Ngời ra đề Xác nhận của hiệu trởng.
Trang 1Phòng GD&ĐT Huyện Lục Ngạn
Trờng THCS Mỹ An Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyệnNăm học: 2010-2011
Môn :Toán - Lớp : 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1 (2đ):
Tìm nghiệm nguyên dơng x, y, z sao cho:
x
1
+1y +1z =1
Bài 2 (1đ):
So sánh 23 100
và 32 100
Bài 3 (2đ):
Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia cho 4 d 3 và chia cho 5 d 4
Bài 4 (2đ):
Cho tam giác AHM vuông tại H Kẻ phân giác MN ( N∈AH).Vẽ tia AE ⊥ MN tại E AE cắt
MH tại B
Tính S∆ABM , S∆ABH biết AM= p, AN= q
Bài 5 (1đ):
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho số a= 28+211+2n là số chính phơng
Bài 6 (2đ):
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x2 + y2 + z2 = x2y2
Ngời ra đề Xác nhận của hiệu trởng
Trang 2híng dÉn chÊm thi Häc kú II
M«n: To¸n 8 N¨m häc:2010- 2011
®iÓm Bµi 1
(2®) Gi¶ sö x≥ y≥ z > 0 ⇒
x
1
+1y +1z ≤ 3z ⇔1≤ 3z ⇔0< z≤3 + Nªu z= 1 ⇒
x
1
+1y =0 Kh«ng cã gi¸ trÞ x, y tho¶ m·n + NÕu z = 2 ⇒
x
1
+1y =21
Cã x≥ y ⇒ 1x +1y ≤ 2y ⇔ 21 ≤ 2y ⇒ 0< y ≤ 4⇒y= {1,2,3,4}
• y=1 th×
x
1
+ 1 =
2
1
Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶
m·n
• y= 2 th×
x
1
+
2
1
=
2
1
Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n
• y= 3 th× 1x +13 =12 ⇒ x=6 ⇒ (6,3,2) lµ 1 nghiÖm
• y= 4 th× 1x +41 =12 ⇒ x=4 ⇒ (4,4,2) lµ 1 nghiÖm + NÕu z = 3 ⇒
x
1
+1y =
3 2
Cã x≥ y ⇒ 1x +1y ≤ 2y ⇔ 32 ≤ 2y ⇒ 0< y ≤ 3⇒y= {1,2,3 }
• y=1 th×
x
1
+ 1 =
3
2
Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶
m·n
• y= 2 th×
x
1
+
2
1
=
3
2
⇒ x=6 ⇒ (6,2,3) lµ 1 nghiÖm
• y= 3 th× 1x +13 =32 ⇒ x=3 ⇒ (3, 3, 3) lµ 1 nghiÖm VËy (x, y, z) = { (6,3,2) , ( 4, 4, 2), (3, 3, 3)}= (y, x, z) = (z, y,x)
(0,25®)
( 0.25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®) Bµi 2
(1®) Ta cã ( 2
3 )2> 2 ⇒ (
2
⇔ 3100> 2 2100
3 2.2 2 2
2 > 2 = 4 > 3
VËy 2 3 100 > 3 2 100
(0,25®)
(0,25®) (0,25®) (0,25®)
Bµi 3
(2®)
Ta cã: a≡1(mod 2) ; a≡2(mod3) ; a≡3(mod 4) ; a≡4(mod 5)
⇒20a≡40(mod 60)
15a≡45(mod 60)
12a≡48(mod 60)
⇒47a≡133(mod 60)≡13(mod 60)
⇒47a=60t+13
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
Trang 3⇒ 60 13 13 13
a= + = +t +
= ⇒ = = +
= ⇒ = = + Đặt 2 3
2
q
= ⇒ = (với t,k,u,v,p,q,l∈Z+)
