Ứng dụng đạo hàm xét sự tiếp xúc của hai đồ thị

Ứng dụng đạo hàm xét sự tiếp xúc của hai đồ thị

Bản quyền thuộc Nhúm Cự Mụn của Lờ Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều cỏc em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhúm Cự Mụn luụn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời cỏc thắc mắc  Đăng kớ “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ

Vấn đề 1: Chứng minh hai đồ thị tiếp xúc với nhau

Vấn đề 2: Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị tiếp xúc với nhau

Vấn đề 3: Họ đồ thị tiếp xúc với một đồ thị cố định dạng I

Vấn đề 4: Họ đồ thị tiếp xúc với một đồ thị cố định dạng II

Học Toỏn theo nhúm (từ 1 đến 6 học sinh) cỏc lớp 9, 10, 11, 12

Giỏo viờn dạy: Lấ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngừ 86  Đường Tụ Ngọc Võn  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kớ học cho con liờn hệ 0936546689

sự tiếp xúc của hai đồ thị

A Tóm tắt lí thuyết

Mệnh đề: Hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi

hệ phơng trình sau có nghiệm:









) x ( ' g ) x ( ' f

) x ( g ) x ( f

Khi đó, nghiệm của hệ phơng trình chính là hoành độ tiếp điểm

B phơng pháp giải toán

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng hai đồ thị hàm số sau tiếp xúc với nhau:

y = x3  3x2 + 1 và y = 9x + 6

Giải

Xét hệ phơng trình:

















9 x 6 x

3

6 x 9 1 x 3 x

2

2 3

 



















3 x 1 x

6 x 9 1 x 3

 x = 1

Vậy, hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau tại điểm M(1, 3)

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng hai đồ thị hàm số sau tiếp xúc với nhau:

y = x2  4x + 1 và y = x + 1 và y = 3x2 + 4x + 1 và y = x  1

Giải

Xét hệ phơng trình:

























4x + 1 và y = x 6 4x + 1 và y = x

2

1 x 4x + 1 và y = x 3 1 x 4x + 1 và y =



















 1 x

1 x 4x + 1 và y = x 3 1 x 4x + 1 và y =

 x = 1

Vậy, hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau tại điểm M(1, 2)

xúc với nhau

Ví dụ 1: Cho hàm số :

y = 2x33(m + 3)x2 + 18mx8

Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

Giải

Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :









0 '

y

0 y

 



















0 m 18 x ) 3 m ( 6 x 6

0 8 mx 18 x ) 3 m ( 3 x 2

2

2 3

 











 m x

3 x

0 8 mx 18 x ) 3 m ( 3 x

























6 2 4x + 1 và y = m

1 m 27

35 m

Vậy, với m =

27

35

, m = 1, m = 4x + 1 và y =  2 6 thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 2: Cho hàm số :

y = (x1)(x2 + mx + m)

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành Xác định toạ độ tiếp điểm trong mỗi trờng hợp tìm đợc

Giải

Đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :









0 '

y

0 y

 















0 x ) 1 m ( 2 x 3

0 ) m mx x

)(

1 x (

2 2





























2 / 1 m

và

1

x

0 m

và

0

x

4x + 1 và y = m

và

2

x

Vậy :

- Với m = 4x + 1 và y = , đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox tại tiếp điểm M1(2, 0)

- Với m = 0, đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox tại tiếp điểm M2(0, 0)

- Với m = 

2

1

, đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox tại tiếp điểm M3(1, 0)

Ví dụ 3: Cho hàm số :

(Ca) : y = f(x) = x3ax

a Lập phơng trình Parabol qua A( 3, 0), B( 3, 0) tiếp xúc với (C3)

b Tìm x để t  x sao cho f(x) = f(t)

Giải

a Với a = 3, hàm số có dạng :

y = x33x

Parabol (P) : y = x2 + x +  đi qua A( 3, 0), B( 3, 0) có dạng :

(C3) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :





















x 2 3 x

3

3 x x 3 x

2

2 3

 











x 2 3 x 3

0 ) 3 x )(

x (

2

2

α α





















3

x

3

α

x

α

Vậy, tồn tại hai Parabol là (P1): y = 3x23 3 và (P2): y = - 3x23

3 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Ta có

f(x) = f(t)  x3ax = t3at  (tx)(t2 + xt + x2a) = 0

 g(t) = t2 + xt + x2a = 0

Vậy để t  x sao cho f(x) = f(t)



























