tuyển chọn các bài toán bất đẳng thức
Trang 1B T NG TH C VÀ C C TR
(Chuyên đ LT H 2011)
ch ng minh các B T ta có th s d ng m t s b t đ ng th c ho c dùng ph ng pháp đánh giá
I.S d ng m t s B T c b n:
Các B T c b n đây là B T Cô-Si: V i n s không âm b t kì:
1; 2; (n 2)
1 2
( )
n
n
+ + +
³ ; d u b ng x y ra khi và ch khi:
a = a = = a
B T Bunhiacôpxki: V i hai b s th c b t kì ( ; a a1 2; ),( ; ; ) an b b1 2 bn ta luôn có:
( a b + a b + + a bn n) £ ( a + a + + an)( b + b + + bn)( ) II ; d u b ng
x y ra khi và ch
Khi: 1 2
n
a
b = b = = b B T: 2 2 2
a + b + c ³ ab bc + + ca III ; d u b ng x y ra
khi a = = b c
B T:
2
n
IV
+ + + ; trong đó a a1, 2, an là các s
d ng; d u b ng x y ra khi và ch khi các s này b ng nhau
Bài 1: Cho a > > b 0 Ch ng minh:
-Gi i: a/ Theo B T (I) ta có: 1 3 1
-(đpcm)
D u b ng x y ra khi b = 1; a = 2.
Bài 2: Cho a > 1; b > 1 Ch ng minh: a b - + 1 b a - £ 1 ab
Trang 2Gi i: Theo B T (I) ta có: 1 ( 1).1 ( 1) 1
; t ng t ta
c ng có:
1
2
ab
b a - £ C ng các v c a các B T này l i ta s đ c đpcm D u b ng x y ra khi a = b = 2
Bài 2’: a,b,c là ba s không âm có t ng b ng 1 Ch ng minh:
8 / 27
ab + bc + ca - abc £
Gi i: Theo B T (I) ta có: 3 (1 ) (1 ) (1 ) 2
(1 )(1 )(1 )
Û - - - + + + - = + + - £ (đpcm) D u
b ng x y ra khi
a = b = c =1/3
Bài 3: Cho ba s không âm a,b,c Ch ng minh:
Gi i: Theo B T (I) ta có: 3 3 3 ( )3 4 3 3 2
6
4 a + b + c ³ 6 a b c = 6 a bc; t ng t ta
c ng có:
4 b + c + a ³ 6 b ca ;4 c + a + b ³ 6 c ab c ng các v c a các B T này l i
r i đ n gi n ta s đ c B T c n ch ng minh D u b ng x y ra khi a = b = c
Bài 3’: Cho ba s d ng x,y,z Ch ng minh: 6 2 3
( x + + y z ) / xy z ³ 432
Bài 4: Tìm GTNN c a bi u th c 9 3 6
( ) /
P = x + y x y trong đó x,y là các s d ng
Gi i: Theo B T (I) ta có:
9
3 6 9.
x y
+
æ ö æ ö
è ø è ø
V y GTNN c a P b ng 9 6
3 / 2 khi y = 2x
Bài 5: Ba s th c a,b,c th a mãn h th c: 6 6 6
3
a + b + c = Hãy tìm GTLN c a
bi u th c 2 2 2
S = a + b + c
Gi i: Theo B T (I) ta có:
a + + ³ a b + + ³ b c + + ³ c Þ ³ S Û ³ S
V y GTLN c a S b ng 3 khi a = b = c = 1
Bài 6: x,y là các s th c th a mãn các đi u ki n: 0 £ £ x 3;0 £ £ y 4 Tìm GTLN
c a bi u th c:
Trang 3(3 )(4 )(2 3 )
Gi i: Theo B T (I) ta có:
3
3
6 A 6 A 36
Û £ Û £ V y GTLN c a A b ng 36 khi x = 0 và y = 2
Bài 7: x,y,z là các s không âm có t ng b ng 1 Tìm GTLN c a bi u th c:
P = xyz x + y y + z z + x
Bài 8: a,b,c là các s d ng Ch ng minh:
*
Gi i: Theo B T (I) ta có: ( ) ( ) ( )
n
m n
T ng t
này l i r i đ n gi n ta s đ c B T c n ch ng minh D u b ng x y ra khi a = b = c
Chú ý: N u m = = n 1 thì ta đ c B T:
.
b + c + a ³ + +
Bài 9: Cho 3 s th c d ng a,b,c Ch ng minh:
.
