ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số trần mạnh sâm thpt lạng giang số 2 I. KIN THC CN NH Cho hm s ( ) y f x= liờn tc trờn tp D 1. Phng trỡnh ( ) f x m= cú nghim x D ( ) ( ) min max x D x D f x m f x 2. Bt phng trỡnh ( ) f x m cú nghim x D ( ) min x D f x m 3. Bt phng trỡnh ( ) f x m cú nghim ỳng vi x D ( ) max x D f x m 4. Bt phng trỡnh ( ) f x m cú nghim x D ( ) max x D f x m 5. Bt phng trỡnh ( ) f x m cú nghim ỳng vi x D ( ) min x D f x m II. PHNG PHP GII gii bi toỏn tỡm giỏ tr ca tham s m sao cho phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh cú nghim ta lm nh sau: 1. Bin i phng trỡnh, bt phng trỡnh v dng: ( ) ( ) f x g m= ( hoc ( ) ( ) ( ) ( ) ;f x g m f x g m ) 2. Tỡm TX D ca hm s ( ) y f x= 3. Lp bng bin thiờn ca hm s ( ) y f x= trờn D 4. Tỡm ( ) ( ) min ;max x D x D f x f x 5. Vn dng cỏc kin thc cn nh bờn trờn suy ra giỏ tr m cn tỡm Lu ý: Trong trng hp PT, BPT, HPT cha cỏc biu thc phc tp ta cú th t n ph: + t ( ) t x = ( ( ) x l hm s thớch hp cú mt trong ( ) f x ) + T iu kin rng buc ca x D ta tỡm iu kin t K + Ta a PT, BPT v dng ( ) ( ) f t h m= ( hoc ( ) ( ) ( ) ( ) ;f t h m f t h m ) + Lp bng bin thiờn ca hm s ( ) y f t= trờn K + T bng bin thiờn ta suy ra kt lun ca bi toỏn III. MT S V D MINH HA Vớ d 1.(B-06). Tỡm m phng trỡnh sau cú 2 nghim thc phõn bit 2 2 2 1x mx x+ + = + Gii: 2 2 2 1x mx x+ + = + ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 0 2 2 2 1 3 4 1 * x x x mx x mx x x + + + = + = + Xột phng trỡnh ( ) * + 0 0. 1x x= = , phng trỡnh ny vụ nghim. Ngha l khụng cú giỏ tr no ca m phng trỡnh cú nghim 0x = + 1 0 3 4x x m x + = . Ta xột hm s ( ) 1 3 4f x x x = + trờn tp { } 1 ; \ 0 2 + ữ Ta cú ( ) 2 1 ' 3 0f x x = + > vi { } 1 ; \ 0 2 x + ữ , suy ra hm s ( ) 1 3 4f x x x = + ng bin trờn { } 1 ; \ 0 2 + ữ ( ) 0 0 1 lim lim 3 4 x x f x x x = + = ữ m ; ( ) 1 lim lim 3 4 x x f x x x + + = + = + ữ Ta cú bng bin thiờn ca hm s ( ) f x S nghim ca phng trỡnh (1) bng s giao im ca th hm s ( ) 1 3 4f x x x = + v ng thng y m= trờn min { } 1 ; \ 0 2 + ữ Da vo bng bin thiờn ta c giỏ tr ca m tha món yờu cu bi toỏn l 9 2 m Vớ d 2. Tỡm m phng trỡnh ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0m x x x x + + + cú nghim thuc 0;1 3 + Gii: 1 x f(x) f(x) 1/ 2 0 + + + + + 9 2 ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số trần mạnh sâm thpt lạng giang số 2 t 2 2 2t x x= + ( ) 2 2 2x x t = . Khi ú bt phng trỡnh tr thnh: ( ) 2 1 2m t t+ (*) Ta cú 2 1 ' , ' 0 1 2 2 x t t x x x = = = + Ta cú bng bin thiờn : T ú ta cú 1 2t , t (*) suy ra 2 2 1 t m t + (1) Xột hm s ( ) 2 2 1 t f t t = + trờn tp [ ] 1;2 Ta cú ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ' 0 1 t f t t + + = > + vi [ ] 1;2t Ta cú bng bin thiờn ca hm s ( ) f t Bt phng trỡnh ó cho cú nghim 0;1 3x + bt phng trỡnh ( ) 1 cú nghim [ ] 1;2t [ ] ( ) ( ) 1;2 2 max 2 3 m f t f = = Vớ d 3.