Ứng dụng đạo hàm xét sự biến thiên

Ứng dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số

Bản quyền thuộc Nhúm Cự Mụn của Lờ Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều cỏc em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhúm Cự Mụn luụn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời cỏc thắc mắc − Đăng kớ “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

XẫT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Vấn đề 2: Xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số

Vấn đề 3: Sự biến thiên của hàm số trên một miền

Học Toỏn theo nhúm (từ 1 đến 6 học sinh) cỏc lớp 9, 10, 11, 12

Giỏo viờn dạy: Lấ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngừ 86 − Đường Tụ Ngọc Võn − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kớ học cho con liờn hệ 0936546689

xét tính đơn điệu của hàm số

A Tóm tắt lí thuyết

1 hàm số hằng

Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b) và f'(x) = 0,

∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a; b)

2 điều kiện cần của tính đơn điệu

Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b).

a Nếu hàm số f(x) tăng trong khoảng (a; b) thì f'(x) ≥ 0 , ∀x ∈ (a; b)

b Nếu hàm số f(x) giảm trong khoảng (a; b) thì f'(x) ≤ 0 , ∀x ∈ (a; b)

3 điều kiện đủ của tính đơn điệu

Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b).

a Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì f(x) tăng trong khoảng (a; b)

b Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ (a; b) thì f(x) giảm trong khoảng (a; b)

Ta có mở rộng của định lí 3 nh sau:

Định lí 4: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b).

a Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn

điểm của (a; b), thì f(x) tăng trong khoảng (a; b)

b Nếu f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) , đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn

điểm của (a; b), thì f(x) giảm trong khoảng (a; b)

Ta tóm tắt định lí 4 trong các bảng biến thiên sau:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b)

Điểm x0 đợc gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x0) không xác địnhhoặc bằng 0

Bíc 4: LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè.

VÝ dô 1: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè:

9 + 3x

5) = 

x khi x khi

.B¶ng biÕn thiªn:

3 + 3x

7) = 

x khi x khi

.B¶ng biÕn thiªn:

c + 3ax

d) = 

0 a khi

0 a khi

.Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay a < 0) vàdấu của ∆' = b2 − 3ac (∆' > 0 hay ∆' ≤ 0), do đó ta có bốn trờng hợp biến thiênkhác nhau

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

c) = 

0 a khi

0 a khi

.Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay a < 0) vàdấu của a.b, do đó ta có bốn trờng hợp biến thiên khác nhau

Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

1 x

.Giới hạn:

1x

NhËn xÐt: Hµm ph©n thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt cã d¹ng:

(H): y =

dcx

bax

bcad

2x2

(

x 2 x

−

−

,y' = 0 ⇔ x2 − 2x = 0 ⇔ x = 0 hoÆc x = 2

y − ∞ − 2 −∞ CT

Nhận xét: Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có dạng:

(H): y =

edx

cbx

ax2

+

++ , với ad ≠ 0, tử, mẫu không có nghiệm chung.Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Viết lại hàm số dới dạng:

d

e}

d ) e dx (

+

γ

− + α

,Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x) = α(dx + e)2 − γd

2

++

(

2 x

+ +

2 1

2

c x b x a

c bx ax

+ +

+ +

, với a, a1 ≠ 0, tử, mẫu không có nghiệm chung.Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Miền xác định D = R\{x∈R | a1x2 + b1x + c1 = 0}

Đạo hàm:

1 1

2 1

1 1 1

1

2 1 1

)cxbxa(

bcbcx)caac(2x)baab

(

++

−+

−+

−

,Giới hạn:

∞

→

xlim y =

1a

a

0

x

xlim

→ y = ∞, với x0 là nghiệm của đa thức ở mẫu số

Bảng biến thiên: có 18 trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên

Ví dụ 8: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

y = x2 −2x−3

Giải

Ta có điều kiện:

⇒ D = ( − ∞; − 1]∪[3; + ∞).

