Học lượng giác rất dễ

Công thức biến đổi tổng thành tích... Từ đó suy ra nghiệm... CÁC DẠNG VÀ KỸ THUẬT GIẢI PTLG I... Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với:... DẠNG 2: ƢA VỀ PT TÍCH Nhóm thừa số chung

A CÔNG THỨC G, P G CƠ BẢN, P G CƠ Ở

3 Công thức biến đổi tổng thành tích

Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:

VD1: (1)

Giải: Nhận thấy nên PT đã cho có nghiệm

Chia 2 vế của PT cho a2b2 = √ √ ta có:

Giải: Nhận thấy (√ ) nên PT đã cho có nghiệm

Chia 2 vế của PT cho a2b2 = √ (√ ) ta có:

(2) √ =

( ) [

’ với k

𝑉ậy [

’ với k

VD3: (3)

Giải: Nhận thấy nên PT đã cho có nghiệm Chia 2 vế của PT cho a2b2 = √ ta có: (3)

Vì ( ) +( ) =1 nên đặt cos = , sin = Thì PT (3) tương đương (3) cos ( ) =

𝑉ậy [

’ với k

VD4: ( ) √ (4) ( Đề ĐH Khối D 2007 ) Giải: Ta có: ( ) = + 2 + = 1+

PT đã cho tương đương với (4) 1+ √ √

√ ( )

( ) [

Vậy [

’ với k

VD5: √ √ (5)

Giải: Nhận thấy (√ ) ( √ ) nên PT đã cho có nghiệm

Chia 2 vế của PT cho a2b2 = √ (√ ) ta có:

+ Nếu (*) đúng thì

2

x  k

là nghiệm của (2)

+ Nếu (*) không đúng thì

2

x  k

không là nghiệm của (2)

* Xét cosx  0

Chia hai vế của pt (2) cho cos2x ta đưa pt (2) về dạng :

A.tan2x + B.tanx + C = 0 Đến đây ta giải pt bậc hai theo tan

Cách 2

Ta có : a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d (*)

Đưa (*) về dạng : A.sin 2xBcos2xC

Đến đây ta giải phương trình thuần nhất bậc nhất đối với sin và cos

Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:

VD1: - √ (1)

Vì = 0 không phải là nghiệm nên chia cả 2 vế của (1) cho ta được: (1) 1- 2√ ( )

Đặt t = tan ta có PT: √ [

√

Với t = 0 , , với k

Với t = √ √ , với k

VD2: (2)

Giải: Ta có (1) sin ( )

- sin + = 0 [ ] = 0

[ ( )

( )

(2.1) , với k

(2.2) = 0 ( )

+2 = 0 (Vì ( ) )

Vậy PT có nghiệm là: , với k

3 P ối xứng Gồm 2 dạng sau: ( ) + + = 0

( ) + + = 0

Bƣ c 1.[ √ ( ) √ ( ) ( )

√ ( ) √ ( ) ( )

, với t [ √ √ ]

Biến đổi đưa về PT bậc 2 ẩn t Bƣ c 2 Giải PT bậc 2 ẩn t Từ đó suy ra nghiệm Chú ý: Điều kiện t [ √ √ ] để loại nghiệm Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: VD1 ( ) - – 3 = 0 (1)

Giải: Đặt sin + cos = √ ( ), với t [ √ √ ] (*)

= 1+2 ( )

PT được viết thành: (1) ( ) – 3 = 0 [ ( ( ) )

( )

Với thì: √ ( ) = 1 ( ) =

√ =

[

[

, k

Vậy nghiệm của PT là: , , với k

√

√ = Vậy PT đã cho có 4 họ nghiệm:

Đặt sin + cos = √ ( ), với t [ √ √ ] và 1 ( do mẫu phải )

Thì = 1+2 ( ) Vậy PT (3) trở thành: (3) √ = √ - √ - 2 = 0 ( hiển nhiên t = 1 không là nghiệm ) ( √ )(√ √ ) = 0 [ √

√ ( )

Với √ √ ( ) √ ( )

, k

Vậy nghiệm của PT là : , k

( ) ( )

Điều kiện: 0

Lúc đó PT (4) tương đương với ( ) + – 1 = 0 ( )( ) - ( )( )

( )( )( )( )

- ( )( )( )( )

( )( )[ ( )( ) ( )( ) ] = 0

[( )( )

( )( ) ( )( )

[ ( )

( )

[ ( )

[ ( )( ) ( )

B CÁC DẠNG VÀ KỸ THUẬT GIẢI PTLG

I DẠNG 1: SỬ DỤNG TRỰC TIẾP P G CƠ BẢN

P ƣơng p áp: Dùng một số phép biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải

Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:

( ) √ ( Đề ĐH Khối A 2009 )

Giải: Điều kiện: sin và sin (*)

Với điều kiện trên PT đã cho tương đương: ( ) √ ( )( )

cos √ = sin2x + √ cos2x cos( ) = cos( )

Vậy: x = hoặc x = + k2 ( Với k )

sinx +cosx.sin2x + √ = 2( ) ( Đề ĐH Khối B 2009 )

Giải: PT đã cho tương đương với: ( )sinx +cosx.sin2x +√

Giải: Điều kiện: sin và cos , cos (1)

Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với:

sin5x + 2 = 1 ( Đề ĐH Khối B 2013 )