(A-08). Tỡm m phng trỡnh sau cú 2 nghim thc phõn bit ( ) 4 4 2 2 2 6 2 6x x x x m m+ + + = Ă Gii iu kin: 0 6x Xột hm s ( ) 4 4 2 2 2 6 2 6f x x x x x= + + + trờn tp [ ] 0;6 Ta cú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 4 2 4 2 2 2 2 6 2 6f x x x x x= + + + ( ) ( ) ( ) 3 1 4 2 1 1 ' 2 .2 2 .2 4 2 f x x x = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 4 2 1 1 2. 6 . 1 2. 6 . 1 4 2 x x + ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 . . 2 2 2 6 2 6 x x x x = + ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 . 2 2 6 2 6 x x x x ữ = + ữ ữ ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 . 2 2 6 2 6 2 6 x x x x x x ữ = + + ữ ữ 4 4 4 4 1 1 1 1 2 6 2 6x x x x + + ữ ữ ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 6 2 6 2 6 2 6 x x x x x x x x ữ = + + + + ữ ữ ữ ta cú ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 0 2 2 6 2 6 2 6 x x x x x x ữ + + + + > ữ ữ vi ( ) 0;6x ( ) 4 4 ' 0 2 6 2 6 2f x x x x x x= = = = Ta cú bng bin thiờn S nghim ca phng trỡnh ó cho bng s giao im ca th hm s ( ) y f x= v ng thng y m= trờn min [ ] 0;6 Da vo bng bin thiờn ta c giỏ tr ca m tha món yờu cu bi toỏn l 4 2 6 2 6 3 2 6m+ < + Vớ d 4.(B-07) Chng minh rng vi mi giỏ tr dng ca tham s m, phng trỡnh sau cú 2 nghim thc phõn bit: ( ) 2 2 8 2x x m x+ = Gii: iu kin: do 0 2m x > . Ta cú: ( ) 2 2 8 2x x m x+ = ( ) ( ) ( ) 2 4 2x x m x + = 2 x t t 0 + - 1 0 1 2 t f(t) f(t) 1 + 2 2 3 1 2 x f(x) f(x) 0 - + 62 0 3 2 6+ 4 12 2 3+ øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 * x x x m =  ⇔  − + =   Nhận thấy phương trình đã cho luôn có 1 nghiệm 2x = , để chứng minh khi 0m > phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt ta cần chỉ ra phương trình ( ) * luôn có một nghiệm thực 2x > khi 0m > Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 4 6 32f x x x x x= − + = + − trên tập ( ) 2;+∞ Ta có ( ) 2 ' 3 12 0f x x x= + > với 2x∀ > ( ) 3 3 6 32 lim lim 1 x x f x x x x →+∞ →+∞   = + − = +∞  ÷   Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f x= và đường thẳng y m= trên miền ( ) 2;+∞ Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra khi 0m > thì phương trình (*) luôn có 1 nghiệm 2x > Vậy với 0m > thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm thực phân biệt Ví dụ 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 4 2 4x x x x m+ + − − + = Giải: Vì ( ) 2 2 2 4 1 3 3 0,x x x x± + = ± + ≥ > ∀ ∈ ¡ nên TXĐ: D = ¡ Xét hàm số ( ) 2 2 2 4 2 4f x x x x x= + + − − + trên ¡ Ta có: ( ) 2 2 1 1 ' 2 4 2 4 x x f x x x x x + − = − + + − + ( ) ' 0f x = ⇔ 2 2 1 1 0 2 4 2 4 x x x x x x + − − = + + − + ( ) ( ) 2 2 1 2 4 1 2 4x x x x x x⇔ + − + = − + + (*) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 4 1 2 4x x x x x x⇒ + − + = − + + 4 3 2 3 2 2 2 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x⇔ − + + − + + − + = 4 3 2 3 2 2 2 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x+ + − − − + + + 