⇒p=2l+l=3l ⇒v=3l+2l=5l ⇒u=5l+3l=8l
⇒k=8l+5l=13l ⇒t=3.13l-1+8l=47l-1 ⇒a=47l-1+13l=60l-1
Vì a là số nguyên dơng nhỏ nhất ⇒Chọn l=1 ⇒a=59
Đáp số:a=59
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ) Bài 4
(2đ)
Ta có:ãAME BME BAH= ã = ã và EA = EB; MA = MB = p
*∆AHB đồng dạng ∆AEN ( g.g)
⇒
AE
AH =
AN
AB ⇒ AH = AE
AN
AB =
q
AB
2
2
* ∆AHB đồng dạng ∆MEA (g.g)
⇒
EA
BH =
AM
AB ⇒ BH = AE
AM
AB =
p
AB
2
2
* Xét ∆ABH vuông tại H ⇒ AB2 = BH2+AH2
4
4 p
AB
4
4q
AB
2
2 4
q p
q p
+
⇒ AH = 2 2
2 2
q p
q p
+ ; BH = 2 2
2 2
q p
p q
+
* Diện tích ∆ ABM : S = 21 AH MB = 2 2
3
q p
q p
+ (đvdt)
* Diện tích ∆ ABH : S =
2
1
AH HB = 2 2 2
3 3
) (
2
q p
q p
+ (đvdt)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)
Bài 5
(1đ) + Nếu n = 8
⇒a = 28+211+28 = 29 (1+4) = 5 29 (loại) + Nếu n< 8 ⇒a = 28 ( 9 + 2n-8) ⇒ n = { 1,2 7}⇒ a không phải là số chính
Trang 4+ Nếu n > 8 ⇒a =28 ( 9 + 2n-8)
a là số chính phơng ⇒( 9 + 2n-8) = p2 ⇒2n-8 = (p-3).(p+3)
Có (p+3)-(p-3) =6 ⇒ 2n-8 là tích của hai số có hiệu bằng 6 và mỗi số phải là
luỹ thừa của 2
p - 3 = 2
p + 3 = 8
p = 5 Với p =5 ⇒2n-8 = 2.8 = 24 ⇔ n - 8 = 4 ⇔ n = 12
KL : n = 12
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ) Bài 6
(2đ)
Vì x , y có vai trò nh nhau ta có:
VP = x2y2 = (xy)2 ≡ 10(mod(mod44))
TH1:x chẵn ,y lẻ :Suy ra VP ≡ 0 (mod 4)
Từ (*) suy ra z lẻ
Đặt x = 2a, y = 2b+1 , z = 2c +1 (a,b,c thuộc Z)
Khi đó VT có dạng (4d +2) ,d ∈Z
⇒VT ≡ 2 (mod 4)
Vô lý
TH2:x lẻ ,y lẻ :Suy ra VP ≡ 1 (mod 4)
Từ (*) suy ra chẵn
Đặt x = 2a+1, y = 2b+1 , z = 2c (a,b,c thuộc Z)
Khi đó VT có dạng (4d +2) , d ∈Z
⇒VT ≡ 2 (mod 4)
Vô lý
TH3:x chẵn ,y chẵn :⇒VP ≡ 0 (mod 4)
Từ (*) suy ra z chẵn Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c
PT (*) ⇔ 4a2 + 4b2 + 4c2 = 16a2b2
⇔ a2 + b2 + c2 = 4a2b2
Dễ dàng chỉ ra đợc a,b,c chẵn Đặt a = 2A, b = 2B, c= 2C
PT (*) ⇔ 4A2 +4B2 + 4C2 = 64A2B2
⇔ A2 + B2 + C2 = 16A2B2
Lập luận tơng tự nh trên,nếu( x0 , y0 , z0 ) là nghiệm của phơng trình (*) thì
0 ; 0 ; 0
∈ ∈ ∈ ,∀ ∈k N*
Do đó : x0 = y0 = z0 = 0
Ngợc lại :( 0 , 0, 0 ) là nghiệm của phơng trình
KL:PT đã cho có nghiệm là ( 0 , 0 , 0 )
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)
Ngời ra đề Xác nhận của hiệu trởng
⇒
⇒