0 )

x ( g

0 0

g

g

 







3 a 2

| x

| 0 a

Ví dụ 4: Cho hàm số :

y = (x + 1)2(x1)2 Tìm b để (P) : y = 2x2 + b tiếp xúc với đồ thị hàm số

Giải

Đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol y = 2x2 + b khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

















x 4x + 1 và y = x 4x + 1 và y = x

4x + 1 và y =

b x 2 ) 1 x ( ) 1 x

(

3

2 2

2







  









2 x

0 x

0 b 1 x 4x + 1 và y =

x 4x + 1 và y = 2















3

b

1

b

Vậy, với b = 1 hoặc b = 3 đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol y = 2x2 + b

Ví dụ 5: Cho hàm số :

y =

m mx

4x + 1 và y = m ) x x )(

1 m









Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = 1

Giải

Đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = 1 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :





























0 ) m mx (

m ) 1 m 4x + 1 và y = ( m

1 m

1 m mx 1 m 4x + 1 và y = ) 3 x (

m

1 m

2















 9

10 m

2 m

Vậy, với m = 2 hoặc m =

9

10

đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = 1

Ví dụ 6: Cho hàm số :

(C) : y =

1 x

1 x

x2







Xác định a để đồ thị (C) tiếp xúc với Parabol y = x2 + a

Giải

Đồ thị (C) tiếp xúc với parabol y = x2 + a khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :























x 2 ) 1 x

(

x 2 x

a x 1

x

1 x x

2 2

2 2

















 0 x

a x 1

x 1 x

 a = 1

Vậy, với a = 1 đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol y = x2 + a

dạng I

Với yêu cầu " Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đồ thị cố

định có dạng cho sẵn ", chúng ta thực hiện theo các bớc sau :

Bớc 1: Với dạng đồ thị cố định cho sẵn, ta đợc :

 Đờng thẳng là (d) : Ax + by + C = 0

 Parabol là (P) : y = ax2 + bx + c

Bớc 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị với mọi gía trị của

tham số, ta xác định đợc đồ thị cố định

Ví dụ 1: Cho hàm số :

(C) : y = x2 + (2m + 1)x + m21

Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đờng thẳng cố định.

Giải

Giả sử đờng thẳng (d) : y = ax + b luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số, khi đó

hệ phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :























) 2 ( a

1 m 2 x

2

) 1 ( b ax 1 m x ) 1 m 2 (

Thay (2) vào (1) đợc :

(2m + 1a)24x + 1 và y = (m21b) = 0, m

 4x + 1 và y = (1a)m + (1a)2 + 4x + 1 và y = (1 + b) = 0, m

 













0 ) b 1 ( 4x + 1 và y = ) a 1

(

0 ) a 1

(

4x + 1 và y =





 1 b

1 a

Vậy, (C) luôn tiếp xúc với đờng thẳng cố định (d) : y = x1 với mọi m.

Ví dụ 2: Cho hàm số :

y =

m x

m x ) m 1 (





Chứng minh rằng với mọi m  0, đồ thị hàm số tiếp xúc với một đờng thẳng cố định

Giải

Giả sử đờng thẳng (d) : y = ax + b luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số

Khi đó, hệ phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số m  0 :





















a ) m x ( m

b ax m

x

m x ) m 1 (

2

















0 ) 1 ( m ) 1 )(

a 2 m ) 1 a 0 a

2

























0 )

1 b

(

0 )

1 b

)(

1 a

( 2

0 )

1 a

(

0 a

2 2

, m  0 









1

b

1

a

Vậy, đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với đờng thẳng cố định (d) : y = x + 1 với

mọi m  0

Ví dụ 3: Cho hàm số :

y =

m x

m 1 x ) m 1 (

x2









Chứng minh rằng với mọi m khác1, đồ thị hàm số tiếp xúc với một đờng thẳng cố định tại một điểm cố định

Giải

 Xác định điểm cố định :

Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định của họ (Cm) Khi đó :

y0 =

m x

1 m x ) m 1 ( x

2

0 0

2 0









 



















0 x y 1 x m ) 1 y

x

(

0 m

x

0 0 2 0

0

0

, m 1

























0 x y x 1 x 2

0 1 y x

m x

0 0 0 2

0







 2 y

1 x

0

0  M(1,

2)

Vậy, họ (Cm) luôn đi qua một điểm cố định M(1,2)

 Xác định đờng thẳng cố định.

