GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂMA.TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA I.. Bài 2: Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau đây không tồn tại... Tính giới hạn đó.
Trang 1GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
A.TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA
I Định nghĩa (sgk ban cơ bản)
Cho khoảng K chứa x và hàm số 0 y=f x( ) xác định trên K hoặc K\{ x0
}
Ta nói hàm số y=f x( ) có giới hạn là L khi x dần tới x nếu0
với mọi dãy số ( )x bất kỳ sao cho n x n Î K \ { }x0 và x n ®x0 ta có
( )n
f x ®L
II Ví dụ minh hoạ: tính 2
1
1 lim
1
x
x x
®
-+
Hàm số ( ) 2 1
1
x
f x
x
-= + xác định trên \ { 1}¡ -Với mọi dãy số ( )x bất kỳ sao cho n x ¹ - và n 1 x ® - ta có n 1
1
n
n
x
x
Vậy, xlim ( )®-1f x = - 2
Bài 1: Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau đây
1)
5
3 lim
3
x
x x
®
+
3 2 0
1 lim
1
x
x x
®
+
2 1
3 4 lim
1
x
x
® -+
4)
2
1 lim
5
2 lim cos
x x
x
®
æ ÷ö
2 lim
4
x
x x
®
-B.CHỨNG MINH HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC
I Phương pháp giải
Chỉ ra hai dãy ( )x và ( ) n t khác nhau cùng có giới hạn là n x nhưng0
lim ( )f x n ¹ lim ( )f t n
II Ví dụ minh hoạ: chứng minh rằng
0
1 limsin
x® x không tồn tại
Hàm số f x( ) sin1
x
= xác định trên \ {0}¡ Xét hai dãy số có cùng giới hạn là 0 sau đây
khi khi
2
2 2
n
n
n
n
p
+ Tuy nhiên,
khi khi
( ) sin( 2 ) 0 0 ( ) sin 2 1 1
2
n n
p
= ççè + ÷ø= ® ® +¥
Vậy,
0
1 limsin
x® x không tồn tại
Bài 2: Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau đây không tồn tại
Trang 20
1 limcos
1
2 limsin
1
3 limcos
x® x
C.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 3: Thay x trực tiếp vào ( )0 f x
0
lim( 5 10 )
3
lim(5 7 )
1
5 lim
5
x
x x
®-+ +
2 1
lim
4 2
x
®
2
lim(2 2 4)
3
2 lim
1
x® x+
4 1
10 4 lim
x
x
®
2
lim
3
x
x
®
- 9) lim(sinx x cos )x
p
2 2
lim
3
x
®
2 2 4
5 6 lim
8 15
x
®
1
lim
8 16
x
®
3 1
lim
12 1
x
®
2
lim( 5 8 6 )
1
2 3 lim
1
x
x x
®
-+
16) 23
1
3 lim
2
x
x x
®
5 3
4 3 lim
2 7
x
x x
®
æ - ö÷
ç +
4 3 2 2
lim
2
x
- +
3 3
lim
6
x
x
