Bất đẳng thức ôn thi đại học 2014 bất đẳng thức và cực trị diễn đàn toán học

Giúp ích nhiều cho các bạn thi khối a, tài liệu bổ ích, giúp các bạn quen với cấu trúc đề thi đại học đổi mới, làm quen dần với những dạng xuất hiện nhiều trong các kì thi đại học, mong muốn giúp các bạn tự tin, giành điểm cao trong công cuộc vượt vũ môn, đến với cảnh cổng truong đại học rộng mở

Trang 1

29/12/2013 Bất đẳng thức ôn thi Đại học 2014 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Diễn đà n Toá n h ọc → Toá n Tr u n g h ọc Ph ổ th ôn g v à Th i Đại h ọc → Bất đẳn g th ức v à cực tr ị

T r a n g 1 / 6

Bất đẳng thức ôn thi Đại học 2014

Bắt đầu bởi Toc Ngan, 27 -07 -201 3 - 1 4:1 7

Toc Ngan

Để nối tiếp sự thành công của chuyên mục ÔN THI ĐẠI HỌC trong box bất đẳng thức và đặc biệt để giúp các bạn

có một kết quả tốt nhất trong kì thi đại học 2014 sắp tới, mình nghĩ một topic như thế này được lập ra sẽ rất có ý nghĩa!

Cũng như những năm trước, tiêu chí của Topic là : Các đề bài phải rõ ràng, sáng sủa, gõ Latex và viết có dấu

Giải như một bài thi, không được nêu chung chung,nếu có thể các bạn hãy nêu hướng làm

Cấm những vụ cãi vã, mà phải thật sự có tinh thần xây dựng Topic một cách lành mạnh

Không cho phép những bài toán nhiều hơn 4 biến, những cách giải sử dụng dồn biến (Kiểu đậm chất HSG) S.O.S, p,q,r , hạn chế tối thiểu việc sử dụng các kí hiệu vào bài làm

Khuyễn khích các bài toán mang đậm chất " thi đại học" của mấy năm nay, chẳng hạn như dồn về 1 biến rồi sử dụng công cụ đạo hàm

Rất mong sự đóng góp tích cực của tất cả các bạn!

Mình xin mở đầu bằng vài bài toán sau : Bài 1 : Ch0 là các số thực thỏa mãn Tìm GTLN của

Bài 2 : Cho là các số thực khác 0 thỏa mãn Tìm GTNN và GTLN của

Đã g ửi 2 7 -07 -2 01 3 - 1 4 :1 7

96

∑, ∏

a2 b2 c2

P = a2b2c2

P = a2b + c + a b2 c2 (a + b + c)3

pqqsang

Bài 3 Cho a,b,c là 3 số thực không âm thoả Tìm GTNN của

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 06-08-201 3 - 1 8:57

Đã g ửi 2 8 -07 -2 01 3 - 09 :5 9

c ⩽ b ⩽ a

ab

b + c

bc

a + c

ac

a + b

1 2(a + b + c)

a + b + c 9

trauvang97

Vào lúc 27 Tháng 7 2013 - 14:17, Toc Ngan đã nói:

Bài 2 : Cho là các số thực khác 0 thỏa m ãn Tìm GTNN v à GTLN của

Đã g ửi 2 8 -07 -2 01 3 - 1 4 :5 1

P = a2b + c + a b2 c2 (a + b + c)3

Trang 2

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/102049-bất-đẳng-thức-ôn-thi-đại-học-2014/ 2/7

Tình cờ lục lọi mấy bài toán, lại có ở đây http://diendantoanho acadbbda-geq-4/

(http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/45935-cm-dfracbaccab-dfraccbddbc-dfracdcaacd-dfracadbbda-geq-4/)

trauvang97

Bài 4: Cho là các số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 03 -08-201 3 - 1 9:06

Đã g ửi 03 -08 -2 01 3 - 1 3 :02

y(x + z)2

y3 x(y + z)2

+

x2 y2

− −−−− −

√ z

Toc Ngan

Vào lúc 03 Tháng 8 2013 - 13:02, trauvang97 đã nói:

Bài 4: Cho là các số thực dương thỏa m ãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài này la lá bài thi khối A năm nay