§¹o hµm:

y' =

3 x x 2

2 x

−

=

3 x x

1 x

−

,y' = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1

bax2

+

,B¶ng biÕn thiªn: cã 4 trêng hîp kh¸c nhau vÒ chiÒu biÕn thiªn

VÝ dô 9: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè:

x

− = 2 4 x

x38

−

−

,y' = 0 ⇔ 8 − 3x = 0 ⇔ x =

3

8 < 4

)5x(2

= 3

x3

10x

,y' = 0 ⇔ 5x − 10 = 0 ⇔ x = 2

Ngoµi ra, ta cßn cã ®iÓm tíi h¹n x = 0

3 x

x 1 2

−

,y' = 0 ⇔ 1 − 3x = 0 ⇔ x =

3

1.Giíi h¹n:

−∞

→

xlim y = x→lim−∞

1 x

3 x

31+

−

+ = − 1,

+∞

→

xlim y = x→lim+∞

1 x

3 x

31++ = 1

x 2

(

x 2 x 2 2

≤

−

2 2

2

x 1 x x

0 x

0 1 x x

0 x

0 x

⇔ ∀x ⇒ D = R

§¹o hµm:

y' =

1 x x x 2

)' 1 x x x

+

− +

=

1 x x 1 x x x 4

1 x 1 x x 2

2 2

2

+

− +

− +

− + +

−

.NhËn xÐt:

1 x

2 − +

−

−

=2

y' = 0 ⇔ (− 2x + 1)e−x2+x = 0 ⇔ x =

2

1 Giíi h¹n:

y' = 0 ⇔ x −

x

1 = 0 ⇔

x

1x

ln −

,y' = 0 ⇔ lnx − 1 = 0 ⇔ x = e

Giíi h¹n:

1xsin

2

− < 0, ∀x∈D ⇔ hàm số luôn nghịch biến ∀x∈D.Tiệm cận:

2 x

limπ

Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi tìm các điểm tới hạn (thông thờng là việc

giải biện luận phơng trình y' = 0)

Bớc 3: Tính các giới hạn (nếu cần)

Bớc 4: Lập bảng biến thiên của hàm số

Ví dụ 1: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số:

y = 2

1(m2 − 4)x2 − (3m − 6)x +

29 theo m

y(x0) = y(

2m

Suy ra ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ x = ±

6m

Xét hai khả năng sau:

Khả năng 1: Nếu x1 < x2 ⇔ −

2

1 < − 6

m ⇔ m < 3

Khi đó ta có bảng biến thiên:

1(m + 1)x3 − mx2 + 2mx + 1.

Ta đi xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu m + 1 = 0 ⇔ m = − 1, khi đó:

' m x vµ 1 m

' m

+

+

= +

0 x

3)] = + ∞

0 x

.Giíi h¹n:

3)] = + ∞

để thực hiện việc giải và biện luận phơng trình bậc ba.

Ví dụ 7: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số:

=

) 1 ( 0 1 mx

0 x

1)] = + ∞

0 x

.Giới hạn:

1) = − ∞

1 − 1 − 1CT

CĐ

− m

1 − 1

− ∞

16)] = + ∞.

16)] = − ∞

−

=

= m 1 x

m 1 x 1 x

Trờng hợp 2: Nếu m = 0, khi đó:

y’ = (x − 1)3, do đó dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của x − 1.Bảng biến thiên:

1

x4 − 3

1(m + 2)x3 + mx2 + 8

2 x

0 x

Ta xét các trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu m < 0, ta có:

Trờng hợp 2: Nếu m = 0, khi đó:

y’ = x2(x − 2), do đó dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của x − 2.Bảng biến thiên:

Trờng hợp 4: Nếu m = 2, khi đó:

y’ = x(x − 2)2, do đó dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của x.Bảng biến thiên:

