SKKN cap Tinh mon Toan

Đối với học sinh lớp 8, 9, giáo viên ngoài việc hướng dẫn các em vận dụng nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, cần phải cung cấp thêm một số hằng đẳng thức tổng quát, một số hằng đẳ

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI MỞ ĐẦU

Những hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8 Mỗi hằng đẳng thức giúp học sinh giải được một lớp các bài toán, nhiều bài tập khác nhau, giúp học sinh thực hiện giải toán nhanh hơn, chính xác hơn

Để trở thành học sinh giỏi Toán, ngoài những yêu cầu về kiến thức cơ bản trong chương trình cần nắm vững, học sinh còn phải biết tìm tòi, khai thác, vận dụng những kiến thức nâng cao Đối với học sinh lớp 8, 9, giáo viên ngoài việc hướng dẫn các em vận dụng nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, cần phải cung cấp thêm một số hằng đẳng thức tổng quát, một số hằng đẳng thức nâng cao, giúp các em học sinh khá giỏi có thể vận dụng để giải được nhiều bài toán khó, nhiều dạng bài tập hơn Khai thác ứng dụng của các hằng đẳng thức nâng cao nhằm bổ sung những kiến thức mới, khơi dậy niềm say mê học tập, phát huy tính tích cực nhận thức và phát triển kỹ năng tự học của học sinh

Trong quá trình dạy học Toán, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tôi thấy

hằng đẳng thức tổng ba lập phương là một trong số những hằng đẳng thức

nâng cao có rất nhiều ứng dụng; có thể giúp học sinh vận dụng để giải một số bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, rút gọn biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, , giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học; sáng tạo trong quá trình học tập, tiếp thu kiến thức mới Tôi đã sắp xếp, phân

loại những ứng dụng của hằng đẳng thức tổng ba lập phương; từ đó hướng dẫn

học sinh tự học để đạt kết quả cao Tôi xin được trao đổi một số kinh nghiệm nhỏ này cùng các bạn

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Trong chương trình phổ thông, hằng đẳng thức tổng ba lập phương trong

sách giáo khoa chưa được đề cập đến Trong sách bài tập Toán 8, đưa ra hai bài tập sau:

Bài 38: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài 57: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3

Trong nhiều sách nâng cao, sách tham khảo, hằng đẳng thức tổng ba lập

phương và ứng dụng của nó được một số tác giả quan tâm đưa vào với một số

lượng ít bài tập ở một vài dạng

Thực tế, trong quá trình dạy học, chúng ta gặp nhiều bài toán ở các dạng bài khác nhau trong các đề thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải đưa về dạng

hằng đẳng thức tổng ba lập phương Nếu giáo viên chưa khai thác sâu kiến

thức cơ bản, học sinh chưa kịp thời bổ sung những kiến thức cơ bản nâng cao;

chưa đào sâu suy nghĩ để tìm cách vận dụng linh hoạt những hằng đẳng thức cơ bản nâng cao, cùng việc tích luỹ dần dà các phương pháp và kỹ năng hữu hiệu thì khó có thể giải được những bài toán đó.

Trong trường hợp đặc biệt, một số học sinh có năng lực tiếp thu bài tốt,

có khả năng tự học Khi nhu cầu hiểu biết của học sinh rất lớn, trong một thời gian hạn chế mà tài liệu tham khảo nhiều, học sinh thường lúng túng, mất quá nhiều thời gian để có thể hệ thống được các dạng toán, các phương pháp, các kinh nghiệm vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán, nếu không có sự hướng dẫn chu đáo của giáo viên