+ +
Gi i: Theo B T (I) ta có:
3
T ng t ta c ng có:
;
này l i r i đ n gi n ta s đ c B T c n ch ng minh D u b ng x y ra khi a = b = c
Bài 10: Các s th c d ng x,y,z th a mãn đi u ki n: x + + ³ y z 6 Tìm GTNN
c a bi u th c:
S
Trang 4Bài 11: Cho ba s th c d ng a,b,c th a mãn h th c: a + + = b c 6 Tìm GTNN
c a bi u th c:
(1 )(1 )(1 )
P
Bài 12: Cho x,y,z là ba s th c tho mãn h th c: x + + = y z 0 Ch ng minh:
3 4x 3 4y 3 4z 6
Gi i: Theo B T (I) ta có: 4 / 4
3 4 + x = 1 1 1 4 + + + x ³ 4 4x = 2.2x T ng t
ta c ng có:
3
3 4 + y ³ 2.2y ; 3 4 + z ³ 2.2z Þ ³ S 2(2x + 2y + 2z ) ³ 2.3 2 x y z+ + = 6
(đpcm)
D u b ng x y ra khi x = = = y z 0
Bài 13: Cho hai s th c d ng x,y có t ng b ng 1 Tìm GTNN c a bi u th c:
S
Gi i: D th y S d ng Theo B T (I) ta có:
2
2 3
3
3 x xy 3 y xy 3( x y ) S 2 S 2
y + x = + Þ ³ Û ³ V y MinS = 2 khi x =
y = 1/2
Bài 14: Cho ba s d ng a,b,c th a mãn đi u ki n: a + + ³ b c 3 Tìm GTNN c a
bi u th c:
S
Bài 15: Cho 3 s d ng a,b,c th a mãn h th c: 2 2 2
1.
a + b + c = Ch ng minh:
3
S
Bài 16: Cho 3 s d ng x,y,z có t ng b ng 1 Ch ng minh B T:
3 2
Trang 5Gi i: Do xy + = z xy + z x ( + + y z ) = ( x + z y )( + z ) nên theo B T (I) ta có:
1
2
+ + + è + + ø T ng t ta c ng có:
1 2
+ è + + ø ;
1 2
C ng các B T trên ta s đ c B T c n ch ng minh D u b ng x y ra khi
1/ 3
x = = = y z
Bài 17: Cho hai s th c d ng x,y th a mãn đi u ki n: x + ³ y 6 Tìm GTNN c a
bi u th c:
6 8
3 2
= + + +
Gi i: Theo B T (I) ta có:
P
6 4 9 19
= + + = V y MinP = 19 khi x = 2 và y = 4
Bài 18: Cho 3 s th c d ng x,y,z th a mãn đi u ki n: 2 xy + xz = 1 Tìm GTNN c a bi u th c:
3 yz 4 xz 5 xy S
Gi i: Theo B T (I) ta có:
= ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ ³ + + =
2( x + z ) + 4( x + y ) ³ 4 xz + 8 xy = 4 V y MinS = 4 khi x = y = z = 1/3
Bài 19: Cho hai s th c không âm x,y th a mãn các đi u ki n:
x + £ y x + £ y
Tìm GTLN c a bi u th c: 3
9 4
Gi i: Theo B T (I) ta có: 3 2 2
3.3 1.1 2 3 3( 2) ( 3)
Trang 62 3 3 9 2 3
9 4 3
= + ( Do
3 3 & 2 / 3 (2 3 3) / 2 & (9 2 3) / 6
V y MaxP = + 9 4 3 khi x = 1& y = 3
Bài 20: Cho 3 s d ng a,b,c Ch ng minh B T:
2 a b c a 2 b c a b 2 c 4 a b c
Gi i: Theo B T (IV) ng v i n =2 ta có:
2 a b c ( a b ) ( a c ) 4 a b a c
4 4 a b 4 a c 16 a b c
£ ê ç + ÷ + ç + ÷ ú = ç + + ÷
1
2
a + b + c
1 1 2 1
16 a b c
£ ç + + ÷
1 2
a + + b c
1 1 1 2
16 a b c
£ ç + + ÷
è ø.C ng các v c a các
B T này l i r i đ n gi n ta s đ c B T c n ch ng minh D u b ng x y ra khi
.
a = = b c
Bài 21: Cho hai s d ng a,b có t ng b ng 1 Ch ng minh các B T sau:
Gi i: a/ Theo B T (IV) ng v i n =2 ta có:
2 4 6 ( a b ) + 2 ab a b = + =
+ + + (đpcm) D u b ng x y ra khi a = = b 1/ 2.