Ta có :

y' =

2

2 2

) m x (

1 m 2 m mx 4x + 1 và y = x

2











 y'(1) = 1

Khi đó phơng trình tiếp tuyến tại điểm M có dạng :

(d) : y = 1(x + 1)2  (d) : y = x1

Vậy, đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng (d) : y = x1 tại điểm M(1,2)

Chú ý : Chúng ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách thực hiện theo các bớc :

Bớc 1: Xác định phơng trình đờng thẳng cố định luôn tiếp xúc với đồ thị

hàm số

Bớc 2: Xác định toạ độ tiếp điểm và nhận xét rằng tiếp điểm là một

điểm cố định của đồ thị

Ví dụ 4: Cho hàm số :

y =

1 mx

) 1 mx )(

m 2 ( x m







Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một Parabol cố định

Giải

Viết lại hàm số dới dạng :

y = 2mxm2 +

1 mx

2

 ,

ta có :





x

lim [y(2mxm2)] = 0

nên y = 2mxm2 là đờng tiệm cận xiên

Giả sử Parabol (P) : y = ax2 + bx + c luôn tiếp xúc với tiệm cận xiên, khi

đó hệ sau có nghiệm với mọi m  0 :

















b ax 2 m

2

c bx ax m

mx

 











0 ) m c 4x + 1 và y = ) m 2 b ( 0 a

2

2 ,  m  0















0 ac 4x + 1 và y = b bm 4x + 1 và y = m

)

a

(

4x + 1 và y =

0

a

2

 















0 ac

4x + 1 và y = b

0 b

4x + 1 và y =

0 )

a 1

( 4x + 1 và y =

0 a









0 c

0 b

1 a

Vậy, tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với (P) : y = x2 với mọi m0

dạng II

Với yêu cầu " Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đồ thị cố

định không có dạng cho sẵn ", chúng ta thực hiện theo các bớc sau :

Bớc 1: Xác định dạng của y = g(x) bằng cách khử m từ hệ :







 0 dm df

) m , x ( f y

 y = g(x)

Bớc 2: Đi chứng minh y = f(x, m) luôn tiếp xúc với y = g(x) với mọi gía

trị của tham số

Ví dụ 1: Cho hàm số :

(C) : y = 2x2 + (2m1)x + m2 + 4x + 1 và y = m

Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đồ thị cố định

Giải

Xét hệ :









0 dm

df

) m , x ( f y

 

















) 2 ( 0

4x + 1 và y = m 2 x 2

) 1 ( m 4x + 1 và y = m x ) 1 m 2 ( x 2

(I) Khử m từ hệ (I) bằng cách rút m từ (2) thay vào (1) ta đợc :

y = x25x4x + 1 và y =

Ta đi chứng minh (C) luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x25x4x + 1 và y = Thật vậy, xét hệ phơng trình :



























5 x 2 1 m 2 x

4x + 1 và y =

4x + 1 và y = x 5 x m 4x + 1 và y = m x ) 1 m 2 ( x

 













2 m x

0 ) 2 m x

 x = m2  hệ có nghiệm

Vậy, đồ thị hàm số tiếp xúc với đồ thị cố định y = x25x4x + 1 và y = với mọi m

Ví dụ 2: Cho hàm số :

(C) : y = x3 + 4x + 1 và y = x2 + mx +

2

m2

Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đồ thị cố định

Giải

Xét hệ :









