Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim= 0 α > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1
*Các phép toán giới hạn :
lim(un± vn) = limun± limvn ; lim(un.vn) = limun ;
limvnlim =
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn)
Nếu ∀n ta có un ≤ vn ≤ wn và limun = limwn = A thì limvn = A
Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim = ∞
Nếu limun = ∞ thì lim = 0
*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S =
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim
2.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim
d) lim e) lim
1 n n
3 n
3 3 − +
− f)lim() g) lim
3.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim() c) lim)
d) lim) e) lim
f) lim g) lim
1 3 n
1 n 3 n n
3 3 2
+
+ + + +
h) lim i) lim()
j) lim n() k) lim(3 n3 − n2 −n)
l) lim m) lim(1 + n2 – )
n) lim
4.Tính các giới hạn
a) lim b) lim c) lim
d) lim e) lim f) lim
g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1
4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 =
a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng
b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 =
a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng
b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
6.Tìm các số hữu tỉ sau :
a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515
7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – )
8 Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính limxn
9 Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn ∀n ∈ N a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n ∀n ≥ 3
b) Tính limxn
10.Cho dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1= a) Chứng minh rằng: un < 1 ∀n
b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun
11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= a) Chứng minh rằng un < 3 ∀ n
b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun
Giới hạn hàm số
*Các phép toán về giới hạn hàm số
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x)
x a
x a
x a
lim f (x)
f (x) lim g(x) lim g(x)
→
→
→
lim f (x) lim f (x)
*Các định lý về giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu lim g(x) lim h(x) Lx a→ =x a→ = thì
x a
lim f (x) L
Định lý 3: Nếu lim f (x) 0 thì limx a x a 1
f (x)
Nếu lim f (x)x a thì limx a 1 0
f (x)
Định lý 4:
x 0
sinx
x
x 0
x
sinx
Trang 2
x 0
sin kx
kx
x 0
kx
sin kx
*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0.∞ ; ∞ – ∞
1.Tính các giới hạn sau:
a)
2 x
2 x x
lim
2
2
−
−
1 x
3 x x x lim 2
2 3 1
− +
−
c)
4 x 4 x
x x
lim 2
2
2
+
−
2 x x
1 x x x lim 2
2 3 1
+
−
−
→ e)
9 x x
9 x x x
lim 4 2
2 3
3
+ +
−
3 x x
1 x lim 3 2
4 1
−
−
→ g)
1 x x
3 x 2
x
lim 2
2
1
− +
3 2
2 x x lim
−
+
−
−
→ i)
1 x
x x x
lim 2
5 6
1
+
−
1 x
1 x lim n m 1
−
2.Tính các giới hạn sau:
a)
x 4
3 5 x
lim
4
− +
x
x 1 x 1 lim
0 x
−
− +
49 x
3 x 2 lim 2 7
−
−
d)
4 x
3 1 x
4
lim 2
2
− +
3 1 x 4
x 2 x lim
2
− +
x 5 1
x 5 3 lim
4
+
−
g)
3 x
2 x 3 x
2
lim
1
+
− +
−
3 x x
4 x 7 x
1
− + +
→
i)
1 x
x x
lim
2
1
−
2 3 x
1 x lim
1
−
3 1 x
x 2 x lim
2
− +
→
l)
3 x 2
3 7 x
lim
1
− +
1 x
1 x 1 x lim
2
1
− +
− +
1 x
2 x x
lim 3 2 1
−
−
→
o)
1 x
x x 3 x
lim
3 2
1
− + +
→
3.Tính các giới hạn sau:
x 8 x 8
x lim
+
−
−
1 x
2 x x lim 3
3 5
1
+ +
−
→
c)
1 x 1
x lim
3
0
0
1 x 1 lim + −
4 x x
x 4 x lim 2 3 4
− +
→ f)
9 x
5 x 10 x
3
− + +
−
2 x
2 x x 10 lim3 2
+
−
−
h)
4 x
2 x 6 x
lim3 2
2
+
− +
x 2
lim
→
g)
4
x 1
lim
(1 x)
→
n
2
x 1
lim
(x 1)
→
−
4.Tính các giới hạn sau:
a)
x 2
x sin lim 0
x 2 sin
x 5 lim 0
x 7 sin
x 4 sin lim 0
2 0
x 6 cos 1 lim −
e)
x cos 1
x cos 1 lim 0
−
0
x cos x cos lim −
0
x cos 1
lim −
h)lim 3sinsinx xcosx
6 x
−
π
4 x
−
π
1 1 x
1 x sin x cos lim
2
4 4
0
−
−
→
k)
x cos x sin 1
x cos x sin 1 lim 0
− +
x cos