1/ 2.
a = = b
Bài 22: Cho a,b,c là các s th c d ng th a mãn đi u ki n: a + + £ b c 3/ 2.
Ch ng minh:
1/ 1/ 1/ 15 / 2.
a + + + b c a + b + c ³
Bài 23: Ba s d ng x,y,z có tích b ng 1 Ch ng minh: 2 2 2
x + y + z ³ + + x y z
Trang 7Gi i: Áp d ng B T (II) và (I) ng v i n = 3 ta có:
2
3
3
3
+ +
³ + + = + + (đpcm) D u b ng x y ra khi
1
x = = = y z
Chú ý: T B T trên ta suy ra B T:
b + c + a ³ + + b c a v i a,b,c là các s
d ng
Bài 24: Cho a > > c 0; b > > c 0 Ch ng minh: c b c ( - ) + c a ( - c ) £ ab
Gi i: Áp d ng B T (II) cho hai b s ( c ; a - c ) & ( b c - ; c ) ta đ c:
2
( c b ( - c ) + c a ( - c ) ) £ ( c + - a c b c )( - + c ) = ab t đó suy ra B T ccm D u
b ng x y ra khi
ab = c a + b
Bài 25: Cho 4 s d ng x,y,a,b th a man các đi u ki n: a > x a ; + > + b x y
Ch ng minh:
Gi i: Áp d ng B T (II) cho hai b s
ta
đ c:
2
B T ccm D u
b ng x y ra khi bx = ay
Bài 26: B n s th c a,b,c,d th a mãn h th c: 2 2 2 2
1
a + b + c + d = ; x là s th c
b t kì Ch ng minh:
( x + ax + b ) + ( x + cx + d ) £ (2 x + 1)
Gi i: Áp d ng B T (II) ng v i n = 3 ta có:
( x + ax b + ) £ ( x + x + 1 )( x + a + b );
Trang 8( x + cx + d ) £ ( x + x + 1 )( x + c + d ) Þ
( x + ax + b ) + ( x + cx + d ) £
(2 x + 1)( x + a + b + x + c + d ) = (2 x + 1) (đpcm) D u b ng x y ra khi
b=d=1&x=a=c
Bài 27: Cho 5 s d ng x,y,z,p,q b t kì Ch ng minh:
3
Gi i: Theo B T (III) ta có:
x py + qz + y pz + qx + z px + qy = p + q xy + yz + zx £
2
( p + q x )( + + y z ) / 3 (*) Áp d ng B T (II) cho hai b s
( x py ( + qz ); y pz ( + qx ); z px ( + qy )) ta đ c:
K t h p v i B T (*) ta s đ c B T ccm D u b ng x y ra khi;
py + qz = pz + qx = px + qy
B ng cách gi i t ng t ta s ch ng minh đ c các B T sau:
2
+ + + v i a,b,c là các s d ng b t kì
+ + + + v i a,b,c,d là các s d ng b t kì
3/
2
+ +
+ + + v i a,b,c là các s d ng b t kì
4/
b c a + a c b + b a c ³ + +
+ - + - + - v i a,b,c là đ dài ba c nh c a m t
tam giác
Trang 9+ - + - + - v i a,b,c là đ dài ba c nh c a m t tam
giác
Bài 28: Cho các s th c x,y,u,v th a mãn đi u ki n: 2 2 2 2
1
x + y = u + y = Ch ng minh:
u x - y + v x + y £
Gi i: Theo B T (II) :
u x - y + v x + y £ u + v é ë x - y + x + y ù û = x + y =
T đó suy ra B T c n ch ng minh D u b ng x y ra khi u x ( + y ) = v x ( - y ).
Bài 29: Cho a,b,c là 3 s d ng th a mãn đi u ki n: 2 2 2
1.
a + b + c ³ Ch ng minh:
1 2
( a + b + c ) ³ ( a + b + c ) ³ ab bc + + ca T đó ta suy ra B T c n ch ng
minh D u b ng x y ra khi a = = = b c 3 / 3
Bài 30: Ba s x,y,z th a mãn đi u ki n: x x ( - + 1) y y ( - + 1) z z ( - £ 1) 4 / 3.