0x⇔ = Thay 0x = vào phương trình (*) được: 1 = - 1. Vậy phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra ( ) 'f x chỉ mang 1 dấu (không đổi dấu), có ( ) ' 0 1 0f = > ( ) ' 0,f x x⇐ > ∀ ∈ ¡ Ta có ( ) ( ) 2 2 lim lim 2 4 2 4 x x f x x x x x →+∞ →+∞ = + + − − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 x x x x x x →+∞ = + + + − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 1 1 x x x x x →+∞ = + + + − + 2= ( ) ( ) 2 2 lim lim 2 4 2 4 x x f x x x x x →−∞ →−∞ = + + − − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 x x x x x x →−∞ = + + + − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 1 1 x x x x x →−∞ = − + + − − + 2= − Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f x= và đường thẳng y m= trên ¡ Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 2 2m⇔ − < < Ví dụ 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 3 2 3 4 0 3 15 0 x x x x x m m  − − ≤   − − − ≥   Giải: Ta có: 2 3 4 0 1 4x x x− − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Hệ phương trình đã cho có nghiệm ⇔ 3 2 3 15 0x x x m m− − − ≥ có nghiệm [ ] 1;4x∈ − 3 2 3 15x x x m m⇔ − ≥ + có nghiệm [ ] 1;4x∈ − 3 x f’(x) f(x) 2 + 0 x f’(x) f(x) - + -2 2 øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 Đặt ( ) 3 2 3 3 2 3 1 0 3 3 0 4 x x khi x f x x x x x x khi x  + − ≤ <  = − =  − ≤ ≤   Ta có ( ) 2 2 3 6 1 0 ' 3 6 0 4 x x khi x f x x x khi x  + − < <  =  − < <   ( ) ' 0 0; 2f x x x= ⇔ = = ± Ta có bảng biến thiên : ( ) 2 15f x m m≥ + có nghiệm [ ] 1;4x∈ − [ ] ( ) 2 1;4 max 15f x m m − ⇔ ≥ + 2 16 15m m⇔ ≥ + 2 15 16 0 16 1m m m⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 16 1m ⇔ − ≤ ≤ Ví dụ 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 3 sin cosx x m+ = Giải ( ) ( ) 3 3 sin cos sin cos 1 sin .cosx x m x x x x m + = ⇔ + − = Đặt sin cos 2.sin 4 t x x x π   = + = +  ÷   , 2 2t− ≤ ≤ Khi đó: ( ) 2 2 sin cos sin cost x x t x x= + ⇒ = + 2 1 sin .cos 2 t x x − ⇒ = Phương trình trở thành: 2 3 1 1 3 1 2 2 2 t t m t t m   − − = ⇔ − + =  ÷   Xét hàm số ( ) 3 1 3 2 2 f t t t= − + trên tập 2; 2   −   Ta có: ( ) 2 3 3 ' 2 2 f t t= − + ( ) ' 0f t = ⇔ 2 3 3 0 1 2 2 t t− + = ⇔ = ± Ta có bảng biến thiên: Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f t= và đường thẳng y m= trên 2; 2   −   Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 1 1m⇔ − ≤ ≤ Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 3 1mx x m− − ≤ + (1) Giải: Đặt 3 0t x= − ≥ 2 3x t⇒ = + . Khi đó bất phương trình trở thành: ( ) 2 3 1m t t m+ − ≤ + ( ) 2 2 1m t t⇔ + ≤ + 2 1 2 t m t + ⇔ ≥ + (*) Xét hàm số ( ) 2 1 2 t f t t + = + trên ( ) 0;+∞ Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ' 2 t t f t t − − + = + ( ) 2 ' 0 2 2 0 1 3f t t t t= ⇔ − − + = ⇔ = − ± ( ) 1 1 lim lim 0 2 x x t f t t t →+∞ →+∞ + = = + Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f t Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình (1) có nghiệm ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm 0t > ⇔ ( ) ( ) 0; 3 1 max 4 f t m m +∞ + ≥ ⇔ ≤ Ví dụ 9.