Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đờng tròn O đờng kính AB.. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đờng tròn O.. Gọi M, N lần lợt là hình chiếu của H lên AC và CB.. a Chứng minh rằng: OC vuông
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo
––––––––––––––
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
Năm học : 2009 - 2010
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: (4 điểm)
1
1 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x
P
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P;
c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q 2 nhận giá trị là số nguyên
Bài 2: (3 điểm)
Cho x, y là những số dơng thoả mãn: x y 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của M xy xy1
Bài 3: (3 điểm)
Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất (x, y) mà x, y Z:
2
1
my x
y mx
Bài 4: (3 điểm)
Tìm x; y là những số nguyên dơng thoả mãn
x y
y x
1 3
1 3
Bài 5: (7 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Gọi C là một điểm nằm trên nửa đờng tròn (O) Từ C kẻ CH vuông góc với AB H AB Gọi M, N lần lợt là hình chiếu của H lên AC và CB
a) Chứng minh rằng: OC vuông góc với MN;
b) Qua A kẻ đờng thẳng d vuông góc với AB Tiếp tuyến với (O) tại điểm
C cắt đờng thẳng d ở K Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy
––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) –––––––––––––– đáp án chấm môn toán lớp 9
Kỳ thi chọn học sinh giỏi thcs
Năm học 2009 - 2010
Bài 1 (4 điểm) ĐK: x 1 ; x 0
1
1 1
2 1 2
1
1 3
x
x x
x
x x x
x
x x P
1
1 1
x x
x x
x x P
P x x 1 2 x 1 2 x 2
Trang 2P x x 2 x 1 2 x 2 x x 1
b)
4
1
"
"
; 4
3 4
3 2
1 1
2
P
VËy
4
3
c)
1
2 2
x x
x P
x
Q víi x 0 vµ x 1
Cho nªn 1 1 2 1 1
x x
Cho nªn 0 Q 2
Mµ Q
1
2
x x x
4
5 2
3 0
1 3
2 2
a
2
5 2
a
2
5 2
3 2
5 2
3
2
5 3
; 2
5 3
2 1
VËy
2 5 3 7 2
5 3
2
5 3 7 4
5 6 14 2
5 3
2 2
2 1
x x
KL:
2
5 3 7
; 2
5 3 7
Bµi 2: (3 ®iÓm)
V× x y 1 ; x;y 0
Mµ
4 1 1
2
y x xy xy xy
y
x
XÐt: M xy xy1 §Æt 1 a 4
xy
Th×
a a
M 1 víi a 4
4
17 4
15 4
2 16
4 15 1 16
2 16
15 1
a
a a
a
a
M
2
1 4
"
"
;
4
17
M
VËy
2
1 4
17
Bµi 3: (3 ®iÓm)
Bµi 4: (3 ®iÓm)
T×m x, y lµ nh÷ng sè nguyªn d¬ng tho¶
x y
y x
1 3 1 3
Trang 3x, y bình đẳng không mất tính TQ ta giả sử x y
Nếu x = y ta có 3x 1 x x 1
Vậy
1
1
y
x
thoả mãn Xét x > y
N n m ny
y
my x
x y
y x
, ( 1
3
1 3 1
3
1 3
) Vì x y 3x 3y 1 3y 1 nx
3 0
Do vậy n1 ; 2
Với n 1
) 2 ( 1
3
) 1 ( 1
3
x y
my x
Thế (2) vào (1) 9y 4 my 9y 4 y
4 y y Ư(4) y 1 ; 2 ; 4
Vậy
13
4
; 7
2
; 4
1
x
y x
y x
y
Với n 2 ta có:
x y
y y
x y
y x
x y
y x
x y
my x
2 1 3
2 1 3 3 2
1 3
2 6 2
1 3
1 3 2
1 3
1
1 ; 5 5
5
y y y y
Vậy
8
5
; 2
1
x
y x
y
Sau khi thử ta đợc:
13
4
; 7
2
; 7
2
; 1
4
; 4
1
; 1
1
x
y y
x x
y x
y x
y x
y
5
8
; 8
5
; 1
2
; 2
1
; 13
4
x
y x
y x
y x
y y
x
thoả mãn
Bài 5: (7 điểm)
Trang 4a) ACB = 90o (vì OA = OC = OB)
b) CMH = 90o (gt)
CNH = 90o (gt)
=> CMHN là hình chữ nhật => C1 = M1
Mà CAO = ACO (OA = OC nên tam giác ACO cân)
CAO + C1 = 90o
Cho nên ACO + M1 = 90o
Gọi E là giao của OC và MN ta có CEM = 90o
Hay OC vuông góc MN (đpcm)
b) Ta có KA = KC (tính chất tiếp tuyến)
K o dài BC cắt d tại Wðo dài BC cắt d tại W
Ta có WCA = 90o
Mà: KAC + AWC = 90o
KCA + WCK = 90o
KCA = KAC (lý do KC = KA)
=> KWC = WCK => KC = KW
Vậy WK = KA = KC
Hay K là trung điểm AW
I là giao CH và MN vì CMHN là hình nhữ nhật
I là trung điểm của CH
Mặt khác WA // CH (cùng vuông góc với AB); giả sử BI cắt WA tại K'
A K
WK IH
CI
'
'
Ư
Vậy BI đi qua trung điểm K của AW
Hay KB; CH; MN đồng quy
