Tài liệu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOAN 9 NAM 2009-2010(CO DAP AN)

Trên đoạn BC lấy điểm D cách B một khoảng 20 cm.. Đường trung trực của AD cắt AB tại E, cắt AC tại F.. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF.. 4 điểm Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn

PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ

TRƯỜNG THCS QUANG KHẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học : 2009-2010 MÔN : Toán

Thời gian: 150 phút (Đề thi này gồm 06 câu, 01 trang)

Câu 1.(3 điểm) Cho biểu thức:

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x >1

Câu 2 (3 điểm) Rút gọn biểu thức:

b) B 1 a a a( 1) a a 1(a 0)

a



Câu 3 (3 điểm) Cho ba số dương a,b,c.

Chứng minh rằng:

2

a b c

a bc b ac c ab abc

 

Câu 4 (3 điểm) Giải phương trình:

2

2

1 4

 

 

Câu 5 (4 điểm)

Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 60 cm Trên đoạn BC lấy điểm D cách B một khoảng 20 cm Đường trung trực của AD cắt AB tại E, cắt AC tại F Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF

Câu 6 (4 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, có trực tâm là H Qua H vẽ một đường thẳng cắt AB, AC lần lượt tại D và E sao cho HD = HE Qua H vẽ đường thẳng khác vuông góc với DE và cắt BC tại M a) Chứng minh BM HM

AH HE

b) Chứng minh M là trung điểm của BC

-HẾT -Mã ký hiệu

T-DH01-HSG9-09

PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ

TRƯỜNG THCS QUANG KHẢI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học : 2009-2010 MÔN : Toán

(Hướng dẫn chấm gồm 02 trang)

1

(3 điểm)

a) 1 điểm

2 2

( 1) ( 1)( 1) 2 :

P



2 2

( 1) ( 1)

x x x x x

b) 2 điểm

Ta có:

x

Với x 1 thì x-1; 1

1

đẳng thức xảy ra 1 1 0( )

2( ) 1

x ktm x

x tm x







Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 4 khi x 2 0,25

2

(3 điểm)

a) 1,5 điểm

:

A

0,5

Do a  0; 1 a1 nên

:

A

a

1

b) 1,5 điểm

a



 1 a a a( 1) a a( 1) 1 a 1 3

(3 điểm) Với a,b,c dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

2

2

a bc a bc a bc

a bc a bc



0,25

Tương tự ta có: 2 1 1 ; 2 1 1

b ca  b ca c ab c ab 0,5

(1) 2

bc ca ab

a bc b ca c ab a bc b ca c ab abc

Cũng theo bất đẳng thức Cô-si ta lại có:

ab   bc   ca   ab bc ca a b c   (2) 1

Từ (1);(2) suy ra

Mã ký hiệu

T-DH01-HSG9-09

2 2 2

2

a b c

a bc b ca c ab abc

 

4

(3 điểm)

Do x 0 Áp bất đẳng thức Cô-si ta có vế trái của phương trình là:

1

Mặt khác về phải của phương trình là : 7 2

Từ (1) và (2) suy ra: VTVP Vậy phương trình vô nghiệm 1

5

(4 điểm)

 Đặt EA = ED = x(cm); Dựng

DH AB tại H Ta có BHD vuông tại H;

 60 ;0 20

AH cm EH x cm

0,25 0,25

Và EHD vuông tại H

2 (50 )2 (10 3)2

ED HE HD

 Tương tự ta tính được DF = 35(cm) 1,25

 Dựng EI AC tại I

AIE vuông tại I; A60 ;0 AE28(cm) 0,25

14( ); 14 3( )

21( )

IF AF AI DF AI cm

EIF vuông tại I  FE2 IE2FI2 0,25

Từ đó ta tính được FE7 21(cm) 0,25

6

(4 điểm)

a) 2 điểm

Xét BMH và AHE có

HBM HAE ( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh)

BMH AEH ( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh)

BMH AHE g g

0,5 0,5 0,5

BM HM

AH HE

b) 2 điểm

Xét CMH và ADH có

HCM DAH( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh) 0,5

CHM ADH( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh) 0,5

CM HM

AH HD

Từ (1);(2) Và HD = HE

BM CM

BM CM

AH AH

Hay M là trung điểm của BC 0,5