(A-07) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − Giải: Điều kiện: 1x ≥ 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − ⇔ − + = + + (1) 4 x f’(x) f(x) -1 + 4 -4 2 0 2 00 -- 16 t f’(t) f(t) - - -1 -1 1 00 +- 2 1 t f’(t) f(t) 0 - +∞ 3 1 4 + 1 2 1 3− + 0+ 0 øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 Đặt 4 1 1 x t x − = + , khi đó phương trình (1) trở thành: 2 3 2t t m− + = (*) Ta có 1x ≥ 0t ⇒ ≥ và 4 2 1 1 1 t x = − < + , vậy 0 1t≤ < Xét hàm số ( ) 2 3 2f t t t= − + trên tập [ ) 0;1 Có ( ) ( ) 1 ' 6 2; ' 0 6 2 0 3 f t t f t t t= − + = ⇔ − + = ⇔ = Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f t Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f t= và đường thẳng y m= trên miền [ ) 0;1 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 1 1 3 m⇔ − < ≤ Ví dụ 10. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( ) ( ) 1 8 1 8x x x x m+ + − + + − = Điều kiện: 1 8x − ≤ ≤ Đặt 1 8t x x= + + − Ta có: 1 1 ' 2 1 2 8 t x x = − + − với 1 8x − < < ' 0t = ⇔ 1 1 0 2 1 2 8x x − = + − 1 8x x⇔ + = − 7 1 8 2 x x x⇔ + = − ⇔ = Ta có bảng biến thiên: Từ đó dẫn đến 3 3 2t≤ ≤ Có ( ) 2 2 1 8 1 8t x x t x x= + + − ⇒ = + + − ( ) ( ) 2 9 1 8 2 t x x − ⇒ + − = , phương trình đã cho trở thành: 2 9 2 t t m − + = 2 2 9 2t t m⇔ + − = Xét hàm số ( ) 2 2 9f t t t= + − trên tập 3;3 2     Ta có: ( ) ' 2 2 0f t t= + > với 3;3 2x   ∀ ∈   Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f t= và đường thẳng 2y m= trên 3;3 2     Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 9 6 2 6 2 9 6 2 3 2 m m + ⇔ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ IV. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm m để các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau có nghiệm: 1) 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y  + + + =     + + + = −   2) 4 4 13 1 0x x m x− + + − = có đúng một nghiệm 3) 6 6 sin cos .sin 2x x m x+ = 4) cos3 -cos 2 cos -1 0x x m x+ = có đúng 7 nghiệm thuộc ;2 2 π π   −  ÷   5) ( ) ( ) 2 4 6 2x x x x m+ − ≤ − + nghiệm đúng với mọi [ ] 4;6x∈ − 6) 2 9 9x x x x m+ − = − + + 7) 3 2 4 6 4 5x x x x m− − − + − − + = có đúng hai nghiệm thực phân biệt 5 t f’(t) f(t) 0 - -1 0 1 3 1 0 + 1 3 x t’ t -1 - 3 3 7 2 8 0 + 3 2 t f’(t) f(t) 3 6 3 2 + 9 6 2+ øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 8) 4 4 1 sin cos sin 2 2 x x m x+ = − có đúng 2 nghiệm ; 12 2 x π π   ∈     9) Tìm m nhỏ nhất để bất phương trình sau đúng với [ ] 0;1x∀ ∈ : ( ) 2 2 1 1m x x x x− + ≤ + + 6 . ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số trần mạnh sâm thpt lạng giang số 2 I. KIN THC CN NH Cho hm s ( ). x f(x) f(x) 1/ 2 0 + + + + + 9 2 ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số trần mạnh sâm thpt lạng giang số 2 t 2 2 2t x x= + ( ) 2 2 2x x