5 1 lim
2 7
x
x x
®
2
2
5 3 lim
x
Bài 4: Phân tích tam thức bậc hai thành tích của hai nhị thức bậc nhất
3
2 15 lim
3
x
x
®
+
2 2 2
3 10 lim
x
®
+
2 1
lim
1
x
x
+
2 4
5 6 lim
12 20
x
2 3
4 3 lim
3
x
x
®
3 lim
9
x
x x
®-+
2 2
6 lim
4
x
x
®
+
2 2 4
16 lim
20
x
x
®
2 1
4 5 lim
1
x
x
®
+
2 1
4 5 lim
1
x
x
®
+
2 2
2
( 1)( 2)( 1) lim
4
x
x
®
2 2 3
5 6 lim
8 15
x
®
2 4
3 4 lim
4
x
®-+
2 5
2 15 lim
5
x
x
®-+
2 2
lim
4 5
x
®¥
Bài 5: Phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử (có thể dùng sơ đồ Hoocner, HĐT đáng nhớ)
1
1 lim
1
x
x x
®
2 1
2 2 lim
1
x
x
®
4 2
16 lim
2
x
x x
®
2 2
16 lim
6 8
x
x
®
3 2 2
8 lim
4
x
x x
®
4 2 3
27 lim
x
®
2 1
1 lim
2 3
x
x
®
2 3
lim
3
x
®
3 2 1 2
lim
x
x
®
10)
2 9
3 lim
9
x
x
x x
®
1 lim 1
x
x x
®
1
1 lim
1
x
x
®
- +
Trang 3-13) 3
1
3 2 lim
1
x
®
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim
x
x
®
2
lim ( 12 16)
x
®
-
1
1 lim
( 5) 6
x
x
x x
®
3 2
lim
6
x
®
2 2
lim
6
x
-
1
lim
ç
lim
ç
lim
1 1
1
3 2 lim
x
®
2 2
lim
6
x
2 2
lim
3 10
x
®
-+
1
lim
x
®
3 4 1
3 2 lim
4 3
x
®
2
lim
8 16
x
®
2
lim
8 12
x
®
3 5 1
2 1 lim
2 1
x
®
1
2 lim
2
x
®
+
+ +
2 3
3 3 lim
3
x
x x
®-+
x a
x a
®
1 lim
( 1)
n x
x
®
- +
0
lim
h
h
®
1
1 lim
1
1 n x
n
x x
®
1 lim
1
m n x
x x
®
1
lim
( 1)
x
x
®
Bài 6: Nhân lượng liên hợp - 1 lần (có một căn bậc hai)
1)
0
4 lim
x
x x
x
x x
5 lim 5
x
x x
®
-4)
2
3 5 1 lim
2
x
x x
®
-
2 0
lim
x
x
®
1 lim
x
x
®-+ + +
7)
2 5
4 3 lim
25
x
x x
®
+
3 1
3 2 lim
1
x
x
®
2 0
lim
x
x
®
10)
3
3 lim
2 10 4
x
x x
®
2 2 lim
6
x
x x
®
-
2 2 1
lim
3 2
x
®
13) 4
7
9 2 lim
7
x
x x
®
+
lim
1
x
x
®
8 3 lim
2 3
x
x
®¥
+ -+
-16)
2 1
1 lim
2 3
x
x
®
5 2 lim
3 2
x
x
®+
lim
2
x
x
®
+ -
-19)
2 1
5 2 lim
1
x
x
®-+ ®-+
2
2 0
lim
x
x
®
0
1 2 1 lim
2
x
x x
®
+
0
lim
x
x x
®
2
5 3
2
x
x x
®
+
2 2 1
lim
3 2
x
®
Bài 7: Nhân lượng liên hợp - 1 lần (có hai căn bậc hai)
Trang 41) 2
0
lim
x
x
®
1
1 lim
2 1
x
x
®
2 2 lim
x
x
®-+
4)
1
lim
1
x
x
®
lim
x
x
®
0
lim
x
x
®
+ -
-7)
1
2 1 lim
1
x
x
®
-
2 2
1
lim
3 2
x
®
+ 9)lim0
x
x
®
+
-10)
1
2 1 lim
1
x
x
®
-
x
x
®
+ - - ,a >0 12)
0
x
a x
®