Từ giả thiết ta có Đặt

Ta có

Xét , áp dụng AM-GM ta có

Cộng 2 bất đẳng thức trên lại ta được

Đẳng thức xảy ra khi , hay

Đã g ửi 03 -08 -2 01 3 - 1 9 :2 4

y(x + z)2

y3

x(y + z)2

+

x2 y2

− −−−− −

√ z

( x z )2+ ( y z )2+ 6 = 4( + ) x z y z

x

4(a + b) = a2+ b2+ 6 ⩾ 2(a + b) + 4

2(a + b) ⩾ ab + 3

a + b ⩾ 2

b(a + 1)2

b3

a(b + 1)2 √ − a −−−−2+ b −2

b(a + 1)2

b3

a(b + 1)2

(a + b)2 2

− −−−−− −

Q

a3

b(a + 1)2

a + 1 8

ab + b 8

3a 4

b3

a(b + 1)2

b + 1 8

ab + a 8

3b 4

Q ⩾ a + b 2 − ab 4 − 1 4 ⩾ a + b 2 − 2(a + b) − 3 4 − 1 4 = 1 2

⇒ P ⩾ 1 2 + √ 2

a = b = 1 x = y = z > 0

Mai Duc Khai

Bài 5:

Cho là nghiệm của hệ 2 phương trình:

và Tìm max của:

Đã g ửi 03 -08 -2 01 3 - 1 9 :5 8

x, y, z + xy + = 3

P = xy + yz + zx

Trang 3

pqqsang

Bài 6 Cho 3 số thực a,b,c không âm sao cho có đúng 2 trong 3 số không nhỏ hơn 1 Tìm GTNN của

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pqqsang: 04-08-201 3 - 21 :43

Đã g ửi 04 -08 -2 01 3 - 2 1 :4 2

−

b + c

bc

a + c

ac

a + b )

2

ab + bc + ac

trauvang97

Bài 7: Với các số thực dương thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đã g ửi 04 -08 -2 01 3 - 2 2 :4 3

x + yz

y3

y + zx

z3

z + xy

14 (z + 1) (x + 1)(y + 1) √ − −−−−−−−−− −

Toc Ngan

Vào lúc 28 Tháng 7 2013 - 09:59, pqqsang đã nói:

Bài 3 Cho a,b,c là 3 số thực không âm thoả Tìm GTNN của

Do điều kiện đã được sửa nên ta sẽ chứng minh

Do nên ta chỉ cần chứng minh

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do giả thiết

Đẳng thức xảy ra khi

Đã g ửi 06 -08 -2 01 3 - 1 9 :09

c ⩽ b ⩽ a

ab

b + c

bc

a + c

ac

a + b

1 2(a + b + c)

a + b + c 9

c ⩽ b ⩽ a

ab

b + c

bc

c + a

ca

a + b

a + b + c 2

⇔ ( b + c ab − ) + ( a 2 c + a bc − ) + ( 2 b a + b ca − ) ⩾ 0 2 c

⇔ ab − ac b + c + bc − ab c + a + ca − bc a + b ⩾ 0

b + c

1

c + a

1

c + a

1

a + b

(b + c)(c + a)

c(a − b)(b − c) (c + a)(a + b)

a ⩾ b ⩾ c

a (b + c)(c + a)

c (c + a)(a + b)

a

b + c a + b c

2

1 2(a + b + c)

a + b + c 9

11(a + b + c) 18

1 2(a + b + c)

11

−−

√ 3

a = b = c = √ 11 −− 11

thanhdotk14

Vào lúc 03 Tháng 8 2013 - 13:02, trauvang97 đã nói:

Bài 4: Cho là các số thực dương thỏa m ãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đã g ửi 07 -08 -2 01 3 - 1 4 :5 6

− −−−− −

√

Trang 4

Bài giải:

Từ giả thiết ta suy ra:

Khi đó: ta có :

đượcviết lại thành:

Ta có:

Mặt khác: Theo ta có:

Tương tự ta cũng có:

Do đó ta có:

Ta cần chứng minh Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng

Từ đó ta có:

Đẳng thức xảy ra

================================

p/s: s r nha, mình gửi bài r mới thấy bài này đã đc giải, ý tưởng giống bạn "Tóc Ngắn" r