Do đó để đáp ứng nhu cầu bổ sung kiến thức, bổ sung những hằng đẳng thức có nhiều ứng dụng, bổ sung những kinh nghiệm giải toán nhằm nâng cao chất lượng dạy học Toán lớp 8, 9, đòi hỏi người thầy phải giúp học sinh có những tư liệu tự học tốt nhất, những chủ đề nâng cao khai thác vận dụng những

hằng đẳng thức nâng cao trong đó có hằng đẳng thức tổng ba lập phương - một

hằng đẳng thức đẹp

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

1 Để giúp học sinh lớp 8, 9 có kỹ năng giải thành thạo các bài tập về vận

dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương, trước hết giáo viên cần hướng dẫn

học sinh nắm được hằng đẳng thức; giúp học sinh phân loại các bài tập theo các dạng toán cơ bản, nâng cao Ở mỗi dạng toán, giáo viên cần đưa ra các ví dụ cụ

thể, hướng dẫn học sinh biết vận dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương để

giải Giáo viên đưa ra những bài tập tương tự, bài tập vận dụng để học sinh có thể tự giải

Hằng đẳng thức tổng ba lập phương có thể được sử dụng để giải nhiều

bài toán thuộc các dạng sau:

1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử

1.2 Rút gọn biểu thức Tính giá trị của biểu thức

2 Tổ chức hướng dẫn học sinh chủ động, tích cực tìm tòi, sáng tạo nắm

vững hằng đẳng thức tổng ba lập phương, rèn luyện các kỹ năng giải các bài toán áp dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương.

II BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

1 HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG

* Với A, B, C là các biểu thức tuỳ ý ta có các hằng đẳng thức sau:

1) A 3 + B 3 + C 3 = (A + B + C)(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) + 3ABC

= (A + B + C)(A2 + 2AB + B2 - AC - BC + C2 - 3ABC)

= (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) Suy ra đpcm

Để chứng minh hằng đẳng thức (1), ta có thể chọn một trong hai cách sau:

= A3 + B3 + 3AB(A + B) + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - A3 - B3 - C3

= 3(A + B)AB+ (A B C C+ ) + 2  = 3(A + B)(B + C)(C + A) Suy ra đpcm.

Chúng ta có thể sử dụng (1), (2) và (3) để phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz thành nhân tử

Hướng dẫn: 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz = (2x)3 + (4y)3 + z3 - 3.(2x).(4y).z

= (2x + 4y + z)[(2x)2 + (4y)2 + z2 - (2x)(4y) - (2x)z - (4y)z]

= (2x + 4y + z)(4x2 + 16y2 + z2 - 8xy - 2xz - 4yz)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử.

(x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (- x + y + z)3

Bài tập vận dụng

Phân tích các đa thức thành nhân tử:

1) x3 - y3 - z3 - 3xyz 2) 125a3 + 8b3 + 27c3 - 90abc

3) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3 4) (x + 2y - 3z)3 - x3 - 8y3 + 27z3 5) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3 6) (x - y)5 + (y - z)5 + (z - x)5

Nhận xét: Ở bài toán trên chúng ta đã sử dụng “điều kiện xuôi” để tính giá trị

của biểu thức Ta cũng có thể sử dụng “điều kiện ngược” để tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 2: Cho abc ≠ 0, a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức:

Vậy A nhận hai giá trị là 8 và -1.

Ví dụ 3: Biết a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2, tính giá trị của biểu thức:

Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức:

A = x3 + (x - 1)3 - (2x - 1)3 - 3x(x - 1)(1 - 2x)

Hướng dẫn: Đặt a = x, b = x - 1, c = 1 - 2x suy ra: a + b + c = 0.

Khi đó, biểu thức được viết dưới dạng:

Ví dụ 6: Biết a3 + b3 = 3ab - 1, tính giá trị của biểu thức: A = a + b

Hướng dẫn: Biến đổi giả thiết về dạng:

Ví dụ 8: Cho các số a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện:

Bài 3: Cho a, b, c khác 0 thoả mãn a3 - b3 + c3 = - 3abc Tính:

Vậy một trong ba số a, b, c bằng 0 Từ đó suy ra: a2011 + b2011 + c2011 = 0

Bài 6: Cho a + b + c = 0 (a, b, c ≠ 0) Tính giá trị của biểu thức:

ax + by + cz = a(a2 - bc) + b(b2 - ac) + c(c2 - ab)

= a3 - abc + b3 - abc + c3 - abc = a3 + b3 + c3 - 3abc

Bài 1: Cho a - b - c = 0 Chứng minh rằng a3 - b3 - c3 = 3abc.

