Chú ý: Một số bài toán có dạng vô định ta dùng cách biến đổi nh sau: Dạng 0.
Trang 1Tính giới hạn của hàm số ứng dụng định nghĩa đạo hàm vào tính giới hạn
Giả sử cần tính giới hạn L =
0
lim Q( )
→ có dạng 0
0.
Dạng 1: Ta đợc L =
0
0
0 0
( ) ( )
x x
f x
x x
→
Dạng 2: Ta đợc L =
0
0
0
( ) ( )
x x
x x
→
− với P( )x0 ≠ ∞
Dạng 3: Ta đợc L =
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
x x
→
−
−
−
với g x'( ) 00 ≠
Chú ý: Một số bài toán có dạng vô định ta dùng cách biến đổi nh sau:
Dạng 0 .∞
( ) ( ) ( )
1 ( )
f x
f x g x
g x
=
Dạng ∞ − ∞.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1 ( ) ( )
f x g x
−
Dạng 1 ,∞ ∞0, 00
Cho hàm số y =[ ( )]f x g x( ), để tính giới hạn →
0
lim
x x y mà:
0
lim ( ) 1
0
lim ( )
x x g x hoặc
0
lim ( )
0
lim ( ) 0
x x g x
hoặc →
0
lim ( )
x x f x
→
0
lim ( ) 0
x x g x ta làm nh sau:
Lấy logarit 2 vế lny g x= ( ).ln ( )f x dạng 0 .∞
Trang 2Chuyển ln y về dạng 0
0, rồi ta áp dụng 1 trong 3 dạng trên. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tính giới hạn sau
L = 3
1
lim
1
x
x
→
− ( ĐHQG Hà Nội - 1998 )
Giải:
Đặt f x( )= −x3 3x−2 , ta có: (1) 0f = ,
−
2 2
x
Khi đó:
1
x
f x
→
Ví dụ 2: Tính giới hạn
L = 3 3 2
2 1
lim
1
x
x
→
− ( ĐHTC Kế toán - 2001)
Giải:
Viết lại giới hạn trên dới dạng:
L =
→
1
x
Đặt f x( )= 5− −x3 3 x2+7 , ta có (1) 0f = ;
2
12
Khi đó: L =
1
x
f
→
Ví dụ 3: Tính giới hạn
L =
0
lim
x
→
+ − − ( ĐHGT - 1998 )
Trang 3Viết lại giới hạn trên dới dạng:
L =
→
+ − −
0
x
x
x
Đặt ( ) 1f x = − 2x+ +1 sinx, ta có (0) 0f = ;
+
1
x
Đặt g x( )= 3x+ − −4 2 x, ta có (0) 0g = ;
+
4
x
Khi đó: L =
0
( ) (0)
'(0) 0
( ) (0) '(0) 0
x
f
x
x
→
−
−
−
Nhận xét: Để tính giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng ta phải làm nh
sau
+ − −
=
−
−
x
x x
Trang 4Do đó L =
0
lim
x
→
+ − −
→
−
0
x
x x
Ví dụ 4: Tính giới hạn
K π
→
a
lim(a )tan , (a 0)
2a
x
x
x ( Dạng 0.∞ )
Giải:
Viết lại giới hạn trên nh sau:
a
lim
x
x
→
→
Đặt ( ) cot
2a
x
f x = π , ta có (a) 0f = , = π −π
2
1 '( )
2a sin
2a
f x
x
π
−
⇒ '( )=
2a
π
π
→
−
−
a
cot 2a
x
x
f a x
Do đó K = 2
a
π .
Ví dụ 5: Tính giới hạn
0
lim( x )x
→ + ( Dạng 1∞)
Giải:
Đặt = +
1
( x )x
=( + )1⇒ln = ln(e + )
x
x
Xét f x( ) ln(e + ).= x x Ta có: (0)= 0,f
Trang 5→ →
−
−
Do đó L = 2
e