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 07 -08-201 3 - 1 5:05

y(x + z)2

y3

x(y + z)2

+

x2 y2

− −−−− −

√ z

x2

z2

y2

z2

x z

y z ( ; ) → (a; b) x

z

y

a2 b2

⇒ 2 ≤ a + b ≤ 6

⇒ a2+ b2 ≥ 2 P

y(x + z)2

y3

x2

z2

y2

z2

− −−−−−− −

√

b(a + 1)2

b3

2 b2

− −−−− −

√

≥ +

a2 b2

− −−−− −

AM − GM 2b(a + 1 = 2b(a + 1)(a + 1) ≤ )2 ( 2b + 2a + 2 ) ≤ (a + b

3

)3 2a(b + 1 ≤ (a + b )2 )3

P ≥ 2( a3+ b3 ) +

+

a3 b3 (a + b)3

1

MaxP = 1 + 2 2 √

2

⇔ a = b = 1 ⇔ x = y = z = 1

Toc Ngan

Tạm thời bỏ qua số bài toán khó trên, chúng ta vẫn tiếp tục với những bài toán sau, được sưu tầm trên nguoithay.vn, rất mong mọi người tham gia nhiệt tình

Bài 8 : Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm GTLN của

Bài 9 : Cho là các số thực dương và Tìm GTNN của

Bài 10 : Cho và Tìm GTNN của

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 07 -08-201 3 - 1 7 :01

Đã g ửi 07 -08 -2 01 3 - 1 7 :00

1

P = (c + c ab √ ) −−2 + (a + b)( + 1) c2

2c ( + 1) c2 √ − − c2−−− + 1

a + 3b

− − −−−

√

16 3a + 1

− −−− −

√

a, b > 0 2( + ) + a2 b2 1 = 5

ab

1 + x2

3

1 + y2

4

1 + 2xy

Trang 5

trauvang97

Bài 8 : Cho là các số thực dương thỏa m ãn Tìm GTLN của

Bài 8 có ở đây (http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/100940-p-fraczzsqrtxy2xyz2-1-frac2zz2-1sqrtz2-1/)

Đã g ửi 09 -08 -2 01 3 - 2 0:02

P = (c + c ab √ ) −−2 + (a + b)( + 1) c2

2c ( + 1) c2 √ − − c2−−− + 1

trauvang97

Bài 9 : Cho là các số thực dương v à Tìm GTNN của

Dự đoán đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nên viết lại biểu thức đã cho thành:

Từ giả thiết đã cho suy ra:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 09-08-201 3 - 20:1 8

Đã g ửi 09 -08 -2 01 3 - 2 0:1 7

a + 3b

− − −−−

√

16 3a + 1

− −−− −

√

a = b = 1

a + 3b

− −−− −

√

16 3a + 1

− −−− −

√

a + b = a2+ b2≥ (a + b)2 ⇔ a + b ≤ 2

2

a + 3b

− −−− −

√

8

a + 3b

− −−− −

√

8

a + 3b

− −−− −

√

3a + 1

− −−− −

√

8 3a + 1

− −−− −

√

8 3a + 1

− −−− −

√

snowwhite

Bài 1 : Ch0 là các số thực thỏa mãn Tìm GTLN của

Cái gì chứ topic này là tớ ủng hộ à Bài 1 tham khảo tại đây http://diendantoanho -bất-đẳng-thức/

(http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/87997-s%E1%BB%AD-d%E1%BB%A5ng-

%C4%91%E1%BA%A1o-h%C3%A0m-%C4%91%E1%BB%83-gi%E1%BA%A3i-b%E1%BA%A5t-%C4%91%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c/)

Đã g ửi 09 -08 -2 01 3 - 2 0:3 4

a2 b2 c2

P = a2b2c2

Trang 6

Toc Ngan

Vào lúc 10 Tháng 8 2013 - 07:27, snowwhite đã nói:

ĐK để xảy ra dấu là Còn cái khai thác Gt không hiểu tại sao lại sai ngớ ngẩn như v ậy

