Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC v à BD vuông góc với nhau, và hai cạnh đối diện AB và CD không song song với nhau.. P là giao điểm của hai đường trung trực của AB và CD là điểm
Trang 1
1 Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC v à BD vuông góc với nhau, và hai cạnh đối diện AB và CD không song song với nhau P là giao điểm của hai đường trung trực của AB
và CD là điểm nằm ở trong tứ giác Chứng minh rằng tứ giác ABCD là nội tiếp đường tròn nếu và chỉ nếu hai tam giác ABP và CDP có diện tích bằng nhau
2 Trong một cuộc thi có a người dự thi và có b giám khảo, trong đó b 3 là một số lẻ Mỗi một giám khảo đánh giá cho thí sinh của mình hoặc là "đỗ" hoặc là "trượt" Giả sử k là số mà bất kì 2 giám khảo nào đều có chung sự đánh giá với nhiều nhất là k thí sinh
Chứng minh răng:
3 Với bất kì số nguyên dương n gọi d(n) là số ước số dương của n (kể cả 1 và n) Xác định tất cả các số nguyên dương k sao cho: d(n2) = kd(n), với n nào đó
4 Xác định tất cả các cặp (a, b) của các số nguyên dương sao cho a2b + a + b chia hết cho
ab2 + b + 7
5 Cho I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại K, L, M Đường thẳng đi qua B song song với
MK cắt các đường thẳng LM, LK tương ứng tại R và S Chứng minh rằng tam giác RIS là nhọn (tam giác nhọn là tam giác có cả ba góc đều nhọn)
6 Xét tất cả các hàm f : Z+ Z+ thoả mãn: f(t2f(s)) = s f(t)2 với mọi s và t
Trong đó: Z+ là tập tất cả các số nguyên dương
Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của f(1998)