1 x sin
1 ( lim 0
2 ( lim 0
x→ π− n)
x sin
x cos 1 2
0 x
+
−
0
x 2 cos x cos 1 lim −
x tg
x cos x
sin 1
0 x
− +
4
−
π
x 1 1
1 x 2 cos lim
−
−
−
→
4.Tính các giới hạn sau:
sinx sin 3x x
→
tgx sinx lim
x
→
−
x 0
lim
tg x
→
−
d)
x 2
cosx lim x- /2 π
→ π e) x
2
lim(1 cos2x)tgx π
x 4
1 tgx lim
1 cot gx π
→
−
−
g)
x 4
sinx - cosx lim
1 - tgx π
3
x 3
tg x 3tgx lim
cos(x + )
6
π
→
−
π i) xlim x.sin
x
→∞
π
x 0
lim
tg x
→
k)
x 0
lim
x
→
l) xlim(sin x 1 sin x )→∞ + − m)
x
lim(cos x+1 cos x )
5.Tính các giới hạn sau:
1 x
3 1 x
1 (
1
4 x
4 2 x
1 (
2
x → − + + −
x 2
lim
→
Trang 3c)
x 4 x
) x 3 x )(
1
x
(
lim 3
2
+
−
∞
1 x
x x x lim 2
− +
∞
e)lim( x2 x 3 x)
x→∞ − + + f)xlim→−∞( 3−x − 5−x)
g)limx( x2 5 x)
∞
+∞
→
2 2 x
lim
→∞
+ + + + − +
x
lim
x 1
→∞
2
3 3 x
lim
→∞
− +
j)
1 x x
1 x x 1 x
x
lim
2
2 2
+
− + +
+
∞
1 x x 16 x 14 1
x lim
2
6.Tính giới hạn các hàm số sau
a)
2 x
x x
lim
2
−
∞
∞
→ c)
x
1 sin x
lim 2
0
x → d)
3 x x
x cos 3 x sin lim 2
+
∞
→ e)
1 x
x x cos 5
lim 3
2
+
+∞
g) xlim(2x 1 4x2 4x 3)
xlim x x x x
→+∞
i) xlim(x 33x2 x )3
x
7.Tìm 2 số a,b để
a)lim( x2 x 1 ax b) 0
x→+∞ + + − − =
1 x
1 x
(
lim 2
+
+
∞
8 Tính các giới hạn sau:
xlim x 3x x 2x
Hàm số liên tục
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại xo⇔ xlim f (x) f (x )xo o
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
xo∈ (a;b)
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b]
và xlim f (x) f (a) và lim f (x) f (b)→a+ = x→b− =
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại
ít nhất một số c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) = 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =
≥
−
<
+
−
1 x khi 3 2x
1
x khi 4 x
x2
tại xo = 1
b) f(x) =
=
≠
−
−
−
−
2 x khi 3 11
2 x khi 2 x x
6 x
x 2 3
tại xo = 2
c) f(x) =
sin x
khi x 1
x 1 khi x 1
π
tại xo = 1
d) f(x) =
2 2
khi x 1
x khi x 1 2
tại xo = 1
e) f(x) =
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2
−
tại xo = 2
f) f(x) =
3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
+ −
tại xo = 0
Trang 4g) f(x) =
3 2
khi x 0 sin x
1
khi x 0
6
tại xo = 0
h) f(x) =
khi x 2
2 x
1 khi x 2
tại xo = 2 3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a) f(x) =
≥ +
<
−
+
1 x khi a 2x
1
x khi 1 x
x2
tại x0 = 1
b) f(x) =
=
≠
−
− +
1 x khi
a
1
x khi
1 x
3 x
x
2
3
tại x0 = 1
c) f(x) =
khi x 0 x.sin 2x
x a
khi x 0
x 1
+
+
tại xo = 0
d) f(x) =
khi x 0 x
4 x
x 2
tại xo = 0 4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =
−≥
−
−<
−
−
2 x khi
x 1
2
x khi 7 x
x2
b) f(x) =
>
−
≤
≤ +
+
<
−
− +
5
x khi 4 3x
5 x 2 khi 2 x
3 2x
2 x khi 4 x
10 x x
2 2
5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
khi x 2
x 2 1
4
>
b) f(x) =
3 khi x
3
π
≠
−
=
5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
π
>
π
≤
≤
π
− +
π
−
<
−
2
x khi x cos
2
x 2 khi b asinx
2
x khi x sin 2
b) f(x) =
>
−
≤
≤ +
<
3 x khi
x 4
3 x
1 khi b ax
1
x khi
x2
6 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0 c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
7 Chứng minh rằng phương trình a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
8 Cho 3 số a,b,c khác nhau Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Trang 5Có 2 nghiệm phân biệt
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0
a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ≠ 0
b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b] Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b]
12 Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0
b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và α , β là hai số dương bất kỳ Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b]
14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0 Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo∈ (1;2) và xo >