Giải

Miền xác định D = R

Đạo hàm:

y' = nxn − 1 − n(c − x)n − 1,

Trêng hîp 2: NÕu n lÎ ⇔ n − 1 ch½n

Suy ra (1) cã nghiÖm lµ x =

2

c.VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm duy nhÊt lµ x =

1mx

(

1 m

y =

1x

mx

m x x ) 1 x )(

1 x 2

(

−

− +

)1x(

1mxx

a x

Đạo hàm:

y' =

1 x ) 1 x

(

1 ax 2

(

1 2

a x

a1+

−

+ = − 1,

+∞

→

xlim y = x→lim+∞

1 x

a x

y − 1

Vấn đề 3: sự biến thiên của hàm số trên một miền

Câu hỏi thờng đợc đặt ra " Tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên tập I ", khi đó ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Miền xác định

a Khảo sát sự biến thiên của hàm số với m = 1.

b Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1; + ∞)

1.Giới hạn:

a

≥

0 ) (f

≤

0 ) (f

0

a

.(4) f(x) ≥ 0, ∀x∈(α; β) ⇔

0

a

≤

0 ) (f

≥

0 ) (f

0

a

.f(x) ≤ 0, ∀x∈(α; β) ⇔







≤ β

≤

α

0 ) (f

0 )

(f

Ví dụ 2: Cho hàm số:

y = 2

1(m2 − 3m + 2)x2 − (m − 1)x + 3

−

0 m 1

0 2 m 3

m 2

⇔ m = 1

Vậy, với m = 1 hàm số đồng biến với mọi x

b Hàm số đồng biến với mọi x ≥ −

2

1 ⇔ f(x) ≥ 0 ∀x ≥ −

21

0 ) 2

1 (f

0 2 m 3

−

0 m m

0 2 m 3 m

c Hàm số đồng biến với mọi x∈[0; 1] ⇔ f(x) ≥ 0 ∀x∈[0; 1]

0 )0

−

≥

−

0 3 m 4 m

0 m 1

Vậy, với m ≤ 1 hàm số đồng biến với mọi x∈[0; 1]

Ví dụ 3: Cho hàm số:

y = − 3

0 a

0 a

0

a

⇔ 0 < a ≤ 1

Vậy, hàm số luôn nghịch biến khi 0 ≤ a ≤ 1

Chú ý: Với tam thức bậc hai:

f(x) = ax2 + bx + c, với a ≠ 0,

ta cần nhớ các kết quả sau:

1 f(x) > 0, ∀x khi và chỉ khi:

Lu ý: Bạn đọc tự suy cho điều kiện f(x) < 0, ∀x.

2 f(x) > 0, ∀x > α (hay x∈(α; + ∞)) khi và chỉ khi:

0 ) x (f

nghiệm

ô v 0 ) x (f

0 a

0 a 0

0 a

0 ) x (f

nghiệm

ô v 0 ) x (f

0 a

0 a 0

0 a

Lu ý: Bạn đọc tự suy cho điều kiện f(x) < 0, ∀x > α hoăc ∀x < α

4 f(x) > 0, ∀x∈(α; β) khi và chỉ khi:

=

>

2 1

2 1

2 1

x x

nghiệm có

0 )x (f

0 a

x x nghiệm có

0 )x (f

x x nghiệm

có 0 )x (f

nghiệm

ô v 0 )x (f

0 a

Lu ý: Bạn đọc tự suy cho điều kiện f(x) < 0, ∀x∈(α; β)

Ví dụ 4: Cho hàm số:

y = 3

(f

0 )2

+

0 1 a2

0 1 a2 a4

4

⇔ a ≤ −

2

1

Vậy, hàm số nghịch biến trong (−2; 0) khi a ≤ −

2

1

Chú ý: Chúng ta cũng có thể sử dụng đánh giá:

x2 − 2ax + 2a − 1 ≤ 0, ∀x∈(−2; 0)

⇔ x2 − 1 ≤ 2ax − 2a, ∀x∈(−2; 0)

