M là điểm di chuyển trên cung bé BC không chứa điểm A.. D thuộc tia đối của MB sao cho MD=MC.. a Chứng minh rằng tam giác MCD là tam giác đều.. b Tìm vị trí điểm M để MA+MB+MC lớn nhất.
Trang 1đề thi học sinh giỏi lớp 9- Bảng B
Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức:
9 6x x
3) 2)(x (4x 9 x
2
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của A khi x 16 4 6 20
c) Tìm x để A 2
Câu 2 (3 điểm): Cho phơng trình (x2+4x-5)(x2-9)=m
a) Giải phơng trình với m=45
b) Tìm m để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt
Câu 3 (2,5 điểm) Cho parabol (P) có phơng trình: y=a.x2
a) Tìm a biết (P) đi qua A(2;4), khi đó hãy vẽ (P)
b) Chứng minh rằng đờng thẳng qua A(2,4) và B(1,2) vuông góc với đờng thẳng
x+2y-3=0
Câu 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2
) 2005 x
(
Câu 5 (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x3y+xy3-3x-3y=17
Câu 6 (1,5 điểm) Cho ABC, đờng phân giác AE (EBC) Chứng minh rằng:
EC
BE AC
AB
Câu 7 (2,5 điểm): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O, R) M là điểm di chuyển
trên cung bé BC không chứa điểm A D thuộc tia đối của MB sao cho MD=MC
a) Chứng minh rằng tam giác MCD là tam giác đều
b) Tìm vị trí điểm M để MA+MB+MC lớn nhất
Câu 8 (2 điểm): Cho ABC đều cạnh a G là trọng tâm Đờng thẳng (d)mp(ABC) tại G
S(d) sao cho SG=2a Tính diện tích toàn phần của hình chóp SABC
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9-bảng B
Môn Toán
Trang 2Câu 1 a Điều kiện: x3
3 x
x 5 )
3 x (
) 3 x )(
x 5 (
0,5điểm
1 điểm
b Ta có: x 16 4 6 20 16 4( 5 1) 10 2
3 2 10
2 3 10 3 5 3 2 10
) 2 10 ( 3 5 A
1 điểm 0,5 điểm c
2 3 x
x 5
3
5 x 0 3 x
x 5
7
17 x ) 3 x ( 4 x 5
Kết luận:
7
17
x thì A 2
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Câu 2 a Phơng trình (x-1)(x+3)(x-3)(x+5)=m
(x2+2x+3)(x2+2x-15)=m
Đặt x2+2x+1=t điều kiện t0 Phơng trình có dạng: (t-4)(t-16)=m t2-20t+64-m=0 (2) Với m=45 Ta có phơng trình:
19 t
1 t 0 19 20t
-t 2
Với t=1 Ta có phơng trình:
2 x 0 x 1 1 x
1 1 x 1 ) 1 x
Với t=19 Ta có phơng trình:
1 19 x
1 19 x
19 1
x
19 1 x 19 ) 1 x
Kết luận: Phơng trình có 4 nghiệm:
x1=0, x2=-2, x3= 19 1, x4= 19 1
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
b Phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phơng trình (2) có 2
nghiệm dơng phân biệt
64 m 36 64 m 0 36 m 0 m 64 0 20 0 36 m 0 P 0 S 0 '
0,5 điểm 0,5 điểm
Câu 3 a Parabol (P) đi qua A(2;4) ta có:
4=a.22a=1 Vậy (P) có phơng trình: y=x2
1 điểm
b Phơng trình đờng thẳng qua AB có dạng: y=ax+b (d)
Do (d) đi qua A(2;4) và B(1;2) ta có:
0 b 2 a 2 b a 4 b a 2
Phơng trình đờng thẳng là y=2x có hệ số góc a=2
Đờng thẳng 2y=-x+3
2
3 2
x
y có hệ số góc a’=
2
1
Ta thấy a.a’=-1 (đpcm)
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Trang 3Câu 4 A=|x-2005|+|x-2006|- Nếu x<2005 ta có: A=2005-x+2006-x=4011-2x>4011-2.2005=1
- Nếu x>2006, ta có: A=x-2005+x-2006=2x-4011>2.2006-4011=1
- Nếu 2005x2006, ta có: A=x-2005+2006-x=1 Vậy ta có A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 2005x2006
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Câu 5 Phơng trình: x3y+xy3-3x-3y=17
(x2+y2)(xy-3)=17=17.1
Do x,y nguyên dơng nên x2+y2>1
4 xy 25 ) y x ( 4 xy 17 xy 2 ) y x ( 1 3 xy 17 y
-4 y -1 x hoặc 4 y 1 x hoặc
1 1 4
5 4
y y xy
y x xy y x
Kết luận:
4 y 1 x
hoặc
1 y
4 x
hoặc
1 y 4 x
hoặc
4 y
1 x
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 6 Kẻ Cx//AB AE cắt Cx tại D
ABE~DCE
EC
BE CD
AB
Mặt khác ACD cân tại C AC=CD Vậy
EC
BE AC
AB
(đpcm)
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Câu 7 a GócCMD=gócBAC=600 Tam giác cân MCD là tam giác đều 1 điểm
b AMC=BDC (c.g.c) AM=BD
Ta có:
MA+MB+MC=MA+MB+MD=MA+MD=2MA Vậy MA+MB+MC lớn nhất AM lớn nhất M là điểm giữa của cung BC
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Trang 4C©u 8 SAB=SBC=SAC (c.g.c) S
xq=3SSAB +SABC
Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB ta cã SHAB
3 2
a 7 12
a a 4 HG SG SH
2 2 2
3 4
a 7 a 3 4
a 7 AB SH 2
1 S
2
3 a 2 4
3 a 4
3 a 7 Stp
4
3 a 2
3 a 2
1 S
2 2
2 ABC
0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm
Ghi chó: C¸c bµi h×nh häc sinh kh«ng vÏ h×nh th× kh«ng chÊm ®iÓm
