Tứ Giác Nội Tiếp

O D A B C TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1.ĐỊNH NGHĨA: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn ta gọi là tứ giác nội tiếp trong đường tròn gọi tắt là tứ giác nội tiếp... Chứng minh: Giả sử tứ gi

O D

A

B

C

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1.ĐỊNH NGHĨA: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn ta gọi là tứ giác nội tiếp trong đường tròn ( gọi tắt là tứ giác nội tiếp )

2.ĐỊNH LÝ1: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối bằng 1800

Chứng minh: Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp được trong

đường tròn, ta chứng minh   0

180

A C  ( hay   0

180

BD )

Ta có:

1 2 1 2

DAB DCB

DCB DAB











DAB DCB DCB DAB

Tức là:   0

180

A C  

3.ĐỊNH LÝ 2: Đảo lại, nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được trong đường tròn

Chứng minh: Giả sử tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc

180

A C   ta chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn Vì luôn có đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác nên ta dựng đường tròn (O) đi qua ba đỉnh A,

B, D Và ta chứng minh điểm C cũng nằm trên đường tròn này Thật vậy ta có:

n

m

O B

A

D

C

Cung BmD  là cung chứa góc 0 

180  A ( nghĩa là mọi điểm

nằm trên cung BmD  đều nhìn đoạn thẳng BD dưới một góc

là 0 

180

BCD   A ( giả thiết ) nên điểm C cũng thuộc cung BmD  , tức là bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O)

B

C

D

A

B C

D

E

4.DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP:

- DH 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

- DH 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

- DH 3: Nếu tam giác ABC có đoạn thẳng DE cắt và tạo

ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ: B D B E

B C  B A

thì tứ giác ADEC nội tiếp

- DH 4: Nếu ta xác định được một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác thì tứ giác đó nội tiếp

- DH 5: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh

chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp

D C

B A

1 2

2

1

1

1

O

I

A

H

5 BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác BN Từ A

kẻ một tia vuông góc với tia BN cắt BC tại H Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh bốn A, O,

H, C cùng nằm trên một đường tròn

Bài 2: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại M và

P Tiếp tuyến tại M của (O1) cắt (O2) tại A, tiếp tuyến tại

M của (O2) cắt (O1) tại B Trên tia đối của tia PM lấy H sao cho PH = PM Chứng minh bốn điểm M, A, H, B thuộc một đường tròn

Giải:

Bài 1:

O1

P

O2

H

A B

Cách 1: Ta sẽ chứng minh góc A1 bằng góc C1 từ đó suy

ra điều phải chứng minh

Ta có:  0 

1 90 1

A   O ( vì ∆ AOI vuông tại I )

1 2 2

O  A  B ( góc ngoài của tam giác )

=

A B



1 90 ( )

A B

A   

Ta lại có:   0  

1

C     =

0

A B

Vậy  

Cách 2: Ta chứng minh góc  

1

2

O A C  A ( do OA là phân giác )

Mặt khác tam ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường cao nên ∆ ABH cân tại B, vậy BI là trung trực của đoạn thẳng AH mà B và O đều nằm trên đường trung trực BI nên suy ra  

2 1

A  H hay  

1

Bài 2:

Ta có

1 1

2 1

M A

M B



 ∆ BMP đồng dạng ∆ MAP

Nên BM MA MA

BP  MP  PH MB PB

MA PH

BMA  BPA Vậy ∆ BMA đồng dạng ∆ BPH, tức là

BAM  BHP (đpcm )

Vẫn còn cách khác mời các em tìm xem Chúc thành công

Th ầy Nguyễn Hoàng Lâm Cellphone 01666 34 94 73