+
->
13)
0
lim
x
x
®
0
lim
x
x
®
-Bài 8: Nhân lượng liên hợp - 2 lần (có hai căn bậc hai)
1)
5
lim
x
x x
®
-
2 1 lim
5 2
x
x x
®+
2
1 1 lim
16 4
x
x x
®
+ -+
-4)
2
2 lim
4 1 3
x
x
®
2 7 3 lim
x
x x
®
+
lim
1
x
x
®
+ +
-7)
4
3 5 lim
1 5
x
x x
®
2
lim
x
x x
®
-
7 2 5 lim
3
x
x x
®
+
-10)
0
1 1 lim
x
x x
®
+
lim
1 3
x
®¥
+
lim
x
x
®
+
-Bài 9: Nhân lượng liên hợp (có căn bậc ba)
1) 3
0
1 4 1 lim
x
x x
®
2
4 2 lim
2
x
x x
®
3 0
lim
3
x
x x
®
4) 3
0
lim
1 1
x
x x
3 1
1 lim
1
x
x x
®
3 1
1 lim
1
x
x x
®
1
1 lim
1
x
x x
®-+
8 lim
4
x
x x
®
3 4 1
1 lim
1
x
x x
®
-10)
3
1 lim
3 2
x
x x
®-+
3 2
4 2 lim
2
x
x x
®
3 0
1 1 lim
3
x
x x
®
-
-13)
3 8
2 4 lim
2
x
x x
®
3 2 1
3 5 2 lim
5 4
x
x
®
+
3 3
0
lim
x
x
®
+ -
0
lim
x
®
3 3 1
1 lim
2 1
x
x x
®
1
2 lim
1
x
x
®
-
-Bài 10: Nhân lượng liên hợp (tổng hợp cả căn bậc hai và căn bậc ba)
0
lim
x
x
®
2 1
lim
3 2
x
®
3
2 1
lim
1
x
x
®
2 1
lim
3 2
x
®
2 3
1
lim
1
x
x
®
+ -
3 0
lim
x
x
®
7) 3
0
lim
x
x
®
0
lim
x
x
®
0
lim
x
x
®
+ - +
Trang 510) 3 2
2
lim
3 2
x
®¥
2
lim
1
x
x
®¥
+ -
3 2
11 8 43 lim
x
®¥
+
0
lim
x
x
®
2 1
lim
1
x
x
®
3 2 1
lim
1
x
x
®
-16) 3
3 1
lim
1
x
x
®
+ + +
3 0
lim
x
x
®
-Bài 11: Giới hạn vô cực
2
3 lim
(2 )
x
x x
®
+
lim
2 3 ( 1)
x
x x x
®
lim
4 ( 2)
x
x x x
®
+
×
0
1 1 lim
x® x x
æ ö÷
ç - ÷
1 1 lim
x® x x
æ ö÷
ç + ÷
Bài 12: Biến đổi lượng giác
1)
0
1 sin2 cos2 lim
1 sin2 cos2
x
®
1 1 sin3 lim
1 cos
x
x x
®
- +
2
sin2
x
®
4)
4
sin 4 lim
1 2sin
x
x x
p
p
®
æ ö÷
ç - ÷
çè ø
-5)
0
sin7 sin5 lim
sin
x
x
®
2 6
2sin 1 lim
4cos 3
x
x x
p
®
-7)
2
1 lim
cos tan
4
2sin 1 lim
2cos 1
x
x x
p
®
(6 )
6
sin lim
1 2sin
x
x x
p p
®
-10)
4
lim tan2 tan
4
x
p
p
®
é æç ö÷ù
ê ç - ÷÷ú
ê ççè ÷øú
2 2cos lim
sin
4
x
x x
®
-æ ö÷
ç - ÷
çè ø
12)
0
sin5 sin3 lim
sin
x
x
®
2 0
1 sin cos lim
sin
x
x
®
0
1 cos lim
tan
x
x x
®
3
3cos sin lim
x
x p
®-+ +
16
4
cos2 lim
sin 4
x
x x
® æç ö÷
÷
çè ø
17)
0
1 cos2 lim
sin3 sin
x
x
x x
®
2
2
lim
1 cos 1
x
x p
®
-Bài 13: Dùng giới hạn đặc biệt
lim 1 ; lim 1
1)
0
sin3 lim
x
x x
0
sin2 lim 3
x
x x
0
sin2 tan3 lim
x
x
®
+
4)
0
sin5 lim
x
