CHUYEN DE ON THI DAI HOC 9

Phần 1: Thể tích khối đa diện A/ Lý thuyết1.Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện SGK Hình học 12 trang 23 2.Các công thức tính thể tích của khối đa diện Sđáy.. -Hình chóp có mặt bên hoặ

Phần 1: Thể tích khối đa diện A/ Lý thuyết

1.Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (SGK Hình học 12 trang 23)

2.Các công thức tính thể tích của khối đa diện

Sđáy h , h: Chiều cao của khối chóp

c) Thể tích của khối lăng trụ

V= Sđáy h , h: Chiều cao của khối lăng trụ

B/ Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính thể tích của khối đa diện

*Phơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:

SO ⊥ OA ( vì SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:

SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (

3

2a2

⇒ SO = a

3 2

Vậy VSABC = S∆ABC SO = 31 .

4 3

Gọi A’ là trung điểm BC

Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = α

Tam giác vuông SOA có:

1 AA' sin   AA' sin  l

O B A'

3 4

sin

3 2

1 2

1

2

2 2

2 .

l

BC AA

4 sin

sin 4

sin

3 3

Bài 2 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A,

AB = a, AC = a 3 Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC.tính VA’ABC theo a?

1 AB AC  a

-Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH

Tam giác vuông A’HA có:

A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - 14 (a2 + 3a2)

hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a 3 B H C

2a

C'A'

⇒VA’ABC = 31 S∆ABC A’H = 2 2

2

1 3

1 a 3 a 3 a2

Bài 3 Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vuông cân có AB =

BC =a B’ là trung điểm SB C’ là chân đờng cao hạ từ A của ∆SAC

a

a

B' C'

Bb) ∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB cân tại A ⇒ AB’ ⊥ SB

1 6

1 ' ' ' 6

1 3 '

SC

SC SB

a

SABC

C

Bài 4 Hình chóp SABC có SA⊥ (ABC), ∆ABC cân tại A, D là trung điểm BC,

AD = a, (SB, (ABC)) = α; α + 4) =9l(SB, (SAD)) = β Tính VSABC

Tam giác vuông SB có sinβ = BD SB (2)

Từ (1) (2) ⇒ cosAB sinBD ABsin2a2





 sin cos

2 2 2

2 2

sin cos

sin sin

cos

cos cos

sin cos

sin 3

2

sin cos

3

cos sin



a

Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a các nửa đờng thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) và

ở cùng một phía với mặt phẳng đó Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm

N không trùng với C trên Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích của hình chópBAMNC

Giải

Gọi I là giao điểm của AC và BD

. m n a CN

1 3

n m BI

*Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc

vị trí chân đờng cao trên đáy.

-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng caocủa hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó

-Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đờngcao của khối chóp sẽ song song với đờng thẳng đó

-Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông gócvới một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờngthẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh

đã nói ở trên

*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.

Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = α, α + 4) =9lcác cạnh bênnghiêng trên đáy một góc α Tính VSABC

Giải

S

-Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

-Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC.-Ta có: ∆ABC = 21 AB.AC sin

mà BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α α α = 2AB2(1-cos α α) = a2 ⇒ AB = 2

cot cos

2 2 4 3

1 3

3 2

cot

1x  x  ⇒ x=3

- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ∆ASCvuông cân tại S ⇒ SO = 21AC  1 ⇒ VSABCD = 31 3  1 33

Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o

a) Chứng minh rằng ∆ABC vuông

b) Tính VSABC

Giải

a)

H B A

S

C a

60 ⇒ AB = a-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2

-∆SAC có AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(-21 ) =3a2

-∆ABC có AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vuông tại B

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o

∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh = 3 Tính thể tích khối chópSABCD

Đáp số: VSABCD = 46

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a, BC

= 3a Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau Tính VSABCD

Giải

2a 3a

CD

HK

Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a, SB = a

3, (SAB) b (ABCD) M, N - Trung ®iÓm AB, BC TÝnh VSBMDN

∆SAB h¹ SH b AB(SAB) b (ABCD)

⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)

S∆CDN = S∆MDA = 14 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 21 S⋄ABCD = 21 2a.2a = 2a2

∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vu«ng t¹i S

4 3

1 1 1 1

1

a a a SB SA

SH      ⇒ SH = a23

C B

-Trong ∆SBD kẻ SH b BD

Vì (SBD) b (ABCD)