Ch ng minh:
1 x y z 4
- £ + + £
Gi i: T đi u ki n ta suy ra: 2 2 2
( x - 1/ 2) + ( y - 1/ 2) + ( z - 1/ 2) £ 25 /12 Áp
d ng B T (II) ta đ c:
1.( x - 1/ 2) 1.( + y - 1/ 2) 1.( + z - 1/ 2) £ 3 ( é ë x - 1/ 2) + ( y - 1/ 2) + ( z - 1/ 2) ù û £ 25
(đpcm)
D u b ng x y ra khi x = = = y z 4 / 3
Bài 31: Hai s a,b th a mãn đi u ki n: 2 2
16 8 6
a + b + = a + b Ch ng minh:
/10 4 3 40; / 7 24
Gi i: a/ T đi u ki n ta suy ra: 2 2
( a - 4) + ( b - 3) = 9 Áp d ng B T (II) ta đ c:
Trang 104( a - 4) 3( + b - 3) £ é ë ( a - 4) + ( b - 3) ù û (4 + 3 ) = 9.25 Û 4 a + 3 b - 25 £ 15
15 4 a 3 b 25 15 10 4 a 3 b 40
Û - £ + - £ Û £ + £ (đpcm) D u b ng x y ra khi a = 24/5,b = 24/3
ho c a = 16/5, b = 6/5
Bài 32: Ba s x,y,z th a mãn đi u ki n: 2 2 2
4 2 0.
x + y + z - x + z £ Tìm GTNN
và GTLN c a bi u th c:
2 3 2
Bài 33: Cho a,b,c là ba s không âm th a mãn h th c: a + + = b c 3.Tìm GTNN
c a bi u th c:
S = a + ab b + + c + cb + b + a + ac + c
Gi i: Theo B T (II) ta có:
+ + = ç + ÷ + ç ÷ ê + ç ÷ ú ³ ç + + ÷ = +
ê è ø è ø ë ú ê è ø ú û è ø
3( ) / 2
Þ + + ³ + T ng t ta c ng có:
3( ) / 2
c + ca + a ³ c + a Þ ³ S a + + b c = V y MinS = 3 khi
3 / 3
a = = = b c
II.S d ng ph ng pháp đánh giá:
Bài 34: Cho 3 s d ng a,b,c Ch ng minh các B T sau:
2
a
b
+ +
Gi i:a/Ta có:
a + b + abc = a + b a - ab b + + abc ³ a + b ab + abc = ab a + + b c >
Trang 11c
B T:
;
các B T này l i
r i gi n c ta s đ c B T c n ch ng minh D u b ng x y ra khi a = = b c
b/ Theo B T (I) ta có:
2
2
2
+
T ng t ta c ng có: 2 1 ; 2 1
này l i r i đ n gi n ta s đ c B T c n ch ng minh D u b ng x y ra khi a = = b c
Bài 35: Cho 3 s d ng x,y,z th a mãn đi u ki n: 2 2 2
3.
x + y + z £ Tìm GTNN
c a bi u th c:
.
P
Bài 36: Cho 3 s d ng a,b,c có t ng b ng 2 Ch ng minh:
1.
S
-Bài 37: Cho 3 s d ng a,b,c th a mãn đi u ki n: 1/ a + 1/ b + 1/ c = 3. Tìm GTLN
c a bi u th c:
3ab 3 3cb 3 3ac 3.
S
Bài 38: Cho ba s d ng x,y,z có tích b ng 8 Tìm GTNN c a bi u th c:
( log 1 log 1 l
2
Trang 12Bài 39: Cho 3 s th c x,y,z có t ng b ng 1 Tìm GTNN c a bi u th c:
.
S = x + y + z - xyz
2
4
.4
xyz
1
0.
4.27 xyz xyz xyz
Bài 40: Cho 3 s d ng x,y,z b t kì.Tìm GTNN c a bi uth c:
S
Bài 41: Cho 3 s d ng x,y,z b t kì Ch ng
minh: 42 6 42 6 42 6 14 14 14
.
S
III.Ch ng minh B T ho ctìm c c tr b ng ph ng pháp đ i bi n:
Bài 42: Cho các s th c d ng a,b,c th a mãn h th c: ab bc + + ca = abc Ch ng minh B T:
3
S
Gi i: t x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì đi u ki n tr thành: x + + = y z 1 và B T tr thành:
S = x + y + y + z + z + x ³ Theo B T (II) ta có:
( 2 ) / 3 ( 2 ) / 3 ( 2 ) / 3 3( ) / 3 3
(đpcm)
D u b ng x y ra khi x = = = y z 1/ 3 hay a = = = b c 3.
