Phßng Gi¸o dôc
HuyÖn Vò th
§Ò kh¶o s¸t häc sinh giái n¨m häc 2007 – 2008
M«n: To¸n líp 7
Thêi gian lµm bµi : 120 phót
Bµi 1: 5®iÓm
1.Thùc hiÖn phÐp tÝnh (theo c¸ch hîp lÝ nÕu cã thÓ)
9
12 9
b)
+
2) Chøng tá r»ng 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31
Bµi 2 (4®iÓm)
1)T×m x biÕt 1: x 1 0,25 5
2)T×m ba sè x,y,z biÕt r»ng 2x y z
2 + − = −
Bµi 3 (4®iÓm)
Cho hai ®a thøc : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 6
Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) – 10x2 + 9x
§Æt H(x) = P(x) - Q(x)
1.Chøng minh ®a thøc H(x) kh«ng cã nghiÖm
2.Chøng tá r»ng: H(x) ≠2008 víi ∀ ∈ x Z
Bµi 4(5®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC, trªn c¸c c¹nh AB vµ AC theo thø tù lÊy c¸c ®iÓm M,N sao cho AM = AN ( M n»m gi÷a A vµ B, N n»m gi÷a A vµ C)
1.Chøng minh r»ng : NÕu AB = AC th× BN = CM
2) Cho biÕt AB > AC:
a) chøng minh r»ng : BN > CM
b) Gäi giao ®iÓm cña BN vµ CM lµ K, so s¸nh BK vµ CK
Bµi 5 (2®iÓm)
2 + 3 + 4 + + n < 3 víi ∀ ∈ n N, n 4 ≥
Trang 2Hớng dẫn giải
Bài 1: câu 1: 3,5 đ - ý a: 1,5 đ; ý b: 2đ; Câu 2: 1,5 đ
1) Thực hiện phép tính (theo cách hợp lí nếu có thể)
−
= − = (0,5đ)
( ) ( )10 10
10 40
b)
(0,5đ)
21824 23036
+
=
+ (0,5đ)
18 12
+
2) Chứng tỏ rằng 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31
1 + 5 + 52 + 53 + + 529 =(1 + 5 + 52) + (53 + 54 + 55) + +( 527 + 528 + 529) (0,25đ)
= (1 + 5 + 52) + 53 (1 + 5 + 52) + + 527 (1 + 5 + 52) (0,5đ)
= 31 + 53.31 + + 527 31 (0,25đ)
= 31.(1 + 53 + + 527) chia hết cho 31 (0,25đ) Vậy 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31 (0,25đ)
Bài 2
Mỗi câu đúng cho 2 đ
Bài 3
Làm đúng mỗi câu cho 2điểm
1.Chứng minh đa thức H(x) không có nghiệm
+.Tính đúng H(x) = x2 + 2x + 2 (1đ)
= ( x + 1)2 + 1 (0,25đ)
Do ( )2
x 1 + ≥ ∀ 0 x (0,25đ) ( )2
x 1 + + ≥ > ∀ 1 1 0 x (0,25đ) => H(x) không có nghiệm
2.Chứng tỏ rằng: H(x) ≠2008 với ∀ ∈ x Z
H(x) = x2 + 2x + 2 = x(x + 2) + 2
Giả sử tồn tại ∀ ∈ x Z để H(x)= 2008 (0,25đ)
=> x(x + 2) + 2 = 2008 => x(x + 2) = 2006 (0,25đ)
=> x hoặc x+ 2 chia hết cho 2 => x và x+ 2 chia hết cho 2 (0,25đ)
=> x(x + 2) chia hết cho 4 tức là 2006 không chia hết cho 4 (0,25đ) Mâu thuẫn , vì 2006 không chia hết cho 4 , điều giả sử là sai (0,25đ) Vậy H(x) ≠2008 với ∀ ∈ x Z
Bài 4
Câu 1 : 1đ: Câu 2 4đ
Trang 31) ABN ACM(cgc)
BN CM
=
=> =
2) ý a đúng cho 2điểm, ý b đúng cho 2 điểm
a) Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC
Khi đó D nằm giữa B và M Nối D với N
+.c/m: V ADN = V ACM(c.g.c) => DN CM =
+.Trong V ADC có ADN ACM 180 ã + ã < 0
=> ADN 90 ã < 0
Mà BDN NDA 180 ã + ã = => BDN 90 ã > 0
=> Trong tam giác BDN có BN > DN, mà DN = CM
=> BN > CM
b) Gọi giao điểm của DN và CM là I Ta c/m : V DNM = V CMN
INM IMN
Do D nằm giữa B và M nên tia ND nằm giữa 2 tia NB và NM
> => >
> => >
Mặt khác theo c/m trên ta có : BN > CM => BK > CK
Bài 5
Chứng minh rằng: 12 12 12 12 2
2 + 3 + 4 + + n < 3 với ∀ ∈ n N, n 4 ≥
+.Với n = 5 dễ dành tính đợc giá trị biểu thức là1669 1 2
3600 < < 2 3 và BĐT luôn đúng +.Với n > 5
−
−
−
A
B
C
K I A
B
C
M
N D