Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giỏ trị nguyờn dương của n.. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN..
Trang 1Phòng GD- ĐT vĩnh tờng
Trờng THCS vũ di
==========
Đề thi khảo sát HSG 02-2011
Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề )
-Bài 1: (2,0điểm)
a) Xỏc định a để cho đa thức x3 - 3x + a chia hết cho (x - 1)2
b) Tỡm x biết: x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0
Bài 2: (3điểm)
a) Tỡm cỏc số nguyờn m, n thỏa món 2 1
1
m n
b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giỏ trị nguyờn dương của n
c) CMR: Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thỡ a2+b2 chia hết cho 13
Bài 3: (1điểm)
Tớnh tổng: S = 11.3 + 31.5 + 51.7 + … + 2009.20111
Bài 4: (4 điểm):
Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm
a) Tớnh tổng AAHA'' BBHB''HCCC''
b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC
và gúc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM
c) Tam giỏc ABC như thế nào thỡ biểu thức 2 2 2
2
' CC ' BB ' AA
) CA BC AB (
đạt giỏ trị nhỏ nhất?
-(Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
Trang 2HDC Khảo sát HSG 02-2011
Bài 1: (2,0đ)
a) (1,0đ) x3 - 3x + a = (x2 - 2x +1)(x +2) + a - 2 (0,5)
(x3 - 3x + a) chia hết cho (x - 1)2 a-2 = 0 a = 2 (0,5)
b) (1,0đ) x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0
Bài 2 (3đ)
a) Thực hiện chia
1
1
2
n
n n
1
1
Để m nguyên với n nguyên khi n + 1 là ớc của 1
Hay n + 1 1; -1 Khi đó : n+1 = 1 n = 0 Z ( t/m)
n+ 1 = -1 n = -2 Z (t/m) Với n = 0 m = 1 Với n = -2 m = - 3 Vậy (0,5)
b) A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) =
Khi đó : 3(n+1) chia hết cho 3
n( n +1) (n+ 2) là tích của 3 số nguyên dơng liên tiếp nên tồn tại (0,5)
a2+b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13n+ 3) 2 = = 13( 13k2 +4k +13 n2 +4n +1) (0,75)
B i 3: ài 3: (1,0đ)
2 3 3 5 2009 2011 2 2011 2011 (1,0)
Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hỡnh đỳng
(0,25)
a) AAHA''
BC '.
AA 2 1
BC '.
HA 2 1 S
S
ABC
HBC
;
(0,25)
Tương tự: SS CCHC''
ABC
HAB
; SS BBHB''
ABC
HAC
(0,25)
S
S S
S S
S ' CC
' HC ' BB
' HB
'
AA
'
HA
ABC
HAC ABC
HAB ABC
HBC
(0,25) b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC:
; MACM AIIC
BI
AI NB
AN
;
AC
AB
IC
BI
(0,5)
AM IC BN CM
AN
.
BI
1 BI
IC AC
AB AI
IC BI
AI AC
AB MA
CM
.
NB
AN
.
IC
BI
c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25) -Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25)
- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD (0,25)
-BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2
AB2 + AD2 (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2
(BC+AC)2 – AB2 (0,25)
(0,5 ) (0,5)
Trang 3Tương tự: 4AA’2
(AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
4 ' CC ' BB '
AA
) CA BC AB
(
2 2
2
2
(0,25) Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
ABC đều
Kết luận đúng (0,25)
B
A
C I
B’
H N
x
A’
C’
M
D B
A
C I
B’
H N
x
A’
C’
M
D