0 dm

df

) m , x ( f y



















) 2 ( 0

m x

) 1 ( 2

m mx x

4x + 1 và y = x y

2 2

3

(I) Khử m từ hệ (I) bằng cách rút m từ (2) thay vào (1) đợc :

y = x3 +

2

7

x2

Ta đi chứng minh (C) luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 +

2

7 x2

Thật vậy, xét hệ phơng trình :























x x m x x

x 2

7 x 2

m mx x 4x + 1 và y = x

2 2

2 3

2 2

3

 







 m x

0 ) m x

( 2  x = m  hệ có nghiệm

Vậy, đồ thị hàm số tiếp xúc với đồ thị cố định y = x3 +

2

7 x2 với mọi m

Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho hàm số :

(P) : y = x2 + (a + 2m)x + 3ab

a Tìm a, b để (P) tiếp xúc với đờng thẳng y = 4x + 1 và y = x + 1 với mọi m

b Với a, b đã tìm đợc ở trên Tìm tập hợp các đỉnh của (P) khi m biến thiên

Bài tập 2: Cho hàm số :

y = 2mx3(4x + 1 và y = m2 + 1)x2 + 4x + 1 và y = m2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =

2

1

b Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

Bài tập 3: Cho hàm số :

y = x3(m + 1)x2(2m23m + 2)x + 2m(2m1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Tìm các điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m Từ kết quả đó xác định

m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

Bài tập 4: Cho hàm số :

(Cm) : y = 2x3 + (2m5)x23mx5m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2

b Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 ?

c Với giá trị nào của m đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox

Bài tập 5: Cho hàm số :

(Cm) : y = mx3(2m1)x2 + (m2)x2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Chứng minh rằng mọi đờng cong của họ (Cm) đều tiếp xúc với nhau

Bài tập 6: Cho hàm số :

(Cm) : y = x4x + 1 và y = + mx2(m + 1)

a Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = 2(x1) tại

điểm có hoành độ x = 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với

m tìm đợc

b Chứng minh rằng (Cm) đi qua hai điểm cố định

c Sử dụng đồ thị ở câu a), biện luận theo k số nghiệm của phơng trình :

4x + 1 và y = x2(1x2) = 1k

Bài tập 7: Cho hàm số :

y = (x + 1)2(x1)2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Xác định a để đồ thị hàm số tiếp xúc với (P) : y = ax23

Bài tập 8: Cho hàm số :

y =

2 x

1 a 2 ax 3

ax2







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với a = 1

b Với giá trị nào của a thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = a

Bài tập 9: Cho hàm số :

y =

m mx

4x + 1 và y = m ) x x )(

1 m









a Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, đờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

b Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = m

Bài tập 10: Cho hai hàm số :

(H) : y =

1 x

2 mx





, (P) : y = x2mx2

a Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số đã cho luôn đi qua một điểm

cố định

b Với giá trị nào của m thì điểm cố định ấy trở thành điểm tiếp xúc của hai đồ thị

Bài tập 11: Cho hàm số :

(Ck): y =

1 k x

k 2 kx

x2









a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với k = 1

b Chứng minh rằng với mọi k  2 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đ-ờng thẳng cố định tại một điểm cố định

Bài tập 12: Cho hàm số :

y =

m x

) 2 m m ( mx 2 x ) 1 m











a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một Parabol cố định

Bài tập 13: Cho hàm số :

(Cm) : y =

1 m x

1 m mx









a Với m = 2 :

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

 Tìm M  (C2) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất

b Chứng minh rằng với mọi m  1 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một

đờng thẳng cố định

Bài tập 14: Cho hàm số :

y =

m x

m x

mx2







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một Parabol cố định

Bài tập 15: Cho hàm số :

y =

m x

2 m m ( mx 4x + 1 và y = x ) 1 m ( 4x + 1 và y = 2 3 2













a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một Parabol cố định

Bài tập 16: Cho hàm số :

(C) : y = x2 + (2m1)x + m2 + 4x + 1 và y = m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị thuộc (0, 2)

c Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với một đồ thị cố định

Bài tập 17: Cho hàm số :

(C) : y = x3 + 2mx + m2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 6

b Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành

độ lập thành cấp số cộng

c Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với một đồ thị cố định

Bài tập 18: Cho hàm số :

(C) : y = x4x + 1 và y = + 2mx2

3

m3 , với m  0

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 3

b Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành

độ lập thành cấp số cộng

c Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với một đồ thị cố định

Bạn đọc muốn có tài liệu về lời giải các bài tập xin liên hệ tới

Nhóm Cự Môn