Bài 2: Cho a + b + c + d = 0 Chứng minh rằng:

a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab - cd)

Bài 3: Cho 2a + b + c = 0 Chứng minh rằng: 2a3 + b3 + c3 = 3a(a + b)(c - b)

Bài 4: Cho a + b - c = 0 Chứng minh rằng 2(a5 + b5 - c5) = -5abc(a2 + b2 + c2)

Bài 5: Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: (4x – 3y + 2z)2 = 16x2 + 9y2 + 4z2

Bài 8: Cho x, y, z khác 0 thoả mãn:

0 0 0

2xyz(x2 + y2 + z2) (**)Thay (**) vào đẳng thức (*) ta được đpcm.

Bài 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

coi mẫu số của A có dạng a + b + c Khi đó nhân cả tử và mẫu của A với (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca), tức là ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2

và nhiều phương trình có thể đưa được về một trong các dạng đó để giải.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

⇔ − + = Bây giờ ta tìm cách viết vế trái của phương trình dưới dạng: x3 + a3 + b3 - 3abx, như vậy a, b thoả mãn hệ phương trình:

3 3

3 3

3

2 54 1 18

a b

a b

 + =

54 2 , suy ra a = b = 1

3 2 Khi đó: (1) ⇔ (x + a + b)(x2 + a2 + b2 - ax - bx - ab) = 0

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là: 1 2

a) Nhận thấy phương trình có dạng A3 + B3 + C3 = 0, với A + B + C = 0

Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình về dạng:

Phương trình có ba nghiệm x = 2, x = - 1 và x = 1

2.b) Đặt a= 3 x− 1, b= 3 x− 2, c= 3 x− 3

Khi đó, phương trình có dạng: a + b + c = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

1 0

- Với a + b = 0, suy ra 5x2 – 5x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

a) Với 3z - 2 = 1, thay vào hệ (II) được hệ:  −((x x− +1) (21)(2y− =y3) 6− = −3) 1

Vậy (x - 1); (2y - 3) là nghiệm của phương trình t2 + t + 6 = 0

Phương trình này vô nghiệm

b) Với 3z - 2 = -2, thay vào hệ (II) được hệ: ( 1) (2 3) 2

Phương trình này có hai nghiệm t1 = -1; t2 = 3.

Kết hợp với phương trình 3z - 2 = -2 suy ra hệ phương trình (I) có hai nghiệm nguyên (x; y; z) là (0; 3; 0); (4; 1; 0)

Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + y)3 = (x - 2)3 + (y + 2)3 + 6

Bài 7: Giải phương trình bậc ba (ẩn x): x3 - 3abx + (a3 + b3) = 0

Phương trình (1) có: ∆ = (a + b)2 - 4(a2 + b2 - ab) = - 3(a - b)2

Do đó nó chỉ có nghiệm nếu a = b, nghiệm ấy là x = a (nghiệm kép)

2.6 Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho a, b, c ≥ 0 Chứng minh rằng: a + b + c ≥3 abc3

(Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm) Hướng dẫn: Ta có x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)

Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≥a2 bc b+ 2 ca c+ 2 ab

Hướng dẫn: (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc)

≥ 2 a abc3 + 2 b abc3 + 2 c abc3 = 2(a2 bc b+ 2 ca c+ 2 ab) (1)

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

ở đây a = 37, b = - 28, c = - 1, suy ra A chia hết cho 37 – 28 – 1 = 1930

Ví dụ 2: Cho a + b + c = (a - b)(b - c)(c - a).

Chứng minh rằng (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho 3

Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ: 0

Từ đó, ta thấy ngay (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho 3

Nhận xét: Cũng với phương pháp trên chúng ta còn có thể chứng minh được các

bài toán tổng quát hơn như sau:

1 Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:

(a + b + c)p + (a - b - c)p + (b - c - a)p + (c - a - b)p chia hết cho 8pabc

2 Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:

(a - b)p + (b - c)p + (c - a)p chia hết cho p(a - b)(b - c)(c - a)

- Với x = 1, y = 1, z = - 2 thì: (1) ⇔ 1 + 1 - 8 - 2m = 0 ⇔ m = - 3.