Ý mình nói là bất đẳng thức , biến đổi tương đương ta được

Có thể lấy thì bất đẳng thức sai

Đã g ửi 1 0-08 -2 01 3 - 1 0:5 8

"=" x = y ≥ 0

1

1 + x2

1

1 + y2

2

1 + xy

⇔ (x − y (xy − 1) ⩾ 0 )2

x = 0, 4, y = 0, 6

ongngua97

Góp thêm một bài dùng đạo hàm:

Bài 11: Cho x,y ,z thoả =1 Tìm GTLN của biểu thức :

PS: Bạn nhớ đánh số bài vào nhé

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 1 1 -08-201 3 - 1 1 :00

Đã g ửi 1 1 -08 -2 01 3 - 09 :5 4

1

1 + x2

− −−− −

√

1

1 + y2

− −−− −

√

1

1 + z

− − −−

√

Toc Ngan

Bài 12: Cho và Tìm GTLN của

Đã g ửi 1 2 -08 -2 01 3 - 1 1 :3 4

a, b > 0 a + b + 1 = 3ab

b(a + 1)

3b a(b + 1)

1

a + b

1

a2

1

b2 daicahuyvn

Bài 12: Cho và Tìm GTLN của

Đã g ửi 1 3 -08 -2 01 3 - 2 0:1 1

a, b > 0 a + b + 1 = 3ab

b(a + 1)

3b a(b + 1)

1

a + b

1

a2

1

b2

t = ab, a + b = 3t − 1 ≥ 2 √ −− ab = 2 √ t ⇒ t ≥ 1

4t2

1 3t − 1

9 − 8t + 1 t2

t2

5t − 1 4t2

1 3t − 1 f(t) ≤ 3 ⇔ (t − 1)(18 − 7t + 1) ≥ 0

P (1, 1) = max P = 3

2

3 2 daicahuyvn

Đã g ửi 1 3 -08 -2 01 3 - 2 0:4 9

2( + ) +2 2 1 = 5

Trang 7

Diễn đà n Toá n h ọc → Toá n Tr u n g h ọc Ph ổ th ôn g v à Th i Đại h ọc → Bất đẳn g th ức v à cực tr ị

Bài 10 : Cho v à Tìm GTNN của

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 1 3 -08-201 3 - 20:52

a, b > 0 2( + ) + a2 b2 1 = 5

ab

1 + x2

3

1 + y2

4

1 + 2xy

t = ab, x2+ y2= 5t − 1 ≥ 2t ⇒ ≤ t ≤ 1

2t

1 4

1 + x2y2+ x2+ y2

4

1 + 2xy

9t − 1

2 + 7t − 1 t3

4

1 + 2t

5 3

⇔ (t − 1)(10 + 27 − 19t + 4) ≤ 0 ⇔ 10 + 27 − 19t + 4 ≥ 0 t3 t2 t3 t2

10 + 27 − 19t + 4 = (t − t3 t2 3 (10t + 33) + (1 − t) + > 0

10 )

10

93 100

P (1, 1) = min P = 5

3

5 3

daicahuyvn

Vào lúc 11 Tháng 8 2013 - 09:54, ongngua97 đã nói:

Góp thêm m ột bài dùng đạo hàm : Bài 11: Cho x,y ,z thoả =1 Tìm GTLN của biểu thức :

TH1:

TH2: Giả sử ,ta có

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 1 4-08-201 3 - 1 0:42

Đã g ửi 1 4 -08 -2 01 3 - 06 :1 4

1

1 + x2

− −−− −

√

1

1 + y2

− −−− −

√

1

1 + z

− − −−

√

1 + x2

− −−− −

√

1

1 + y2

− −−− −

√

1

1 + z

− − −−

√

z ≥ 1, xy ≤ 1

1

1 + x2

− −−− −

√

1

1 + y2

− −−− −

√

1

1 + z

− − −−

√

2 √ z + 1

z + 1

− − −−

√ f(z) ≤ √ 5 ⇔ ( √ z − 2 ≥ 0 )2

1

1 + x2

− −−− −

√

1

1 + y2

− −−− −

√

1

1 + z

− − −−

√

1

1 + x

− − −−

√

1

1 + y2

− −−− −

√

1

1 + z2

− −−− −

P = √ 5 ⇔ x = y = , z = 4 1 2 max P = 5 √

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	2,77 MB