Chứng minh: AM BC BM AC CM AB.. Tia MA cắt đờng tròn I tại điểm thứ hai tại N.. Qua N kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt đđ-ờng thẳng MB ở P.. Chứng minh OM//IN.. Chứng minh độ dài đoạ
Trang 1Đề số 10
Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2
năm học: 2008 - 2009
(Thời gian 150 phút )
Bài 1:(3 điểm)
1 Cho
2
x=
−
tính giá trị của biểu thức sau
4 3 2 2009
A= x − − +x x x−
2 Giải hệ phơng trình:
19( ) 7( )
Bài 2: (2 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC và một điểm M trong tam giác Chứng minh:
AM BC BM AC CM AB + + ≥ 4.S ABC Dấu bằng sảy ra khi nào?
Bài 3: (6 điểm)
1 Tìm các số a, b, c biết: 2008 2009 2 1( )
2
2 Cho x, y, z > 2 thõa mãn: 1 1 1 1
x+ + =y c Chứng minh: (x− 2)(y− 2)(z− ≤ 2) 1
3 Tìm giá trị nhỏ nhất: y= 2x2 + 2x+ + 1 2x2 − 4x+ 4
Bài 4: (5 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) và đờng tròn (( ; )
2
R
I tiếp xúc ngoài tại A Trên đờng tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R Tia MA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai tại N Qua N kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt đđ-ờng thẳng MB ở P
1 Chứng minh OM//IN
2 Chứng minh độ dài đoạn NP không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
3 Xác định vị trí điểm M để S ABPNđạt giá trị lớn nhất Tính giá trị đó theo R
Bài 5: (3 điểm)
1 Cho các số thực x, y, z thõa mãn: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của xyz
2 Tìm các số nguyên dơng x, y, z thõa mãn phơng trình:
4 2 2 0
x −x yz z− + =
Bài 6: (1 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho chu vi tam giác MCN bằng 2 Tính góc MAN
Trang 2ớng dẫn chấm Bài 1: (3 điểm) Môic ý 1,5 điểm
Câu 1: (1,5 điểm):
Ta có:
2
x=
−
= 2
4 3 2 2009
(4 2 2 2 2 2 1) 1
Câu 2: (1,5 điểm):
Ta có:
19( ) 7( )
2 2
đặt: u x y= − ; v xy= hệ trên trở thành
⇔
2 2
Giải hệ ta đợc 2 nghiệm (u; v) là (0; 0) và (1; 6) Do đó hệ ban
đầu có 3 nghiệm: (x; y) là (0; 0) và (3; 2); (-2; -3)
Bài 2:(2 điểm)
Kéo dài AM cắt BC tại I
Kẻ BE⊥ AM; CF ⊥ AM
Ta có BI AM ≥BE AM = 2S∆BAM
CI AM ≥CF AM ≥ 2S∆CAM
(BI CI AM) 2(S∆BAM S∆CAM)
Hay AM BC ≥ 2(S∆BAM +S∆CAM) (1)
Tơng tự ta chứng minh đợc:
CM AB ≥ 2(S∆CAM +S∆CBM) (2)
BM AC ≥ 2(S∆CBM +S∆BAM) (3)
Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta đợc:
⇒AM BC CM AB BM AC + + ≥ 4S∆ABC
Dấu “=” sảy ra khi: AM ⊥BC; BM ⊥AC; CM ⊥AB hay M là trực tâm của tam
giác ABC
Bài 3: (6 điểm)
Câu1: (2,0 điểm)
ĐK: x≥ − 2008; b≥ 2009; c≥ 2
2
2 a 2008 2 b 2009 2 c 2 a b c
(a 2008) 2 a 2008 1 (b 2009) 2 b 2009 1 (c 2) 2 c 2 1 0