- Thử lại, với m = - 3, ta được:

x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)

Vậy với m = - 3 thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài 2: Cho x, y, z nguyên thoả mãn điều kiện x + y + z = (x - y)(y - z)(z - x)

Chứng minh rằng: M = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 chia hết cho 81

Hướng dẫn: Vì (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0 nên ta có:

(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)

Xét ba số dư của phép chia x, y, z cho 3

a) Nếu cả ba số dư là khác nhau (là 0, 1, 2) thì (x + y + z) chia hết cho 3 Khi

đó (x - y)(y - z)(z - x) không chia hết cho 3, trái với giả thiết

b) Nếu có hai số dư bằng nhau thì x + y + z không chia hết cho 3, trong khi đó một trong ba hiệu: (x - y), (y - z), (z - x) chia hết cho 3, trái với giả thiết

c) Vậy chỉ còn trường hợp cả ba số x, y, z đều có cùng số dư khi chia cho 3.Lúc đó 3(x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3.3 nên M chia hết cho 81

Bài 3: Cho x, y, z là các số nguyên khác 0 Chứng minh rằng nếu x2 - yz = a,

3 2 2 2 3

1 1

0

abc b a b c

a

a b c abc c b

Khử 3a b c2 2 2 trong hệ này, ta tính được:(a b− ) 3abc b c a= ( − ) (1)

Do abc ≠ 0 nên nếu a - b = 0 thì (1) ⇒ = =a b c (không xảy ra vì x + y + z = 0).Nếu a - b ≠ 0 thì (1)

(2) chứng tỏ abc là lập phương của một số hữu tỉ Nhưng vì abc nguyên nên

nó là lập phương của một số nguyên

Vậy trong mọi trường hợp, abc đều là lập phương của một số nguyên (đpcm)

Ví dụ 2: Biết xn + yn + zn = an + bn + cn đúng với n = 1, 2, 3, chứng minh rằng nó đúng với mọi số tự nhiên n

Hướng dẫn: Từ giả thiết biểu thức đúng với n = 1, 2, 3, ta lần lượt có:

x + y + z = a + b + c (1)

x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + z2 (2)

x3 + y3 + z3 = a3 + b3 + z3 (3)Khi đó: (1) ⇔ (x + y + z)2 = (a + b + c)2

⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

⇔ xy + yz + zx = ab + bc + ca (4)

(3) ⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + 3xyz

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab + bc + ca) + 3abc

⇔ xyz = abc (5)

Từ (1), (4), (5) suy ra x, y, z là nghiệm của phương trình:

t3 - (a + b + c)t2 + (ab + bc + ca)t - abc = 0

Như vậy, ta thấy (x, y, z) là một hoán vị của (a, b, c), do đó:

xn + yn + zn = an + bn + cn đúng với mọi số tự nhiên n

Hướng dẫn: Điều “không ổn” ở giả thiết của bài toán.

Thật vậy, từ a + b + c = 1 1 1 0

a b c+ + = suy ra ac = b2, bc = a2, bc = c2

⇒ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca = 0 ⇒ a = b = c = 0

Mâu thuẫn với 1 1 1 0

a b c+ + = Chứng tỏ không tồn tại a, b, c thoả mãn các giả

thiết hay giả thiết của bài toán là phi lí

Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy, hãy tìm tập hợp các điểm

A(x; y) sao cho x3 - y3 = 3xy + 1 (1)

Vậy tập hợp A là đường thẳng x - y - 1 = 0 và điểm A0(-1; 1)

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Bài 3: Sai ở đâu? Sửa cho đúng.

