Cho một số nguyên dương r và một tấm bảng hình chữ nhật được chia thành 20 x 12 ô vuông đơn vị.. Các di chuyển sau được cho phép trên bảng: có thể di chuyển từ một ô vuông này đến ô vuôn
Trang 1
1 Cho một số nguyên dương r và một tấm bảng hình chữ nhật được chia thành 20 x 12 ô vuông đơn vị Các di chuyển sau được cho phép trên bảng: có thể di chuyển từ một ô vuông này đến ô vuông khác chỉ nếu khoảng cách tâm của hai ô vuông này là Nhiệm vụ là tìm
ra một cách di chuyển từ một ô góc của bảng đến ô góc khác của bảng cùng nằm trên cạnh dài của bảng
(a) Hãy chỉ ra là không làm được điều đó nếu r chia hết cho 2 hoặc 3
(b) Chứng minh rằng có thể làm được nếu r = 73
(c) Có thể làm được không nếu r = 97?
2 Cho P là một điểm trong tam giác ABC sao cho Gọi D, E lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác APB và APC Hãy chỉ ra rằng AP, BD, CE cắt nhau tại một điểm
3 Cho tập các số nguyên không âm S Tìm tất cả các hàm f : S S sao cho:
f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) với mọi m, n
4 Cho a, b là các số nguyên dương thoả mãn: 15a + 16b và 16a - 15b đều là bình phương của các số nguyên dương Số nhỏ hơn trong hai số này sẽ nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu
5 Cho ABCDEF là một lục giác lồi sao cho AB//DE, BC//EF và CD//FA Gọi RA, RC, RE là bán kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác FAB, BCD, DEF Và gọi p là chu vi của lục giác
Chứng minh rằng:
RA + RC + RE
6 Cho p, q, n là ba số nguyên dương với p + q < n
Gọi x0, x1, , xn là các số nguyên sao cho x0 = xn =0 và với mỗi 1 i n có xi - xi-1 = p hoặc
= -q Hãy chỉ ra rằng tồn tại chỉ số i < j với cặp (i, j) (0, n) sao cho xi = xj