Cho tứ giác ABCD.. Gọi E và G lần lợt là trung điểm của AD và BC.. Lấy F và H lần lợt trên AB và CD, biết rằng EFGH là hình bình hành, F không trùng với trung điểm của AB.. Chứng minh rằ
Trang 11 1
1 ) 1 1 1 )(
b
c a
c c
b a
b c
a b
a c
b a c b a
; 2
≥ +
a
b b
a
2
≥ +
b
c c
b
2
≥ +
a
c c a
) ( ) ( ) ( 3
c
a a
c b
c c
b a
b b
+
=
9 2 2 2 3 ) (
) ( ) (
⇒
c
a a
c b
c c
b a
b b a
Phòng GD&ĐT Lục Nam Đề Thi chọn HSG cấp huyện
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (6 điểm).
1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x7 + x2 + 1
b) x3 + 2x2y+ xy2 - 9x
c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 15
d) (x + y)(y + z)(z + x) + xyz
2 Chứng minh rằng: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c đều là những số dơng
thì: a = b = c
Đáp án:
1 Phân tích thành nhân tử: Mỗi ý làm đúng cho 1 điểm
a) x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x – 1) + 1]
b) x3 + 2x2y + xy2 – 9x = x(x + y + 3)(x + y – 3)
c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 15 = (x2 + 7x + 7)(x2 + 7x + 15)
d) (x + y)(y + z)(z + x) + xyz = (x + y + z)(xy + yz + zx)
2 Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
⇔(a+b+c)(a2 +b2 +c2 –ab – ac – bc )= 0 (1 điểm)
⇔(a+b+c)(2a2 +2b2 +2c2 –2ab – 2ac – 2bc )= 0
⇔(a+b+c)[(a-b)2 +(b-c)2 +(a-c)2]= 0 (0,5 điểm)
⇔ (a-b)2 +(b-c)2 +(a-c)2 = 0 (Vì a,b,c >0)
⇔ a = b = c (0,5 điểm)
Câu 2 (4 điểm).
1 Với a, b, c là những số dơng Chứng minh rằng:
2 Tìm các giá trị x,y∈Z thỏa mãn: y= (x+ 1 ) 2 + 4xy+ y2 + 1
Đáp án:
1 Ta có: (0,5 điểm)
(0,5 điểm)
Vì a,b,c > 0 nên ta có ; (0,5 điểm)
(đpcm) (0,5 điểm)
9 ) 1 1 1 )(
c b a c b a
Trang 22009 2008 2008
2009
1 2008
2007 2007
2008
1
3 2 2 3
1 2
1 1
2
1
+
+ +
+ + +
+ +
2
1
1 2
3 3 2 2 4
6 3
2 2 4
16 8
8 2 4 2
2 4
2
4 1 2 1
2
2 2
2
2 2
2
+ +
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
+
=
⇒
−
−
+
=
⇔
+
=
−
−
⇔
+ + + +
= +
−
x
x x
x x
x x
y x
x x y
x x xy y
y xy x
x y
y
) 1 2 ( 3 1
2
+
=
−
=
−
=
=
⇒
−
=
=
−
=
=
⇒
−
= +
= +
−
= +
= +
⇒
0 2 1 2 1 0
2 1 1 0
3 1 2
3 1 2
1 1 2
1 1 2
y y y y
x x x x
x x x x
1
1 1
1 )
1 (
1
+
−
= + +
n
2009
1 2009 2009
1 1
1
2009
1 2008
1 2008
1 2007
1 2007
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1
1
1
−
=
−
=
− +
− +
− +
− +
− +
−
2 y= (x+ 1 ) 2 + 4xy+y2 + 1 ⇔ y− 1 = (x+ 1 ) 2 + 4xy+ y2 (1)
+ Nếu y− 1 < 0 ⇔ y< 1 thì (1) vô nghiệm (0,5 điểm)
+ Nếu y− 1 ≥ 0 ⇔ y≥ 1 Khi đó bình phơng hai vế của (1) ta đợc:
(0,75 điểm)
Vì x,y∈Z
(không thỏa mãn đk y≥ 1)
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm (0,75 điểm)
Câu 3 (4 điểm).
1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3x2 + 6x+ 12 + 5x4 − 10x2 + 9
2 Rút gọn biểu thức sau:
B =
Đáp án:
1 Ta có A = 3x2 + 6x+ 12 + 5x4 − 10x2 + 9= 3 (x+ 1 ) 2 + 9 + 5 (x2 − 1 ) 2 + 4 ≥ 5
dấu “=” xảy ra khi: x = -1 (1,5 điểm)
2 Xét và biến đổi trờng hợp tổng quát
Khi đó ta đợc:
B =
Câu 4 (4 điểm).
Cho tứ giác ABCD Gọi E và G lần lợt là trung điểm của AD và BC Lấy F và H lần lợt trên AB và CD, biết rằng EFGH là hình bình hành, F không trùng với trung
điểm của AB Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD là hình thang
b) SEFGH = SABCD
Đáp án: ( làm đúng mỗi phần đợc 2 điểm)
a) Lấy M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD Gọi O là giao điểm của MN và EG
Trang 3
= + +
= + +
= + +
1 1 1
3 3 3
2 2 2
c b a
c b a
c b a
2009 2008
2
1
2 1
2 1
2 1
=
=
=
⇒
=
⇒
=
=
⇒
=
1 0
0 1
0
1 0
c b
a b
c
c b
=
=
= 0 1 0
c b a
+ Tứ giác MENG là hình bình hành
+ Tứ giác EFGH là hình bình hành (GT)
=>OG=OE=OM=ON=OF=OH
=> Tứ giác MFNH là hình bình hành
=> MF//NH=>AB//CD
=>tứ giác ABCD là hình thang b) Kẻ FI ⊥EG, HK⊥EG
Ta có SEFGH = SEFG + SEHG = (FI.EG + HK.EG)= EG(FI + HK) (1)
Ta lại có EG là đờng trung bình của hình thang ABCD =>EG = (AB + CD) (2)
FI + HK = h : chính là chiều cao của hình thang (3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta đợc: SEFGH = SABCD (đpcm)
Câu 5 (2 điểm).
Cho Tính: P =
Đáp án:
Từ a+b+c =1=>( a+b+c)2 =1=> a2+b2+c2 +2(ab+ac+bc)=1=> ab+ac+bc = 0
Xét a3+b3+c3 – 3abc = (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 –ab – ac – bc ) 1(1-0)=1
=>3abc = 0 => a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 (1điểm)
+) Trờng hợp 1:
a = 0 => => b 2 + c 2 +2bc = 1 => 2bc = 0
=> hoặc => P = 1
Xét tơng tự hai trờng hợp còn lại ta đợc P=1
Kết luận: P = 1 (1điểm)
H N
O
= +
= +
= +
1 1 1
3 3
2 2
c b
c b c b