GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC VỀ TAM GIÁC
1) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có cosA+ cosB+ cosC≤ 23
Giải: Đặt y= cosA+cosB+cosC ta có:
0 1 y 2
C sin 2 B A cos 2 2
C sin 2 2
C sin 2 1 2 B A cos
2
C
sin
2
y
2
C sin 2 1 2 B A cos ) 2
C 2 cos(
2 2
C sin 2 1 2 B A cos 2
B
A
cos
2
y
2 2
2 2
=
− +
−
−
⇔
− +
−
=
⇔
− +
−
− π
=
− +
− +
=
Để phương trình này xác định sin 2C ta phải có:
2
3 cosC cosB cosA 2
3
y
3 ) 2 B A (cos 2 y 0 ) 1 y ( 2 ) 2 B A (cos
≤ + +
⇔
≤
⇔
≤
− +
≤
⇔
≥
−
−
−
=
∆
Vậy trong mọi tam giác ABC ta đều có cosA+ cosB+ cosC≤ 23
2) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có cosA.cosB.cosC≤ 81
Giải:* Giả thiết A tù ⇒ø B, C nhọn Khi đó cosA<0 và cosB>0, cosC>0
⇒cosA.cosB.cosC< 0⇒ cosA.cosB.cosC≤ 81
*Giả thiết A, B, C nhọn Khi đó cosA>0 và cosB>0, cosC>0
Theo bất đẳng thức Côsi dành cho 3 số ta có: 3 cosA.cosB.cosC
3
C cos B cos A cos
≥ + +
⇔27cosA.cosB.cosC≤(cosA+cosB+cosC)3 (1)
Theo kết quả bài 1): cosA+ cosB+ cosC≤ 23 (2)
Từ (1) và (2) ta có: 27cosA.cosB.cosC≤( 23)3 ⇒ cosA.cosB.cosC≤ 81
Vậy trong mọi tam giác ABC ta đều có: cosA.cosB.cosC≤ 81
3) Chứng minh rằng: Nếu
8
1 cosC
2
1 A cos 8 8
1 cosC
⇔4cosA.[cos(π − A)+ cos(B− )]−1= 0 ⇔4cosA.[−cosA+ cos(B− )]−1= 0
⇔4cos2A− 4cosA.cos(B−C)+ cos2(B− C)+1− cos2(B−C)= 0
⇒
=
−
=
−
−
0
)
C
B
sin(
0 ) C B
cos(
A
cos
2
⇒
=
=
−
C B
0 0 cos A cos 2
⇒
=
=
C
1 A cos
⇒
=
=
C B 60
⇒A=B=C=600 ⇒∆ABC đều
4) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có sin2A+ sin2B+sin2C≤ 49
2 B 2 cos 1 2 A 2 cos 1 C sin B sin A
)]
A ( [ cos ) B A cos(
) B A cos(
2 C cos ) B 2 cos A 2 (cos 2
1
=
2 2
2
1 ) B A [cos(
) B A ( cos 4
1 2 ) B A ( cos ) B A cos(
) B A cos(
=
⇒ sin2A+ sin2B+ sin2C≤ 49. Vậy trong mọi tam giác ABC ta đều có sin2A+sin2B+ sin2C≤ 94
5) a) Chứng minh bất đẳng thức: Với 6 số thực a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 ta luôn có:
2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3 3 2 2 1
1
b
a b
a b
a
=
b) Tam giác ABC có 3 trung tuyến m a , m b , m c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu m a +m b +m c = 29R thì ABC là một tam giác đều.
Giải: a) Xét trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz xét 2 vectơ khác →
0 : )
a
; a
; a (
a→= 1 2 3 và b→ = (b1;b2;b3) Theo công thức định góc của 2 vectơ ta có
| b
|
| a
|
b a ) b , a
→
→
→
→
| b
|
| a
|
| b a
| nên 1
| ) b , a cos(
→
→
→
→
≤
⇒
≤
≤
3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 1
1b a b ab a a a b b b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi |cos(a→,b→)|=1⇔→a,→b cùng phương ⇔
3 3
2 2
1
1
b
a b
a b
a
=
b) Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki: |1.ma+1.mb+1.mc| ≤ 2
c 2 b 2 a 2 2
2 1 1 m m m
⇒ (ma+mb+mc)2 ≤ 3(m m m2)
c 2 b 2
a+ + (1)
Theo định lý đường trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
) c b a ( 4
3 4
c b a 4
b c 2 a 4
a c 2 b m m
c 2 b 2
Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có:
4
9 R 4 ) C sin B sin A (sin R 4 C sin R 4 B sin R 4 A sin R 4 c b
2 2 2
2 b c 9R
c 2 b 2
m + + ≤ 274R2 (4)
Từ (1) và (4): (ma+mb+mc)2
4 R
81 2
Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki: ma+mb+mc= 29R⇔m1a = m1b = m1c
⇒ Tam giác ABC là tam giác đều