Nhưng chỉ cần cho x = y = z = 3 và a = 1, b = 2, c = 3 chẳng hạn thì thấy giả thiết vẫn đúng mà ở kết luận:

− với k ≠0 Giả thiết bài toán

Cả hai lời giải sẽ đúng nếu đề bài cho thêm giả thiết

Bài 4: Tìm công thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k:

S = 1.2.3 + 3.4.7 + 7.8.15 + + (2k - 1)2k(2k+1 - 1)

Hướng dẫn: Vì (2k - 1) + 2k + (1 - 2k+1) = 0 nên ta có:

(2k - 1)3 + (2k)3 - (2k + 1 - 1)3 = - 3(2k - 1)2k(2k+1 - 1)

Ta có: -3S = (-3).1.2.3 + (-3).3.4.7 + (-3).7.8.15 + + (-3)(2k - 1)2k(2k+1 - 1) ⇒ - 3S = (1 + 23 - 33) + (33 + 43 - 73) + (73 + 83 - 153) + + (2k - 1)3 +

in ấn tài liệu cho học sinh tham khảo, giáo viên tổ chức cho học sinh tích cực, chủ động tự học để nắm vững nội dung chuyên đề Chúng tôi thấy rằng, các em học sinh rất hứng thú khi được thầy cung cấp những tư liệu hướng dẫn tự học

Đa số các em khá giỏi tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dễ dàng; các

em đã biết khai thác sâu bài toán, biết xâu chuỗi các bài toán, biết vận dụng các kiến thức cơ bản, nâng cao để giải được nhiều bài toán khó, để học tốt các nội dung kiến thức khác trong chương trình học; giúp các em thêm tự tin, dành được kết quả cao trong quá trình học tập và trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp.

Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy toán, tôi luôn chú trọng hướng các em đi tìm các ứng dụng của mỗi hằng đẳng thức nâng cao, các phương pháp giải, cách giải khác nhau cho mỗi bài toán, giúp học sinh xâu chuỗi các bài toán Từ đó khơi dậy lòng say mê, niềm cảm hứng với những nét độc đáo, niềm tin, niềm tự hào khi tự mình có thể trang bị được những kiến thức mới một cách hệ thống và khoa học

2 Những bài học kinh nghiệm

- Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng một vấn đề nào đó, trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc Vì vậy, người thầy phải không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân, phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, phân dạng các bài toán, xâu chuỗi các bài toán Giáo viên cần chủ động phát hiện ra những bài toán cơ bản, những hằng đẳng thức có nhiều ứng dụng và tập hợp các ứng dụng đó, viết thành tư liệu dành cho học sinh tham khảo Đó là một phương pháp học mang lại hiệu quả rất cao trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán

- Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kỹ năng thường xuyên lưu ý; liên hệ một bài toán “mới” với những bài toán đã biết, giúp học sinh phát hiện ra rằng, bài toán đó không còn mới đối với các em hoặc nhanh chóng xếp loại được bài toán, từ đó định hướng được phương pháp giải quyết

- Nên cấu tạo bài tập toán đa dạng và phong phú (với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kiểm tra năng lực toán học, ) để phù hợp với phương pháp dạy học đổi mới theo hướng tích cực, độc lập, sáng tạo

- Trong quá trình dạy học toán, việc tìm lời giải các bài toán không chỉ là mục đích mà còn là cơ sở để đề xuất các bài toán mới Phát triển kết quả là một công việc cực kỳ thú vị đối với người làm toán Từ một kết quả đơn giản ban đầu, bằng sự phát triển thông minh và sáng tạo, ta có thể đi đến những kết quả bất ngờ và sâu sắc

Trên đây tôi đã trình bày một số ứng dụng của hằng đẳng thức tổng ba lập phương với mong muốn đóng góp một phần nhỏ vào quá trình đổi mới nội dung, phương pháp dạy học toán ở trường Trung học cơ sở nhằm giúp học sinh đạt được kết quả cao nhất trong học tập Có thể trong đề tài còn có những hạn chế, thiếu sót, rất mong được sự đóng gớp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để

đề tài này được hoàn thiện và có tác dụng hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tháng 3 năm 2011.