x x
0
tan2 lim 3
x
x x
0
sin5 sin3 sin lim
45
x
x
®
7)
0
sin lim
tan2
x
x x
0
1 cos lim
sin
x
x
®
2
cos cos2 lim
sin
x
x x
p
®¥
0
cos4 cos3 cos5 lim
x
x
®
3 0
tan sin lim
x
x
®
1
2 lim
sin( 1)
x
x
®
+
Trang 61
3 2 lim
tan( 1)
x
x
®
+
1 tan 1 sin lim
x
x
®
0
1 cos lim
1 cos
x
x x
®
0
cos cos lim
x
x
®
-17)
0
sin tan lim
( )
x
a b x
®
2 0
1 cos2 tan lim
.sin
x
®
0
1 cos2 cos lim
x
x
®
2 0
1 cos3 cos5 cos7 lim
sin 7
x
x
®
0
cos sin tan lim
.sin
x
®
-22)
0
lim
sin tan
×ççè - ÷ø 23) 0
sin2 lim
1 1
x
x x
2cos lim 2
x
x x
25)
cos sin 1 lim
1 1
x
x
®
2 2 0
lim
x
x
®
0
sin lim
sin
x
®
+
-28)limsin sin
x a
x a
®
cos cos lim
x b
x b
®
lim
sin2
x
x x
®
0
1 cos lim
sin
x
x
®
sin sin lim
x a
®
sin5 lim tan7
x
x x
®
34)
1
lim (1 )tan
2
x
x
®
3 2
8 lim
tan( 2)
x
x x
®-+
cos 2 lim 1
x
x x
p
-37)
0
sin( ) sin( ) lim
tan( ) tan( )
x
®
cos( ) cos( ) lim
x
x
®
2 0
1 cos5 cos7 lim
sin 11
x
x
®
-40)
6
1 2sin lim
6
x
x x
p p
®
1 cos lim
x
x x
®
+
sin sin2 lim
1 2sin
2
x
x x
®
43)
4
sin cos lim
4
x
x
p p
®-+
cos3 cos5 cos7 lim
x
x
®
-45)
0
tan sin lim
.tan sin
x
®
0
1 cos 2 lim
.sin
x
x
®
2 1
sin( 1) lim
4 3
x
x
®
1 cos5 lim
1 cos3
x
x x
®
-49)
6
3sin cos lim
sin6
x
x
p
®
-50)
2 0
1 cos cos2 lim
x
x
®
2 0
1 sin cos2 lim
tan
x
x
®
0
lim
1 cos
x
x
®
2 2
4 lim cos 4
x
x x
®
-54)
1
lim(1 ) tan
2
x
x
®
0
tan sin lim
x
x
®
-56)
3
sin3 lim
1 2cos
x
x x p
0
sin(sin ) lim
x
x x
®
58)
0
1 cos lim
x
x x
®
0
1 cos lim
sin
x
x
x x
®
0
lim
sin
x
x
®
61)
cos cos
2 lim
sin(tan )
x
x x
p
®¥
Bài 14: Tổng hợp giới hạn có PP giải hay
1)
lim
x a
®
3 1
3 2 lim
1
x
x
®
1 lim
x
x
®¥
-+ -+
Trang 7-4) 3 2
1
1 lim
1
x
x
đ-+ + +
8
7 10 lim
8
x
x
đ
+ -
2
1
lim
x
đ
- + - +
2
3 58 lim
2
x
x
đ
3 2 0
lim
x
x
đ
2 1
lim
4 3
x
đ
- + - +
0
1 4 1 1 lim
x
x
đ
lim
x
đ
12)
0
1 2 1 sin lim
x
đ
1
lim
1
x
x
đ
+ +
3 0
1 2 1 3 1 lim
x
x
đ
0
lim
x
x
đ
0
1 cos2 cos lim
x
x
đ
0
lim
2
x
x
đ
-18)
0
lim
1 1
x
x x x
+
đ
1
lim
1
x
x x x
đ
3
1 2
lim
x
đ
-21) 3
0
8 2 lim
x
x x
đ
0
lim
x
x
đ
0
lim
x
x
đ
1
lim
1
x
x
2 0
lim
x
x x
đ