⇔ x + 1 ≥ 2a, ∀x∈(−2; 0) ⇔ − 1 ≥ 2a ⇔ a ≤ −

2

1

0 2 1

0

⇔ ∆ = 3 ⇔ 36 − 12a = 9 ⇔ a =

49

Vậy, hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi a =

4

9

Chú ý Ta nhớ lại rằng phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) nếu có hai nghiệm

x1, x2 thì:

|x1 − x2| =

|a

2 1

2 1

xx

2

1xx1

2x

0 )2(

f

1 2

S 1

0 )1(

f

0 )1 (f

2 2 S

0 )2 (f

−

≥

− +

2 1 a

0 8 a5 a

1 1 a 1

0 3 a3 a

0 1 a a

2 1 a

0 a3 a

2

2 2 2

1(m + 1)x3 − (2m − 1)x2 + 3(2m − 1)x + 1.Tìm m để hàm số nghịch biến trên (−1; 1)

Giải

Miền xác định D = R

( x 1 1 x nghiệm có

0 )x

(f

0

a

)I ( 1 1 x x nghiệm có

0 )x (f

x x 1 1 nghiệm có

0 )x (f

nghiệm

ô v 0 )x (f

0

a

2 1

2 1

2 1

0 )1 (

0 )1

0 4 m

11

⇔ m ≤ 0

Nh vậy ta nhận đợc nghiệm − 1 < m ≤ 0

Vậy, với m ≤ 0 thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Chúng ta cũng có thể thực hiện việc biện luận thông qua dấu của ∆’,

 NÕu a < 0 ⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < − 1 th× ®iÒu kiÖn lµ f(x) = 0 cã hainghiÖm tho¶ m·n:

2 1

x x 1 1

1 1 x x

∈

∀

≥ +

)3 ,2 ( x ,0 ) m x (x 4

)0 ,1 ( x ,0 ) m x (x 4

=

)3 ,2 ( x ,0 m

0 )1

≤

+

0 m 4

0 m

1

x4 − 3

1(2m + 1)x3 +

2

3(m + 4)x2 − (m + 12)x + m.Tìm m để hàm số nghịch biến trên (− ∞; − 24)∪(0; 1)

x1nghiệmcó

0)x(

g

)2(0xx24nghiệmcó

0)x(

g

)1(nghiệmképhoặc

nghiệm

ôv0)x(

g

2 1

2 1

 Giải (1), điều kiện là:

∆’g ≤ 0 ⇔ m2 − m − 12 ≤ 0 ⇔ − 3 ≤ m ≤ 4 (4)

 Giải (2), điều kiện là:

S 24

0 ) 0 ( g a

0 ) 24 ( g a

0 'g

≥ + + +

>

−

−

0 m 24

0 12 m

0 12 m m 48 576

0 12 m

0 ) 1 ( g a

0 ' g

0 m 13

0 12 m

m2

⇔ 4 < m ≤ 13

(6)Kết hợp (4), (5), (6) ta nhận đợc − 12 ≤ m ≤ 13

Vậy, với − 12 ≤ m ≤ 13 thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 11: Cho hàm số:

y =

2x

2x6

14 ax 4 ax

+

+ +

.Hàm số nghịch biến trên [1; + ∞)

⇔ y' ≤ 0, ∀x∈[1; + ∞), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

0 a 14

S

0 ) 1 ( af

0 a

<

>

−

1 2

0 ) 14 a 5 ( a

0 a

0 a 14 a

4 2

⇔ a ≤ −

5

14

VËy, hµm sè nghÞch biÕn trong [1; + ∞) khi a ≤ −

5

14

C¸ch 2: Ph¬ng ph¸p hµm sè

(1) ⇔ a(x2 + 4x) ≤ − 14, ∀x∈[1; + ∞)

⇔ g(x) =

x4x

14

2+

−

≥ a, ∀x∈[1; + ∞) ⇔ minx≥1 g(x) ≥ a (2)XÐt hµm sè g(x) =

x4x

)4x2(14

5

14

VÝ dô 12: Cho hµm sè:

y =

ax

aax2

a ax 4 x

−

+

−

.Hàm số đồng biến với ∀x∈(1; + ∞)

