ung dung dao ham

PHƯƠNG PHÁP GIẢI ðể giải bài toán tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm ta làm như sau: 1.

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên tập D

1 Phương trình f x( )= có nghiệm x D m ∈

2 Bất phương trình f x( )≤m có nghiệm x∈ D

( )

min

∈

3 Bất phương trình f x( )≤ có nghiệm ñúng m

với x∈D max ( )

∈

4 Bất phương trình f x( )≥m có nghiệm x∈ D

( )

max

x D

∈

5 Bất phương trình f x( )≥ có nghiệm ñúng m

với x∈D min ( )

∈

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI

ðể giải bài toán tìm giá trị của tham số m sao

cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

có nghiệm ta làm như sau:

1 Biến ñổi phương trình, bất phương trình về dạng:

f x =g m ( hoặc f x( )≥g m( ) ( );f x ≤g m( ))

2 Tìm TXð D của hàm số y= f x( )

3 Lập bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) ở trên

D

4 Tìm min ( ); max ( )

x D f x x D f x

5 Vận dụng các kiến thức cần nhớ bên trên suy ra

giá trị m cần tìm

Lưu ý: Trong trường hợp PT, BPT, HPT chứa các

biểu thức phức tạp ta có thể ñặt ẩn phụ:

+ ðặt t=ϕ( )x (ϕ( )x là hàm số thích hợp có mặt

trong f x ) ( )

+ Từ ñiều kiện ràng buộc của x∈ ta tìm ñiều D

kiện t∈ K

+ Ta ñưa PT, BPT về dạng f t( )=h m( ) ( hoặc

( ) ( ) ( ); ( )

f t ≥h m f t ≤h m )

+ Lập bảng biến thiên của hàm số y= f t( ) ở trên

K

+ Từ bảng biến thiên ta suy ra kết luận của bài toán

III MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1.(B-06) Tìm m ñể phương trình sau có 2

nghiệm thực phân biệt

x +mx+ = x+

Giải:

2

x +mx+ = x+

2

2

1

2

 + ≥

Xét phương trình ( )* + x= ⇒0 0.x= − , phương trình này vô 1 nghiệm Nghĩa là không có giá trị nào của m ñể

phương trình có nghiệm x = 0 +x 0 3x 4 1 m

x

≠ ⇒ + − = Ta xét hàm số

x

= + − trên tập 1; \ 0{ }

2

+∞ 

Ta có f'( )x 3 12 0

x

= + > với 1; \ 0{ }

2

∀ ∈ − +∞  , suy ra hàm số f x( ) 3x 4 1

x

= + − ñồng biến trên { }

1

2

+∞ 

( )

1

x

x

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x ( )

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số f x( ) 3x 4 1

x

= + − và ñường thẳng

y= trên miền m 1; \ 0{ }

2

+∞ 

Dựa vào bảng biến thiên ta ñược giá trị của m thỏa

mãn yêu cầu bài toán là 9

2

m≥

Ví dụ 2 Tìm m ñể phương trình

m( x2−2x+ + +2 1) x(2−x)≤ có nghiệm 0

thuộc 0;1 + 3

Giải:

ðặt t= x2−2x+2 ⇒ −x(2−x)= − t2 2

x f’(x)

f(x)

1 / 2

−∞

+ +

+∞

9 2

Khi ñó bất phương trình trở thành:

( 1) 2 2

m t+ ≤ − (*) t

Ta có

2

1

x

−

Ta có bảng biến thiên :

Từ ñó ta có 1≤ ≤ , từ (*) suy ra t 2 2 2

1

t m t

−

≤ + (1) Xét hàm số ( ) 2 2

1

t

f t

t

−

= + trên tập[ ]1; 2

Ta có ( ) ( )

2

2

1

t

f t

t

+ với ∀ ∈t [ ]1; 2

Ta có bảng biến thiên của hàm số f t ( )

Bất phương trình ñã cho có nghiệm

0;1 3

x∈ +  ⇔ bất phương trình ( )1 có nghiệm

[ ]1; 2

t ∈

[ ] ( ) ( ) 1;2

2

3

Ví dụ 3.(A-08) Tìm m ñể phương trình sau có 2

nghiệm thực phân biệt

42x+ 2x+2 64 − +x 2 6− =x m m( ∈ ¡ )