⇒SH b (ABCD)-Tam giác vuông SBD có 12 12 12

SD SH

225

1 64

1 1

a a

Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm

trong mặt phẳng b (ABCD) ∆SAB có SA = a, ASB = 2 α + 4) =9lα α + 4) =9lvà nằm trong mặt phẳnglập với (SCD) một góc α Tính thể tích khối chóp SABCD

Giải

C

K B

Ta cã HK b AB

AB b SH (v× SH b (ABD))

⇒AB b (SKH) ⇒ AB b SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S

DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α

∆SAB cã SK = acos α α , AB = 2AK = 2asin α + 4) =9lα

∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos2 α + 4) =9lα

KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα =2a2sin2αcosα ⇒VSABCD = 3SH1 .S ABCD 32a3sin2α

Bµi 14: H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA b (ABC) ACB =60o, BC =

a, SA = a 3, M lµ trung ®iÓm SB TÝnh thÓ tÝch MABC

Gi¶i

H

C A

B

a M

1 2

1 AB BC a o a a





MABC VMABC = 21V SABC

mà VSABC = 13 SA.S∆ABC = 3 3 3 6

2 1 2 2

1 3

1a a  a

⇒Vmabc = 41a3

Bài 15 : Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA b (ABCD), AB =

a, SA = a 2 H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứngminh rằng SC b (AHK) và Tính thể tích hình chóp OAHK

Giải

A

C O

H

a

N F E

Gọi F = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF

Kéo dài AF cắt SC tại N

Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE b (AHK)

Vì OA = OC; OE//CN OE = 21 CN

Tam giác vuông SAD có 1 2 1 2 1 2

AD AS

3

2

2 2

a

a a AD AS

SD = a 3

2 ( a a

AH 

3

2 , 3

2 , 0 ( a a

AK 

,0)

2

, 2 (a a

AO 

9

2 2 , 9

2

2 a2  a2 a2



) ⇒ VOAHK=61 |[AH , AK].AO|= 3

27

2

a

Bµi 16: H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, AB = a, AD = a 2, SA =

a, SA b (ABCD) M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm AD vµ SC I = BM ∩ AC TÝnh thÓtÝch h×nh chãp ANIB

Gi¶i

a K

⇒S∆ABI = 32 S∆ABO = 32.14 S⋄ABCD = 32 a.a 2 = a262

⇒ SANIB =13 NO.S∆AIB = 31.a2.a262 a3362

Bài 17 Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD)b

(ABCD) ∆SAD đều M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD tính thể tích hìnhchóp CMNP

Giải

A

C

N a

D

P

B M

F E

S

y

x z

-Gọi E là trung điểm AD (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE b AD

(SAD) b (ABCD)

⇒SE b (ABCD)-Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE Dễ thấy F ∈ EB và F làtrung điểm EB

Ta có MF = 12 SE = 43

232

1 a a

8

1 4

Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng

chiều cao bằng a Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O’ lấy B saocho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB

Giải

Bµi 19: Cho h×nh chãp cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt; AB = a.AD = 2a; SA b

N M

H

Ta cã SAB=600

∆SAB vu«ng t¹i A cã AM=

3 3

a , AB=a ⇒ ABM=300

⇒SBCMN=

3 3

10 ).

(

2

BM BC

⇒VSBCMN=31SH. SBCMN = 10273a3

Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o; AB

= BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N lần lợt là trung điểm SA và

SD Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp SBCNM

Giải

S H

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông AB = AC = a; AA1 = a

2 M là trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1

Hớng dẫn:

+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = a3122

+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ

Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1

a.Tính thể tích tứ diện theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD

c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất

a

H C

1 2

4 2 2 2

1 1

4 cos sin 4 sin

1 3

1 3

4

2 2

2

232

1x ( )  (x) x 3  x

VABCD = x 3 x 3 x2 x

121

2 4

3

b)

.

3  x x  x x 

Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = 23 và thể tích lớn nhất là 81

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông

góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SHvuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này làlớn nhất

GIảI

C A

S

M D

a BM

a h

AH SA

x a

ax x

a

a a AH AB

x a

x a



3 6

1 3

1

x a

xh a SA

6

1





Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với

đáy ABC và SA=a.Điểm M thuộc cạnh AB.Đặt góc ACM bằng 

Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC

b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứdiện SAKI

2 sin 2 3







a

Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành

các khối nhỏ hoặc bổ sung thêm

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a,

AC = BD = b, AD = BC =c

Tính thể tích ABCD

Giải

H C P

Q

R B

+Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lợt là trung điểm PQ, QR, PR

Hớng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tiết diện này ⇒

Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện

đều bằng α α + 4) =9lAB = a Tính thể tích hình chóp SABC

Giải

C A

-Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C

-Gọi E là trung điểm AB ⇒ AB b SE

AB b CE

⇒AB b (SCE)

⇒VSABC = VASEC + VBSEC = 31 S∆SEC.(AE+BE) = 31 S∆SEC.AB

Tính S∆SEC = ?

∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))

Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC

∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))

FS = FC

⇒FBC = 3

Tam giác vuông EBC có CE = 2tan

Tam giác vuông FBC có BC = CE 2 EB2

cos

1 4 cos 4

sin 2

2

2 2

2 2

2 cos

2 2 sin sin sin

3 2 sin sin sin 

a

một số bài tập có thể giải bằng PP toạ độ vơi việc chọn

hệ toạ độ dễ dàng Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC =4, BD = 2, A cắt

BD tại O SO b (ABCD), SA = 2 2 Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại

N Tính thể tích khối chóp SABMN

Giải

Cách 1:

B

O C

D A

S

M N

1 2

A

N M

B z

x y

Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS

Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; 2)

Do (ABM) ∩ (SCD) = MN

AB // CD

VSABMN = VSABM + VSAMN = 2

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c

a)Tính thể tích A’C’BDb)Gọi M là trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD

1 2

1 3

1 '.

Chọn hệ toạ độ Axyz nh hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b;c), A’(0; 0; 0)

M là trung điểm CC’ nên M(a;b;

2

c

)

) 0

BM , BA'  ( a; 0 ;c)

2

; 2 (bc ac ab

3 6

A'

O a

Gọi O là tâm ABC⇒ OA=OB=OC

A’A= A’B= A’C (gt)

⇒A’O⊥ (ABC)

(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600

A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC)

Trong tam giác vuông A’OA có OA’=OA tan 600=a

Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC =

4

3a2 ⇒VABCA’B’C’=S∆ABC.A’O=

4

3 3

a

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông

tại A, AC = b, C = 60o (BC’,(AA’C’C)) = 30o Tính thể tích của khối lăng trụ

Giải

C' A'

A

B

B'

b b'

DÔ thÊy AB b (ACC’A’) nªn (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300

∆ABC vu«ng t¹i A cã Cˆ =600, AC=b nªn BC=2b vµ AB= 3b

v× AB b (ACC’A’) nªn AB b AC’

∆ABC’ vu«ng t¹i A cã AC’=tanAB300 3b

∆ACC’ vu«ng t¹i C cã (CC’)2=AC’2-AC2= 9b2-b2=8b2

⇒CC’ = 2 2b =AA’ S∆ABC = 21 CA.CBsin6oo = 2

3b2

⇒VABCA’B’C’ =S∆ABC.AA’ = 6b3

Bµi 3

D¹ng 2: tØ sè thÓ tÝch A/ Ph¬ng ph¸p: Gi¶ sö mÆt ph¼ng α chia khèi ®a diÖn thµnh hai khèi cã thÓ tÝch

V

V

C B SA

SABC 

C A

B B'

C' A'

(chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện))

B/ Các bài tập

Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SC mặt

phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân Tính tỉ số thể tích củahai phần đó

Giải

C

B

O A

S

D

M

B' I D'

2 3

2 2

1 2

1 '

2 3 2 '

' ' 1

1 3

2

949

2

' ' ' ' '

' 2

MD SAB D

V V

N M

Q E

SN V

2 2

2

1

SC

SB SA SB

1 ) 2 sin 1 1 (

) 2 sin 1 (

Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đờng cao h Mặt phẳng qua AB b

(SDC) chia chóp làm hai phàn Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Bài 4: Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cạnh là a M là trung điểm CD, N là

trung điểm A’D’ tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phơng

Giải

Q M

Bµi 5: Cho tø diÖn SABC lÊy M, N thuéc c¹nh SA, SB sao cho

Gi¶i

A' C

A

B E

M

N F

DÔ thÊy thiÕt diÖn lµ h×nh thang MNEF (víi MF // NE)

§Æt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB

V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE

2 3

2 3

FEA ABC

FEA SFEA

2749

4 3

ABE ABC

ABE SABE

⇒VSABE = 272 V ⇒ V1 = 9

2

V + 27 4

V + 272 V = 9

4

V V V21 54

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều

bằng a M, N, E lần lợt là trung điểm của BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích haiphần lăng trụ do (MNE) tạo ra

M

N A'