-GIỚI HẠN MỘT BấN C.BÀI TOÁN TèM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 15: Thay x trực tiếp vào ( )0 f x
1)
3
1 lim
2
x
x x
-đ
+
2 3 lim 5
x
x x
-đ
1 cos lim
sin
x
x x
p+
ổ ửữ
ỗ ữ
đỗ ữỗố ứữ
+
Bài 16: Giới hạn hữu hạn một bờn của hàm số
( 1)
1 lim
1
x
x x
đ
-+
2 2 ( 2)
lim
4
x
x
+
đ
2 2 ( 3)
5 6 lim
x
đ
+
-4)
1
lim
1
x
x
+
đ
lim
3
x
x
-đ
2
2 3
7 12 lim
9
x
x
-đ
-7)
2
2 lim
2
x
x x
-đ
2 1
1 lim
1
x
x x
-đ
2 2 1
3 2 lim
1
x
x
-đ
( 2)
3 2 16 lim
6
x
đ
lim
6
x
x x
-đ
2 lim
x
+
đ
+
-13)
0
lim
x
+
đ
lim
x
+
đ
+
2 2 0
lim
3 3 2
x
x x x
+
đ
-+
1
lim
1
x
x
+
đ
1
3 1 lim
x
x
-đ
lim
x
-đ
- +
Trang 8-19) lim 1 cos
sin
x
x x
p+
đ
0
1 cos lim
cos
x
x
+
đ
2
1 cos2 lim
2
x
x x
p+ p
ổ ửữ
ỗ ữ
đỗ ữỗố ứữ
+
-22)
0
lim
x
-đ
- +
2 lim 4
x
x
3
2 ( 1)
3 lim ( 1)
1
x
x x
x
+
đ
-+
-25)
0
lim
x
x
+
đ
+ +
-Bài 17: Giới hạn vụ hạn một bờn của hàm số
1)
3
2 1 lim
3
x
x x
-đ
+
3 2 lim
2
x
x x
+
đ
-+
4 2 ( 3)
3 lim
4 3
x
x
đ
-+
4)
1
3 5 lim
1
x
x x
-đ
+
3 lim
5
x
x x
+
đ
+
2
2 ( 3)
lim
( 3)
x
x
+
đ
-+ -+
1
lim
1
x
-đ
2 2 1
5 4 lim
2 1
x
-đ
lim
xđ - x x
2 2
8 lim
2
x
x
+
đ
1 cos lim
sin
x
x x
p+
đ
2 0
lim
x
x
+
đ
+
-13)
1
lim
1
x
x
+
đ
- +
2 2 3
4 lim
6
x
x
-đ
lim
x
-đ
- - +
-16)
1
lim
( 1)
x
x x
-đ
- +
lim
( 1)
x
x x
+
đ
- +
2 2 3
9 lim
5 6
x
x
+
đ
1
lim
x
-đ
Bài 18: Xột sự tồn tại của giới hạn
0
lim ( )
x x f x
đ với mỗi hàm số y=f x( ) và x được chỉ0
ra
1) , neỏu
, neỏu
2
( )
f x
ùù
= ớù
ùùợ , x =0 1
2)
, neỏu , neỏu
2
( ) sin
0
x x
ùùù
= ớù
<
3)
, neỏu , neỏu
neỏu
2 2
x
ùù ùù
ùù - - + ³ ùùợ
, x = và 0 0 x =0 1
4)
, neỏu , neỏu , neỏu
2
5
ỡù +
ùù ùùù
=ớù - < <
ùù ùùùợ
, x = và 0 1 x =0 3
Trang 95) neáu
neáu
3
0 2
2
x
x
ìï +
-ïï
-ïïî
, neáu
2
0 3
ïï
=íïïïî - > =
Bài 19: Tìm m để mỗi hàm số sau đây đều có giới hạn tại x = 0 2
1) , neáu
neáu
( )
f x
x
ïï
= íï
>
, neáu , neáu
( )
f x
ìï - + >
ïï
= íï
ïïî
3) 4 , neáu
, neáu
( )
f x
ïï
= íï
ïïî
Bài 20: Cho hàm số
, neáu
3 , neáu
, neáu
3
2
1
1 1
1
x
x x
x
p
ìï
ïï -ïï
=íïïï + £ £
ïï -ïî
1) Chứng minh rằng hàm số có giới hạn khi x ®1 Tính giới hạn đó
2) Xét sự tồn tại của lim ( )x®2f x theo tham số m.
