M là một điểm trên cạnh AB của tam giác ABC.. r, r1, r2 lần lượt là bán kính của các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, AMC, BMC.. q là bán kính của đường tròn tiếp xúc với ba cạnh AB
Trang 1
1 M là một điểm trên cạnh AB của tam giác ABC r, r1, r2 lần lượt là bán kính của các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, AMC, BMC q là bán kính của đường tròn tiếp xúc với ba cạnh AB, và CA, CB kéo dài q1 là bán kính của đường tròn tiếp xúc với BC và AB, AC kéo dài q2 là bán kính của đường tròn tiếp xúc với CA và BA, BC kéo dài Chứng minh rằng:
r1r2q = rq1q2
2 Cho 0 xi < b với i = 0, 1, , n và xn > 0, xn-1 > 0
Nếu a > b, và: A = xnan + xn-1an-1 + + x0a0 ; B = xnbn + xn-1bn-1 + + x0b0
A' = xn-1an-1 + xn-2an-2 + + x0a0; B' = xn-1bn-1 + xn-2bn-2 + + x0b0
Chứng minh rằng: A'B < AB'
3 Cho các số thực a0, a1, a2, thoả mãn: 1 = a0 a1 a2
các số thực b1, b2, b3, được định nghĩa bởi:
(a) Chứng minh rằng: 0 bn < 2
(b) Cho c thoả mãn 0 c < 2 Chứng minh rằng ta có thể tìm được an sao cho bn > c với mọi
n đủ lớn
4 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tập {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} có thể được chia ra thành hai tập con mà tích của tất cả các số trong mỗi tập con là bằng nhau
5 Cho tứ diện ABCD có và chân đường cao hạ từ D xuống mặt phẳng ABC là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:
(AB + BC +CA)2 6(AD2 + BD2 + CD2)
Trong trường hợp nào thì dấu đẳng thức xảy ra ?
6 Cho 100 điểm đồng phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng nhiều nhất có 70% số tam giác được tạo thành từ các điểm trên có tất cả các góc đều nhọn