I

Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI

Gọi V1, V2 tơng ứng là thể tích phần trên và phần dới của thiết diện, ta có

V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF

V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a O= AC BD, õ (ABCD) Lấy S ox, gọi

bằng (mặt bên, mặt đáy) mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chópthành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

B A

3 3 3

S

C

M

a 3 2a

S∆ABC = 21 a 3 a 3 sin 60o =

4 3 3 2

3 2

3a2  a2

VSABC =13 SA.S∆ABC = 32a3

Gäi M lµ trung ®iÓm BC

2 2 3 5

3 2 3





a S

B

D

4

5 3

M 5

DÔ thÊy ∆ABC vu«ng t¹i A



DBC

DABC S

A N

B

C

D M

2 2 2 2

4 2

4

2 2 2 2 4

a b c

a a b c

VABCD = 2 VBCMA = 2.13 CM.S∆ABM = 2 2 2

12 2 2 2 4 2 3

2 b.a 4c b  a ab 4c b  a

V∆BCD = BM.CD =

4

2 2

1 c  b = b2 4b 4c 2 b2

2 2 2 2

2 4

2 2 2 4

4

4 4

.

4 3

b c a b c b

c

a b c S

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1.

a)tính thể tích tứ diện ABCD theo x

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a 5 và

BAC = 120o Gọi m là trung điểm của cạnh CC1

Chứng minh rằng MB MA1 và tinhd khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng(A1BM)

Giải

15 2

Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đờng thẳng qua

M // với OA, OB OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lợt tại A1, B1, C1

Chứng minh rằng: MA OA1  MB OB1  MC OC1  1

Giải

B

C A

O

K

A 1

M

Nối M với các đỉnh O,A,B,C Khi đó

VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA

1=

OABC

MOCA OABC

MOBC OABC

MOAB

V

V V

OB

MB V

V OABC MOCA  1

Vậy MA OA1  MB OB1  MC OC1  1

Bài 8: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD Các đờng thẳng MA,

MB, MC, MD cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1

1

1 1

1 1

1 1

1  MB BB  MC CC  MD DD 

AA MA

Giải

Nối M với bốn đỉnh của tứ diện ABCD ta có:

V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC

1=

V

V V

V V

V V

MK V

V MACD

CC

MC V

V MABC



Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các

điểm A1, B1, C1 sao cho SA SA1 32 ; SB SB1 21 ; SC SC1 31

Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1 Chứng minh rằng SD SD1 52

Giải

S

C D

9 1

1 1 1

SC SD

SD SA

SA

VSADC

V SA1D1C1 1 1 1 1

.

SD SB

SB SA

SA VSABD

V SA1B1D1 1 1 1 1

.

31

SD

SD SD

SD SC

SC SB

SB VSBCD

V SB1C1D1 1 1 1 1

.

1   ⇒SD SD1 52

Phần 2: Thể tích khối cầu, khối trụ, khối nón

A/ Lý thuyết.

1/Định nghĩa:

-Thể tích khối cầu (SGK HH12 – Trang 44)

-Thể tích khối trụ (SGK HH12 – Trang 50)

-Thể tích khối nón (SGK HH12 – Trang 56)

2/Các công thức:

a)Thể tích khối cầu V = 34 R3, R: bán kính mặt cầu

b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao

c)Thể tích khối nón V = 31 Sđáy.h , h: chiều cao

B/.Bài tập

ở đây chủ yếu là bài tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào các côngthức trên

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a,

cạnh bên bằng b Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

Giải

a

C

C' O

O'

A 1

A 1 ' B'

B I

A'

-Gọi O và O’ là tâm ∆ABC và ∆A’B’C’ thì OO’ là trục của các đờng trònngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’

-Gọi I là trung điểm OO’ thì IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâmmặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

-Bán kính mặt cầu là R = IA

Tam giác vuông AOI có: AO = 33

233

2 1 3

7 18

7 3

7

72.283

7 3

7 8 3 4 3 3

4 R   a3 a3  a3  a3

AI2 = a  b  AI  a b  R

3 2 3 4

123

3 18 1 2

2 3 3 8

1 3 4 3 3

4 R   a  b  a  b

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một

góc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giải

a O

S

M

B A

I

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có SO b (ABCD), SO là trục củaABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gọi M là trung điểm SA

Trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SM SO SA

Với AO = a22 , AS =

3

2

223

2 30 cos

a a

4 a  a

Các bài tập về xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp,

nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, đều hỏi

thêm thể tích mặt cầu