De- d.an HSG toan 9 (T.Hoa)

Gọi I,K là các điểm nằm ngoài tam giác ABC sao cho các tam giác ABI và ACK vuông tại Ivà K hơn nữa = ,M là trung điểm của BC.

Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2005-2006

Trờng THPT Cầm Bá Thớc Môn: Toán

(Đề dự bị) Thời gian: 150 phút

. .

câu 1:(4 điểm) Cho: A = x  2 x  3  4 + 2 x  2 2 x  3  4

a) Tính A với x = 5.

b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất

câu 2:(2 điểm) phân tích đa thức sau thành nhân tử :

P(x) = -6x4 + 11x3 + 3x2 - 11x + 3

câu 3:(2 điểm) Giải hệ :























2 cz

c y x

c

2

b z by

x b

2

a z ay

x a

2 2

với a,b,c đôi một khác nhau câu 4:(2 điểm) Giải phơng trình :

4x2 + 28x + 23 + 3 x2 7x 7



câu 5:(2 điểm) Trong hệ trục toạ độ Đê-các vuông góc xoy cho A(o;a) , a  o Gọi d là đờng

thẳng có phơng trình: y = -a Hãy tìm quỹ tích các điểm M(x,y) sao cho khoảng cách từ M

tới d bằng MA

câu 6:(2 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F = x(2004 + 2

x

câu 7:(4 điểm)

Cho tam giác ABC có đờng cao AH Gọi I,K là các điểm nằm ngoài tam giác ABC sao

cho các tam giác ABI và ACK vuông tại Ivà K hơn nữa = ,M là trung điểm của BC Chứng minh rằng :

a) MI = MK

b) Bốn điểm I,H,M,K thuộc cùng đờng tròn

câu 8:(2 điểm) Tìm điểm M trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' sao cho

MA2 + MB2+ MC2 + MD2 + MA'2 + MB'2 + MC'2 + MD'2 đạt giá trị nhỏ nhất.

.Hết

ý

điểm toàn câu

Câu1:

a) A = 2x2 2x34 + 2x 2 2x34

= ( 2x 3  1 ) 2 + ( 2x 3  1 ) 2

= 2x 3  1 + 2x 3  1

với x = 5 suy ra : A = 2 5  3  1 + 2 5  3  1 = 2 2 53

b)A= 2x 3  1+ 2x 3  1  2x  3  1  1  2 x  3 = 2 dấu "="xảy ra  2  x 3 1

-2

3

x-1

0,5 0,5 1 1,0 1,0

4

Câu2:

P(x) =- 6x 4 + 11x 3 + 3x 2– 11x + 3 11x + 3

0,75

2

= (x - 1)(-6x 3 + 5x 2 + 8x - 3)

= (x - 1)(x + 1)(-6x 2 + 11x - 3)

= (x – 11x + 31)(x + 1)(2x - 3)(1-3x)

0,75 0,5

Câu 3























) 3 ( 2

) 2 ( 2

) 1 ( 2

2 2

z

c y x

c

z by x

b

z ay

x a

Lấy (1) trừ (2) ta đợc (a 2– 11x + 3 b 2 )x + (a - b)y = 0

 (a + b)x + y = 0 (4) (vì a b)

Tơng tự lấy (2) trừ (3) ta đợc :

(b+ c)x + y = 0 (5) (vì c b)

Từ (4) và (5) với a c ta đựơc x = y = 0 , suy ra : z = 2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0,0,2)

0,5 0,25 0,5 0,75

2

câu 4

Đặt u = 2 7 7



 x

x (u0)

ta đợc pt: 4u 2 + 3u - 7 = 0

 u=1 hoặc

u=-4

7

(loại) suy ra : x 2 + 7x + 7 = 1  x=-1 hoặc x= -6

0,25 o,25 0,5 1

2

câu 5

Ta có : MA 2 = x 2 + (y - a) 2

Khoảng cách từ M tới d bằng y  a

Khoảng cách từ M tới d bằng MA

 x 2 + (y - a) 2 = (y + a) 2

 y =

a

4

1

x 2 (vì a 0)

vậy tập hợp các điểm M là parabol y =

a

4

1

x 2

0,25 0,25 0,25 0.5 0,25

2

câu6

Ta có: F = x (2004 + 2

2006  x )

= x  2004 2004  1 2006  x2 x ( 2004  1 )( 2004  2006  x2 )

(BĐT Bunhiacopxki)

= 2005x 4010  x2  2005 









2

x

= 2005 2005

(BDT Cauchy)

Suy ra: GTNN bằng - 2005 2005 đạt đợc khi x= - 2005

GTLN bằng 2005 2005 đạt đợc khi x= 2005

0,75 0,75 0,5

2

câu7

Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AB,AC ta có:

IE =

2

1

AB = MF

EM =

2

1

AC = FK

nên  IAM =  MHK (c.g.c) suy ra MI = MK

b) Ta sẽ chứng minh Đặt = 

0,25

0,5 0,5 0.5 0,25

0,25 0,25 0,25

4

Ta có : = , = 

nên = 180 0 - 2 (1)

Xét tam giác IEM có = 2 nên 180 0 - 2 =

ta lại có (so le trong,AB song song với MF)

(do  IAM =  MHK ) nên

180 0 - 2 = (2)

Từ (1),(2)suy ra do đó I,H,M,K thuộc cùng đờng tròn

0,25 0,25 0,5 0,25

câu8 Ta có : MA + MC ’

 AC’

MB + MD ’  BD’

MC + MA ’  CA’

MD + MB ’  DB ’

Suy ra : MA + MB+ MC + MD+ MA + MB + MC +MD’ ’ ’ ’ 4a

(với a là độ dài đờng chéo của hình chữ nhật)

Ta có: MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 + MA' 2 + MB' 2 + MC' 2 + MD' 2



3

1 (MA + MB+ MC + MD+ MA + MB + MC +MD )’ ’ ’ ’ 2



3

16 a 2

nh vậy GTNN của

MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 + MA' 2 + MB' 2 + MC' 2 + MD' 2

là

3

16

a 2 đạt đợc khi M là tâm của hình hộp

0,5 0,5

0,5 0,5

2