Giải

ðiều kiện: 0≤ ≤ x 6

Xét hàm số f x( )= 42x+ 2x+2 64 − +x 2 6− x

trên tập [ ]0; 6

Ta có

( ) ( ) ( )2 14 2 12 2 6( )14 2 6( )12

( ) 1( ) 34 1( ) 12

1( ) ( )34 1( ) ( )12

−

−

2

ta có

0

với ∀ ∈x ( )0; 6

f x = ⇔ x = − ⇔x x= − ⇔ = x x

Ta có bảng biến thiên

Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số y= f x( ) và ñường thẳng

y= trên miền m [ ]0; 6

Dựa vào bảng biến thiên ta ñược giá trị của m thỏa

mãn yêu cầu bài toán là 2 64 +2 6≤m<3 2+ 6

Ví dụ 4.(B-07) Chứng minh rằng với mọi giá trị

dương của tham số m, phương trình sau có 2

nghiệm thực phân biệt:

x2+2x− =8 m x( −2) Giải: ðiều kiện: do m> ⇒ ≥ Ta có: 0 x 2

2

x + x− = m x− (x 2)(x 4) m x( 2)

2

x

=



⇔ 



x

t’

t

0

+

-

1+ 3

1

0

2

1

2

t

f’(t)

f(t)

1

+

2

2 3 1

2

x f’(x)

f(x)

0

- +

6

2

0

4

2 6+2 6

3 2+ 6

412+2 3

Nhận thấy phương trình ñã cho luôn có 1 nghiệm

2

x = , ñể chứng minh khi m > phương trình ñã 0

cho có 2 nghiệm thực phân biệt ta cần chỉ ra phương

trình ( )* luôn có một nghiệm thực x > khi 2 m > 0

Xét hàm số ( ) ( )( )2 3 2

f x = x− x+ =x + x − trên tập (2;+∞ )

Ta có f '( )x =3x2+12x> với 0 ∀ > x 2

3

6 32

x x

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x ( )

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao ñiểm

của ñồ thị hàm số y= f x( ) và ñường thẳng y= m

trên miền (2;+∞ )

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra khi m > thì 0

phương trình (*) luôn có 1 nghiệm x > 2

Vậy với m > thì phương trình ñã cho luôn có 2 0

nghiệm thực phân biệt

Ví dụ 5 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm:

2 2

x + x+ − x − x+ = m

Giải:

x ± x+ = x± + ≥ > ∀ ∈ ¡ nên x

TXð: D = ¡

Xét hàm số f x( )= x2+2x+ −4 x2−2x+ trên 4

¡

Ta có:

( )

'

f x

f'( )x =0⇔

0

(x 1) x2 2x 4 (x 1) x2 2x 4

x4+2x3+4x2−2x3−4x2−8x+x2+2x+ 4

0

x

⇔ =

Thay x = vào phương trình (*) ñược: 1 = - 1 Vậy 0 phương trình (*) vô nghiệm Suy ra f '( )x chỉ mang

( ) ' 0 1 0

f = > ⇐ f'( )x > ∀ ∈ ¡ 0, x

Ta có

4 lim

x

x

→+∞

=

4 lim

x

→+∞

=

2

=

4 lim

x

x

→−∞

=

4 lim

x

→−∞

=

2

= −

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x ( )

Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số y= f x( ) và ñường thẳng

y= trên ¡ m

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm ⇔ − <2 m< 2

Ví dụ 6 Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm

2







Giải:

Ta có: x2−3x− ≤ ⇔ − ≤ ≤ 4 0 1 x 4

Hệ phương trình ñã cho có nghiệm

x − x x m− − m≥ có nghiệm x ∈ −[ 1; 4]

⇔ − ≥ + có nghiệm x ∈ −[ 1; 4]

3 2

3





Ta có

x

f’(x)

f(x)

2

+

+∞

0

+∞

x f’(x)

f(x)

- ∞

+

+∞

-2

2

'( ) 3 22 6 1 0

f x

 + − < <



= 

− < <



f '( )x = ⇔ =0 x 0;x= ± 2

Ta có bảng biến thiên :

( ) 2 15

f x ≥m + m có nghiệm x ∈ −[ 1; 4]

1;4

max f x m 15m

−

2

Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm

16 m 1

Ví dụ 7 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm:

3 3

sin x+cos x= m

Giải

sin x+cos x= ⇔m sinx+cosx 1 sin cos− x x =m

4

t= x+ x= x+π 

 ,− 2≤ ≤t 2

t= x+ x⇒t = x+ x

2 1 sin cos

2

t

Phương trình trở thành:

2

3

1

t

t − − =m⇔ − t + t=m

Xét hàm số ( ) 1 3 3

f t = − t + t trên tập − 2; 2

Ta có: ( ) 3 2 3

'

f t = − t +

f '( )t =0⇔ 3 2 3

Ta có bảng biến thiên:

Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số y= f t( ) và ñường thẳng

y= trên m − 2; 2

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm ⇔ − ≤1 m≤ 1

Ví dụ 8: Tìm m ñể bất phương trình sau có

nghiệm: mx− x− ≤ + (1) 3 m 1 Giải:

ðặt t= x− ≥3 0⇒ = + Khi ñó bất phương x t2 3 trình trở thành:

( 2 )

m t + − ≤ +t m ( 2 )

2

1 2

t m t

+

Xét hàm số ( ) 2 1

2

t

f t t

+

= + trên (0; +∞ )

Ta có: ( )

2

2 2

'

2

f t

t

= +

f t = ⇔ − −t t+ = ⇔ = − ±t

( )

1 1

2

t

f t

t t

+

+

Ta có bảng biến thiên của hàm số f t ( )

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình (1) có nghiệm ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm 0

t> ⇔

( ) ( ) 0;

3 1 max

4

+∞

+

Ví dụ 9.(A-07) Tìm m ñể phương trình sau có

nghiệm: 3 x− +1 m x+ =1 24 x2− 1 Giải:

ðiều kiện: x≥ 1

3 x− +1 m x+ =1 24 x2− 1

4

m

1

x t x

−

= + , khi ñó phương trình (1) trở thành: 2

3t 2t m

x

f’(x)

f(x)

-1

+

4

-4

2

0

-

16

t

f’(t)

f(t)

- 2

-

-1

2

2

−

0

-

2

1

2 2

t f’(t)

f(t)

0

-

+∞

3 1 4

+ 1

2

− +

0 +

0

Ta có x≥1⇒ ≥ và t 0 4 2

1

t

x

+ , vậy

0≤ < t 1

Xét hàm số ( ) 2

f t = − t + trên tập t [0;1 )

3

f t = − +t f t = ⇔ − + = ⇔ = t t

Ta có bảng biến thiên của hàm số f t ( )

Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao

ñiểm của ñồ thị hàm số y= f t( ) và ñường thẳng

y= trên miền m [0;1 )

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có

3

m

⇔ − < ≤

Ví dụ 10 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm

1+ +x 8− +x (1+x)(8−x)=m

ðiều kiện: 1− ≤ ≤ x 8

ðặt t= 1+ +x 8− x

t

+ − với 1 − < < x 8

2 1 x−2 8 x =

7

1 8

2

⇔ + = − ⇔ =

Ta có bảng biến thiên:

Từ ñó dẫn ñến 3≤ ≤t 3 2

2

t= + +x − ⇒x t = + +x −x

( 1 8)( ) 2 9

2

t

⇒ + − = , phương trình ñã cho trở

thành:

2 9 2

t

t+ − =m 2

Xét hàm số f t( )= +t2 2t− trên tập 3;3 29  

Ta có: f '( )t =2t+ > với 2 0 ∀ ∈ x 3;3 2

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x ( )

Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số y= f t( ) và ñường thẳng 2

y= m trên 3;3 2 

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có

2

IV CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tìm m ñể các phương trình, bất phương trình, hệ

phương trình sau có nghiệm:

1)

5

 + + + =







2) 4 x4−13x+m+ − = có ñúng một nghiệm x 1 0 3) sin6x+cos6x=m.sin 2x

4) cos 3 - cos 2x x+mcos -1 0x = có ñúng 7 nghiệm thuộc ; 2

2

π π

4+x 6−x ≤x −2x+ nghiệm ñúng với m

mọi x ∈ −[ 4; 6]

6) x+ 9− = − +x x2 9x+m

7) x− −3 2 x− +4 x−6 x− + =4 5 m có ñúng hai nghiệm thực phân biệt

8) sin4 cos4 sin 2 1

2

x+ x=m x− có ñúng 2 nghiệm

;

12 2

x π π

∈  

9) Tìm m nhỏ nhất ñể bất phương trình sau ñúng

với∀ ∈x [ ]0;1 : ( 2 ) 2

m x − + ≤x x + + x

t

f’(t)

f(t)

0

-

-1

0

1

0 +

1 3

x

t’

t

-1

-

3

3

7

0 +

3 2

t

f’(t)

f(t)

3

6

3 2

+

9 6 2+