Trang 13Bài 43: Cho 3 s th c d ng x,y,z có tích b ng 1 Ch ng minh B T:
.
S
Gi i: t x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì đi u ki n tr thành: abc = 1 và B T tr thành:
3 2
S
+ + + .Áp d ng B T (II)&(I) ta có
ngay:
2
S
+ +
D u b ng x y ra khi a = = = b c 1 hay x = = = y z 1.
Bài 44: Cho 3 s d ng x,y,z th a mãn đi u ki n: 1/ x + 1/ y + 1/ z = 1. Ch ng
minh B T:
x + yz + y + xz + z + yx ³ xyz + x + y + z
Gi i: t x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì đi u ki n tr thành: a + + = b c 1 và B T tr
thành:
1
a + bc + b + ac + c + ab ³ + ab + bc + ca Ta có:
T ng t ta c ng có: b + ac ³ + b ac ; c + ab ³ + c ab C ng các B T này
l i ta s đ c B T ccm
D u b ng x y ra khi a = = = b c 1/ 3 hay x = = = y z 3.
Bài 45: Cho hai s th c x,y khác 0 và th a mãn đi u ki n: 2 2 2 2
2
x + y = x y + y x Tìm GTNN và
GTLN c a bi u th c: S = 2 / x + 1/ y
Gi i: t u = 1/ & x v = 1/ y thì đi u ki n tr thành:
2 ( 1/ 2) ( 1) 5 / 4
u + v = + u v Û u - + v - = Theo B T (II) ta có:
( S - 2) = 2( u - 1/ 2) + - v 1 £ (2 + 1 ) ( é ë u - 1/ 2) + ( v - 1) ù û £ 25 / 4 Þ - 5 / 2 £ S
0,5 S 4,5
Þ - £ £ V y MinS = - 0,5 khi x = - 2; y = 2 MaxS = 4,5 khi x = y = 2/3
Bài 46: Hai s th c x,y th a mãn các đi u ki n: 2
0 & 12.
y £ x + = + x y Tìm GTNN và GTLN
c a bi u th c: A = xy + + x 2 y + 17.
Gi i: T đi u ki n ta suy ra: 2
y = x + - x £ Þ - £ £ x ;
Trang 14T BBT c a hàm s ta suy ra:
( ) ( 3) (3) 20
[ - 4;3 ]
( ) (1) 12
[ - 4;3 ]
Bài 47: Cho hai s d ng x,y th a mãn đi u ki n: 2 2
1
x + y = Tìm GTNN c a
bi u th c:
( 1)(1 1/ ) ( 1)(1 1/ )
Bài 48: Cho các s th c x,y th a mãn đi u ki n: 2 2
1
x + y = Tìm GTNN và GTLN
c a bi u th c:
2
2
T
-=
Gi i: T đi u ki n ta suy ra:
T
-=
+ + N u
2
y = Þ x = Þ = T
N u y ¹ 0 đ t
2
2 2
+
nghi m khi T=1
V i T ¹ 1,(*) có D = ' ( T - 1)( 2 - T - 4) ³ 0 khi - £ < 2 T 1 K t h p v i trên ta có: MinT=-2 khi x = ± 10 /10; y = m 3 10 /10 MaxT=1 khi x = ± 1 và y = 0
Bài 49: Cho hai s d ng x,y th a mãn đi u ki n: x + = y 5 / 4 Tìm GTNN c a
bi u th c:
4 / 1/ 4
Bài 50: Cho hai s không âm x,y có t ng b ng 1 Tìm GTNN và GTLN c a bi u
th c:
x -4 -3 1 3 f’(x) + 0 - 0 +
f(x)
20 20
13 -12
Trang 15Gi i: Ta có:
1004 1004(1 ) ( ) 1 1 (1 ) '( )
(1 - x ) (1 + x ) Û é ë x - - (1 x ) ù û + x (1 - x ) é ë x - - (1 x ) ù û = 0
(2 x 1) ( ) P x x (1 x ) (2 x 1) P x ( ) 0 2 x 1 0 x 1/ 2
( Vì x và 1 x - không đ ng th i b ng 0 nên P x1( ) > 0; P x2( ) > 0 )
Do
(0) (1) 1 2; (1/ 2) 2 1 1/ 2 1 2; 2 1 1/ 2