ Cã 1 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 1 nghiÖm

⇒ Cã 2 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 2 nghiÖm

+

m = - 4 + - 4 < m < 0 ⇒ Cã 3 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 3 nghiÖm

Grõ!!! Tí bÝt roµi!! Tõ hinh vÏ ta cã kÕt luËn

bµi to¸n

Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số y = f(x) Gọi (C) là đồ thị , viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

Trường hợp 1 : Tiếp điểm M0(x0 ; y0)∈ (C)

Giải : Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0 ; y0) là :

Biết : y - y0 = f ’ (x0) (x -x0)

Trường hợp 2 : Đi qua điểm M1(x1; y1 ) (y1≠f(x1) )

Giải : - Đường thẳng d đi qua M1(x1; y1 ) và có hệ số góc k có

phương trình : y-y1 = k(x-x1) ⇔ y= k (x-x1) + y1

- Đt d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

f(x) = k(x-x1) + y1

f ’(x) = k

+ x0 ⇒ y0 ; f’(x0)

+ y0 ⇒ x0 ; f’(x0) (Gpt : f(x) =y0 ⇒ x0 …) + f’(x0) ⇒ x0 ; y0 ( Gpt : f’(x) = f’(x0) ⇒ x0 )

(y0= f(x0) )

áp dụng : Viết pttt của đồ thị (C) y=x3-3x+1

tại điểm uốn của (C)

Giải:

Có y’=3x2-3 y’’=6x=>xu=0 =>điểm uốn U(0;1) Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có pt:

y=y’(0)(x-0)+1

y=-3x+1

Hic!! Tiếp tuyến tại

điểm uốn là sao nhỉ? Có liên quan

gi đến bài minh vừa học không?

à, vậy minh đi tim toạ độ

điểm uốn thi trở thành bài toán vừa học xong!!!! Ka! Ka! Minh làm xong rùi

nè!!!!

2

-2

-4

Minh vÏ hinh

minh ho¹ xem

tiÕp tuyÕn t¹i

®iÓm uèn cã

hinh nh­ thÕ

nµo nhÐ!!!!

áp dụng :Viết PT các đường thẳng qua điểm A( ; -1) và tiếp xúc

với đồ thị (C) : y = x 3 -3x+1

Giải : đường thẳng d đi qua điểm A ( ; -1 ) và có hệ số góc k

có phương trinh : y = k ( x - ) - 1

đường thẳng d tiếp xúc với (C) khi hệ phương trinh sau phải có nghiệm :

x 3 -3x+1= k ( x - ) - 1 (*)

3x 2 - 3 = k (**) Thế (**) vào (*) ta được 2x 3 -2x 2 =0

=> x=0 hoặc x=1 -Với x = 0, từ (**) -> k = 3 -> pt t 2 y = 3x + 1 (d1)

-Với x = 1, từ (**) -> k = 0 -> pt t 2 y = -1 (d2)

2 3

2 3

2 3

2 3

∈

Sao bài khó thế !! Hic!!

Minh bạc cả đầu rùi mà vẫn chưa xong!! Chac liên quan đến bài vừa học đây! A, dạng tiêp “

tuyến đI qua điểm đây ”

mừ!! Ke! Ke! Xong roài!!

Hinh vẽ minh hoạ

4

2

-2

-4

Xong roài, minh vẽ hinh thui!!! Xem nếu

có hai tiếp tuyến thi hinh dáng nó như thế

nào đây??

Vậy là tiếp tuyến có thể cat đồ thị hàm số nhỉ, các bạn nhớ điều này nhé!!!

Trường hợp 3 : Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

Phương pháp

Vi hệ số góc của tiếp tuyến là k nên ta có : f’(x) = k Giải PT : f’(x) = k ta tim được hoành độ các tiếp điểm x0 , x1 (i=1;2; )

Với mỗi xi=>y(xi) tương ứng Với mỗi bộ (xi;yi) ta có phương trinh tiếp tuyến tương ứng:

Ta có:

• d1 song song d2  k1=k2

• d1vuông góc d2k1.k2=-1

Ví dụ áp dụng: Viết pt các đương thang song song với đt

(d)

(d): y=9x+10 và tiếp xúc với đồ thị (C) :

y=x 3 -3x+1

Giải:

Dt d 1 // d nên có hệ số góc k = 9 hay f’(x) = 9

mà f’(x) = 3x 2 – 3

=> hoành độ các tiếp điểm của d 1 và (C) là n 0 của PT : 3x 2 – 3 = 9

 x = 2 và x=-2 Với x = -2 => y = y (-2) = -1

=> pt tiếp tuyến y = 9x + 17 (d 1 )

Với x = 2 => y = y (2) = 3

=> pt tiếp tuyến y = 9x – 15 (d 2 )

Minh ngửi thấy mùi bài này quen quen!!! A, Bài toán “

tiếp tuyến với hệ số góc cho trước đây mà, bài này cô vừa ”

cho phương pháp Minh giải

thui Gâu!! Gâu!!

Ta có đồ thị

4

2

-2

Minh vẽ hinh xem hai tiếp tuyến này có song song

hay không??

Củng cố

a,Vẽ đồ thị ( C ) : y= 2x 3 -9x 2 +12x -4

b, Pt : 2/x/ 3 -9x 2 +12/x/ =m Có 6 nghiệm phân biệt khi

 A: 4 < m < 5 y=m

 B: m > 4

 C: m < 5

4

2

-2

-4