Bài 21: Cho hàm số
, neáu , neáu , neáu
2
1
81
3 3
x
x
x x
ìïï
ïï -ïï
=íï + + £ £
ïï
ïï
ï -î
Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy xét sự tồn tại của giới hạn: a) lim ( )x®1f x b)
3
lim ( )
x f x
®
GIỚI HẠN Ở VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
A.CHỨNG MINH HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC
I Phương pháp giải
Chỉ ra hai dãy ( )x và ( ) n t khác nhau cùng có giới hạn là n +¥ hoặc
- ¥ nhưng
lim ( )f x n ¹ lim ( )f t n
II Ví dụ minh hoạ: chứng minh rằng lim sinx® +¥ x không tồn tại
Hàm số ( )f x =sinx xác định trên ¡
Xét hai dãy số có cùng giới hạn là +¥ sau đây
khi khi
2 2 2
n n
p
Tuy nhiên,
Trang 10khi khi
( ) sin( 2 ) 0 0 ( ) sin 2 1 1
2
n n
p
= ççè + ÷ø= ® ® +¥
Vậy, lim sinx®+¥ x không tồn tại
Bài 22: Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau đây không tồn tại
1) lim cosx®+¥ x 2) lim sin2x®- ¥ x 3) lim cos(x®+¥ x- 1)
B.CÁC BÀI TOÁN TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Ở VÔ CỰC
Bài 23: Tính các giới hạn sau đây
3 1 lim
x
®+¥
50
(2 3) (3 2) lim
(2 1)
x
x
®- ¥
2 2
3 1 lim
x
®+¥
+ -+
4)
4
( 1) (7 2) lim
(2 1)
x
x
®- ¥
2 3
(3 1)(5 3) lim
(2 1)( 1)
x
®- ¥
lim
x
x
®+¥
2
4 5 lim
1
x
x
®+¥
+
lim
x
®+¥
(2 3) (4 7) lim
(3 1)(10 9)
x
®- ¥
10) lim 2 1
2 1
x
x x
®+¥
1 lim 1 cos
3 2
3 2 lim
5 4
x
®- ¥
6
( 1)( 2) lim
x
x
®- ¥
3
lim
3 3
x
®+¥
- +
4
lim
x
x
®- ¥
-+
3
lim
15
x
®+¥
6
3 lim
x
x
®- ¥
( 1) (2 1) lim
(2 1)( 2)
x
®- ¥
-19) lim (22 3) (35 2 2)147
( 1) (4 5)
x
®- ¥
3
lim (2 1)( )
x
®+¥
+
3 2
5 lim
1
x
x x
®- ¥
-+
22) lim (2 2 1)(3 3 1)2
(2 1)(4 )
x
®+¥
-Bài 24: Tính các giới hạn sau đây
1) lim ( 3 3 )
1
x
®- ¥
4)xlim (4®+¥ x7- 3x5- 3 )x 5) lim (3 5 2 1)
®- ¥ - + - 6) lim ( 3 3 2 1)
-7) lim (3 3 8 2 7)
®- ¥ - + 8) lim (2 4 5 2 3)
®+¥ - + 9) lim (12 2 1)
-10) lim 2 4 3 12
13) lim ( 2 1 )
®- ¥ + - + 15) lim ( 2 1 )
®+¥ + + +
16) lim ( 2 4 )
®+¥ + + 18) lim ( 2 2 1 )
Bài 25: Tính các giới hạn sau đây
1) lim 4 2 1
3 1
x
x x
®- ¥
+
4 2
lim
x
®+¥
1 2 lim
3
x
x
®+¥
-+
4)
2 2
3 1 lim
1
x
x x
®+¥
-
2 1 lim
1
x
x
®- ¥
x
Trang 117) lim 5 1
1
x
x
®- ¥
+
2 2
lim
x
®+¥
2
lim
x
x
®- ¥
lim ( 1)
x
x x
lim
2 3
x
x
®+¥
- +
6 3
2 lim
x
x x
®- ¥
+
-13)
2
5 lim
2
x
x x
®+¥
1 lim ( 2)
x
x x
®+¥
-+
lim
5
x
x
®- ¥
+ + +
2 3
x
x
®- ¥
+ +
4
lim
1 2
x
x
®- ¥
lim
5 2
x
x
®- ¥
1
x
x
®+¥
+
-Bài 26: Tính các giới hạn sau đây
1) lim
®+¥
-3) lim ( 2 1 )
-5) lim ( 2 1 )
®- ¥ + +
-7) lim ( 4 2 2 )
9) lim ( 2 3 )
11) lim ( 2 4 )
13) lim ( 2 2)
2
lim ( 5 )
-17) lim ( 2 2 2 2 )
-21) lim ( 2 4 2 3)
-23)lim(3 3 6 2 )
25) lim ( 2 2 2 2 )
Bài 27: Tính các giới hạn sau đây (nguyên lý kẹp)
1) lim sin
sin
x
®+¥
-+
Chú ý: Bài tập phần này có thể lấy ở phần giới hạn của dãy số.