( a+ 2008 1) − + ( b− 2009 1) − + ( c− − 2 1) = 0
2007
2010
3
a
b
c
= −
⇔ =
=
F I
E M
C B
A
Trang 3Cách 2: Ta có 2008 2009
2
a
2009 2008
2
b
2 1
2
c
⇔ a+2008+ b−2009+ c− ≤ + +2 a b c
Dấu “=” sảy ra khi: 1= +a 2008 ⇔ = −a 2007
1= −b 2009 ⇔ =b 2010
1= − ⇔ =c 2 c 3
Câu 2: ( 2 điểm)
Ta có: 1 1 1 1 1 (1 1) (1 1) 2 2
Mà y; z > 2 nên: 1 2 ( 2)( 2)
4
yz
(1)
Tơng tự: 1 (x 2)(z 2)
≥ (2)
1 (x 2)(y 2)
≥ (3)
Từ (1); (2) và (3) ta có:
2
1 (x 2)(y 2)(z 2)
⇔ −(x 2)(y−2)(z− ≤2) 1 (đpcm)
Câu 3: (2 điểm) ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2) 2 2 2 2
2 2 2 2)
* Nếu: ac + bd < 0 thì (2) đợc chứng minh
* Nếu: ac + bd ≥ 0 thì (2) tơng đơng với
(a +b )(c +d ) ≥a c +b d + 2abcd
2
a c +b d +a d +b c ≥a c +b d + abcd
2
⇔ − ≥ (đpcm)
Ta có: y= 2x2 + 2x+ + 1 2x2 − 4x+ 4 = (x+ 1) 2 +x2 + (2 −x) 2 +x2
áp dụng BĐT trên ta đợc:
min 3
y
⇒ = khi x = 0
Bài 4: (5 điểm)
Câu a: (1,5 điểm)
Ta có: OA = OM = R ⇒ ∆MOA cân tại O
⇒OMA OAMã = ã (1)
Tơng tự: IA = IN =
2
R
IAN
⇒ ∆ cân tại I
H
B
P
N
M
A I O
Trang 4ã ã
Mà (O; R) và (I:
2
R
) tiếp xúc tại A
do đó O, A, I thẳng hàng
Nên OAMã =IANã (đđ) (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra: OMA INAã =ã (ở vị trí so le trong)
Do đó OM//IN (đpcm)
Câu 2: (2 điểm)
Ta có: OM//ON suy ra AM OM 2R 2
2 1 3
AM
Vậy độ dài PN không đổi
Câu 3: (1,5 điểm)
Từ A kẻ AH ⊥PN kéo dài tại H
ABPN
R
Vì R không đổi nên S ABPN lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn nhất
Do AH ≤ AN nên AH lớn nhất lkhi AH = AN ⇔H ≡N ⇔ AN ⊥PN⇒AM ⊥ AB
tại A (do AB//PN) khi đó ∆AMB vuông ở A nen ta có:
AM2 =MB2 −AB2 = (2 )R 2 −R2 ⇒AM =R 3
3
AM
ABPN
S
⇒ đạt giá trị lớn nhất = 5 . 3 5 3 2
R = (đơn vị diên tích) Khi M thuộc cung lớn AB và AM ⊥AB
Bài 5: (3 điểm)
Câu 1: (1,5 điểm)
Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(x yz) 2(y xz) 3(xyz 1) 12
3(xyz 1) 12 (xyz 1) 4
Mà xyz = -1
0
0 ( ; ; ) (1, 1,1);(1,1, 1);( 1,1,1);( 1, 1, 1) 1
x yz
xyz
Vậy giá trị nhỏ nhất của xyz = -1
Câu 2: (1 điểm)
Ta có: x4 −x yz z2 − + = 2 0 x x2 ( 2 −yz) = −z 2 (1)
Xét 3 trờng hợp:
Trang 5* Nếu z = 1 thì (1) 2 2
2
x x
y y
=
⇔ − = − ⇔ =
2 ; 2
x= k y= k (với k Z∈ +)
* Nếu z > 2 thì (1) ta có: z- 2 > 0 và 2
2
z− Mx nên
z− ≥x ⇔ ≥z x + >x ⇒ <x −yz x< −x y≤ (vô lý)
Vậy bộ ba số nguyên dơng (x; y; z) thõa mãn đề bài là: (1; 2; 1) và (2k; 2k2; 2) với k là số nghuên dơng
Bài 6:(1 điểm)
Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK = DN
Khi đó MK = MB + BK = MB + DN = 1 – CM +1 – CN
= 2 – ( CM + CN ) = MN (vì CM +CN + MN = 2 )
Và ∆ADN = ∆ABK⇒ AN =AK ⇒DANã = ãBAK
Từ đó suy ra: ∆AMN= ∆AMK (CCC)
K
N M
B A