Tứ giác nội tiếp

Tứ giác ABCD có 4 đỉnh A, B, C, D đều nằm trên đ ờng tròn Tứ giác PNMQ có đỉnh P nằm trong đ ờng tròn Tứ giác PNMQ có đỉnh P nằm ngoài đ ờng tròn Tứ giác ABCD gọi là tứ giác nội

a) Đ ờng tròn ngoại tiếp một tam giác là đ ờng tròn

* Điền vào chỗ ( ) để đ ợc khẳng định đúng

b) Tâm của đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm các

đ ờng

đi qua ba đỉnh của tam giác

Đáp án

trung trực các cạnh của tam giác

Em hãy quan sát các hình sau và nhận xét về các đỉnh của

các tứ giác đó với đ ờng tròn?

Tứ giác ABCD có

4 đỉnh A, B, C, D

đều nằm trên đ ờng

tròn

Tứ giác PNMQ có

đỉnh P nằm trong

đ ờng tròn

Tứ giác PNMQ có

đỉnh P nằm ngoài

đ ờng tròn

Tứ giác ABCD gọi là tứ giác nội tiếp đ ờng tròn

Thế nào là tứ giác nội tiếp đ ờng tròn?C

.

A

B

D

Q

P

Q

N

M

P

N

M

O

1 Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ ờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đ ờng tròn

* Tứ giác nội tiếp đ ờng tròn còn gọi tắt là tứ giác nội tiếp

Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp trong hình sau :

1 Khái niệm tứ giác nội tiếp

Tứ giác ABCD

D

E

M

B A

C O

* Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ ờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đ ờng tròn

Có tứ giác nào trên hình không nội tiếp đ ợc đ ờng tròn không?

GV : Nh vậy có những tứ giác nội tiếp đ ợc và

có những tứ giác không nội tiếp đ ợc bất kỳ đ

ờng tròn nào.

1 Khái niệm tứ giác nội tiếp

D

E

M

B A

C O

Tứ gi

ác AM

DE

Tứ gi

ác AM

DE

1.Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ ờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đ ờng tròn.

Em hãy đo góc A và góc C, rồi tính tổng  

106 0

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn (O)74 0

B

C D

O A

1.Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ ờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đ ờng tròn.

Em hãy nêu nhận xét về tổng hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp ?

Nhận xét: Tổng số đo của hai góc đối diện của tứ giác

nội tiếp bằng 1800

B

C D

O A

  0

A C 180  

1.Khái niệm tứ giác nội tiếp

2 Định lý

Em hãy viết giả thiết và kết luận của định lý ?

Tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn (O) GT

KL

B D 180  

Chứng minh

Sđ

 1

A

2

 BC D ( định lý góc nội tiếp)

 1

C

2

 Sđ BA D ( định lý góc nội tiếp)

A C

2

Sđ

BC D  BA D)

nên Sđ

Mà BC D  B A D 360   0 A C 180     0

Chứng minh t ơng tự  B D 180    0

Góc A là góc gì ? Góc C là góc gì ? Cách tính số đo của các góc đó?

B

C D

O A

Hãy tính tổng góc A và góc C

Tr ờng hợp

1) 2) 3) 4) 5) 6)

1.Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ ờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đ ờng tròn.

2 Định lý

* Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0

Bài tập 53 (SGK)

Góc

A

B

C

D

1000

1100

Đáp án Đáp án Đáp án Đáp án Đáp án Đáp án

750

1050

1200

1400 1150

1060

850

820

500

1300

1200

600

1.Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ ờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đ ờng tròn.

2 Định lý

* Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0

3 Định lý đảo

Một tứ giác nội tiếp thì có tổng hai góc góc đối diện bằng 1800

liệu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 thì có nội tiếp đ ợc một đ ờng tròn

hay không?

Em hãy phát biểu mệnh đề đảo của định lý

vừa chứng minh?

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đ ợc đ

ờng tròn

GT

KL Tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn (O)

Tứ giác ABCD có B  D  1800

B

Qua 3 đỉnh A, B, C của tứ giác ta vẽ

đ ờng tròn (O) Để tứ giác ABCD là

tứ giác nội tiếp cần chứng minh

điều gì ?

O

C A

D 18018000

1.Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ ờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đ ờng tròn.

2 Định lý

* Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0

3 Định lý đảo

* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp đ

ợc đ ờng tròn

GT

KL Tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn (O)

B D 180  

Tứ giác ABCD có

Chứng minh

Giả sử tứ giác ABCD có Ta vẽ đ ờng tròn tâm O qua A, B, C

Hai điểm A và C chia đ ờng tròn (O) thành hai cung ABC và AmC, trong

đó là cung chứa góc ( 1800- ) dựng trên đoạn thẳng AC Mặt khác

từ giả thiết suy ra = Vậy điểm D nằm trên cung AmC nói trên Tức là tứ giác ABCD có cả bốn đỉnh nằm trên đ ờng tròn (O)

B D 180  

D 1800  B 

Hai điểm A và C chia đ ờng tròn thành hai

cung ABC và AmC Có cung ABC là cung

chứa góc B dựng trên đoạn thẳng AC Vậy

cung AmC là cung chứa góc nào dựng trên

đoạn AC?

Tại sao đỉnh D lại thuộc cung AmC?

Kết luận về tứ giác ABCD?

B

C

A

D

O

m

1.Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ ờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đ ờng tròn.

2 Định lý

* Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0

3 Định lý đảo

* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp đ

ợc đ ờng tròn

Trong bài học hôm nay có những cách nào để

chứng minh một tứ giác nội tiếp?

Có 2 cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp đ ờng tròn:

+ Dựa vào định nghĩa: 4 đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểm cố định mà ta xác

định đ ợc

+ Dựa vào đ/l đảo: Một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0

+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại d ới một góc



Có 4 cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp đ ờng tròn:

Hình thang cân ABCD ( BC =AD) có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau: mà Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng 1800 nên nội

tiếp đ ợc đ ờng tròn

 

A  B ; C  D A  D  1800  A  C  1800

Những tứ giác nội tiếp đ ợc đ ờng tròn là :

C Hình thang cân; Hình chữ nhật; Hình thang vuông

Em hãy giải thích ?

A Hình chữ nhật ; Hình bình hành; Hình vuông

A Hình chữ nhật ; Hình bình hành; Hình vuông

B Hình thoi; Hình vuông; Hình thang

B Hình thoi; Hình vuông; Hình thang

D Hình thang cân; Hình chữ nhật; Hình vuông

Bài1 : Em hãy chọn ý đúng trong các ý sau:

Sai

Hình chữ nhật ; hình vuông thì nội tiếp đ ợc đ ờng tròn vì tổng

hai góc đối diện là 900 +900 = 1800

Sai Sai

Đúng

Bài 2 : Cho tam giác ABC Các đ ờng phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại S, các đ ờng phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại E Chứng minh BSCE là

B

S

E

C

H ớng dẫn

Ta có BS và BE là hai tia phân giác của

hai góc kề bù nên

Ta có BS và BE là hai tia phân giác của

Ta có CS và CE là hai tia phân giác của

hai góc kề bù nên

Ta có CS và CE là hai tia phân giác của

SBE + SCE = 180 Do đó tứ giác BSCE nội tiếp

Bµi tËp vÒ nhµ

54, 55 SGK 39, 40SBT