S

0 )1 (f

−

1 a2

0 a a4

3 2 a

3 2 a

3 2 a

.(5)

1ax

x2

−

−+

Tìm a để hàm số đồng biến trên (− ∞; − 1) và (1; + ∞)

x2a

(P)

1

1 a x x

⇔ y' ≥ 0, ∀x∈K đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm

S 1

0 ) 1

(

0 ) 1 (

0 a

0 a 4

Giải

 Trớc hết là hàm số cần xác định với mọi x

⇔ x2 − x + a ≥ 0 ∀x ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ 1 − 4a ≤ 0 ⇔ a ≥

4

1

Đạo hàm:

y' = 1 −

a x x 2

1 x

2 − +

−

.Hàm số nghịch biến ∀x∈R

⇔ y' ≤ 0, ∀x, đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm

Xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu a =

4

1, khi đó:

y' = 1 −

4

1xx2

1x2

2− +

−

= 1 −

|1x

|

1x

−

− =

2

1 x khi 0

Vậy y' = 2 trên ( − ∞;

2

1) ⇒ Không thoả mãn

Trờng hợp 2: Nếu a >

4

1, khi đó:

y' = 1 −

a x x 2

1 x

1x2

2− +

−

= 1 −

|1x

|

1x

mx3 + mx2 − x

Bài tập 5: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số:

y = 3

1

x3 − mx2 + (2m − 1)x − m + 2

Bài tập 6: Cho hàm số:

y = − x3 + ax2 − 4

a Với mỗi giá trị của tham số a khảo sát chiều biến thiên của hàm số

b Xác định a để mọi đờng thẳng y = m với − 4 < m < 0 cắt đồ thị hàm sốtại ba điểm phân biệt

Bài tập 7: Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến:

1

mx3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x +

3

1.Tìm m để hàm số đồng biến trong [2; + ∞)

x4 − 3

1(2m + 1)x3 +

2

1m(m + 1)x2 + 3

Bài tập 6: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số:

y = 4

1

x4 − 3

m

x3 + 2

1

x2 + mx + m

Bài tập 7: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số:

y = 4

1

x4 + 3

1(2m + 1)x3 + mx2 − 2m

Bài tập 8: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số:

1

mx4 + 3

1(3m − 4)x3 +

2

1(3m − 7)x2 + (m − 3)x + 1.Tìm m để hàm số nghịch biến trên (− 1; 0)∪(2; + ∞)

Bài tập 12: Cho hàm số:

y = 2

mmx)1m

)4m2m(x)2m

a y =

1x

8mmx

1mx

1mx

m3mx2

2x

mm4x)1m(

+

+++

2mx

−+

b y =

mx

)2mm(mx2x)1m

2mxm

x2 2

+

−+

1x

2m2mx)2m(

−

+

−++

Bài tập 7: Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trong (0; + ∞):

a y =

1x

2x)1m(2

x2

+

++

1mx

mx

2mmx2

x2

−

++

1mx

m2mx

x2

−+

−+

Bài tập 9: Cho hàm số:

y =

xm2

m3mx2

−

+

a Khảo sát sự biến thiên của hàm số với m = 1

b Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trong (1; + ∞)

Bài tập 10: Cho hàm số:

y =

mx

m1x)m1(

x2

+

−

++

−+

a Khảo sát sự biến thiên của hàm số với m = 0

b Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trong (2; + ∞)

5 hàm số khác

Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

a y = x − x 2

b y =

xsin1

xsin1

a x

ax

2+

+

.luôn đồng biến

Bài tập 12: Tìm m để hàm số:

y = − x + 1 − m 4 − x 2 luôn nghịch biến trên miền xác định của nó.

Bạn đọc muốn có tài liệu về lời giải các bài tập xin liên hệ

tới

Nhóm Cự Môn