Giải PT sin5x + cos2x = 0

cos( 5x + )= cos2x

[

, k

[

, k

II DẠNG 2: ƢA VỀ PT TÍCH (Nhóm thừa số chung)

P ƣơng p áp: Dùng các phép biến đổi đế nhóm các thừa số chung lại với nhau tạo thành 1 PT

tích

Chú ý : Giả sử PT tích số có dạng: ( ) ( ) ( ) ( )

P ƣơng p áp g ải: Một tích số bằng 0 thì phải có ít một thừa số bằng 0 Do đó:

(*) [

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ta lần lươt giải các PT (1), (2), … , (n) Hợp các tập nghiệm của n PT này là tập nghiệm của PT (*) đã cho Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: sinx + sin2x = sin3x Giải: + Nhận xét: các hàm số sin2x và sin3x đều có chứa thừa số sinx Do đó ta có thể biến đổi PT trên thành một PT tích số PT sinx +2sinx.cox –(3sinx - 4 ) = 0

sinx( )

[ ( )

( )

- Giải ( ) a có : sinx = 0 k

- Giải (2): Ta thay để có 1 PT bậc hai theo cosx: 2( ) + cosx – 1 = 0 2 - cosx – 1 = 0 [ [

, k

Vậy nghiệm của PT là: [

, k

Nhưng tập nghiệm thứ hai ( ) chứa trong tập nghiệm thứ nhất ( ) Nên PT chỉ có 3 họ nghiệm: [

, k

1 + tanx = 2√ ( ) ( Đề ĐH Khối A 2013 )

Giải: Điều kiện: cosx Phương trình đã cho tương đương với: 1 + = 2(sinx + cosx) cosx + sinx = 2cosx(sinx+cosx) = 0

(sinx + cosx)(2cosx - 1) = 0

[ ( ) ( )

PT (1) √ ( ) = 0 = k x = - , với k

PT (2) x = , với k

Đối chiếu điều kiện a được nghiệm: x = - , hoặc x = , với k

√ = 2cosx – 1 ( Đề ĐH Khối A 2012 ) Giải: PT đã cho tương đương với: 2√

2√ cosx(√ ) = 0

[√ ( )

( )

PT (1) ( ) [ , (k )

PT (2) x = , (k )

Vậy nghiệm của PT đã cho là: x = và , với k

– sinx = 0 ( Đề ĐH Khối D 2013 ) Giải: PT đã cho tương đương với: – sinx = 0 2cos2x.sinx + cos2x = 0 cos2x.(2sinx + 1) = 0 [ ( ) ( )

PT (1) x = , (k )

PT (2) [

, (k )

+ sinx + cosx ( Đề ĐH Khối B 2011 )

Giải: PT đã cho tương đương với:

2 + sinx + cosx

(2 ) + sinx + cosx

sinx(2 ) + sinx + cosx

sinx(cos2x ) + sinx + cosx

sinxcos2x + sinx + sinx + cosx

Do đó PT đã cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x ) = 2√

1 sin2x + cos2x = 2√ cosx ( do sinx ) 2sinx.cosx + 2 = 2√ cosx

2cosx( sinx + cosx - √ ) = 0

Vậy nghiệm của PT đã cho là: + ( )

s in2x 2 cos x sin x 1 0

tan x 3



 ( Đề ĐH Khối D 2011 )

Giải: Điều kiện: , √ (*)

Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với: sin2x + 2cosx – sinx -1 = 0

2sinx.cosx +2cosx – sinx -1 = 0 2cosx(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0

(sinx + 1)( 2cosx – 1) = 0

[ ( ) ( )

PT (1) + ( )

PT (2) + ( )

Đối chiếu điều kiện (*), vậy nghiệm của PT đã cho là: + ( )

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 (ĐS: x = x = )

2) ( )

(ĐS: x = x = )

3) 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 (ĐS: + )

4) 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (ĐS: + + )

5) ( ) (ĐS: + + )

III DẠNG 2: ƯA VỀ PT BẬC 2, 3 HOẶC RÙNG PHƯƠNG P ương p áp: Dùng các phép biến đổi để đưa về PT bậc 2, 3 hoặc trùng phương theo ẩn là 1 PTLG Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: 2 + = 2

Giải: Điều kiện cos x

Cách 1: PT đã cho tương đương với: 2 + = 2 2 +

2(1 - ) + 1 - = + 1 -

+ – 1 = 0 [ ( ạ ) – 1 = 0 cos2x = 0 2x = x = ( )

Chú ý : Đối với PT ta không nên giải trực tiếp theo PT bậc hai vì khi giải có tới 4 nghiệm khi so sánh với điều kiện sẽ phức tạp, ( dĩ nhiên cũng có thể giải như vậy sau đó so sánhvới điều kiện )

Cách 1: PT đã cho tương đương với:

+ = 2 + + = 2 +

+ – 2 = 0 [ ( )

tanx = ( ) , ( )

5sinx – 2 = 3 (1- sinx) ( Đề ĐH Khối B 2004 ) Giải: Điều kiện cos x x , ( ) (*)

Với điều kiện trên PT tương đương với: 5sinx – 2 = ( ) 2 + 3sinx – 2 = 0 [

( )

Với [

, ( ) ( thỏa mãn (*) )

( )

√ ( Đề ĐH Khối A 2006 ) Giải: Điều kiện sinx √ (*)

Với điều kiện trên PT tương đương với: ( ) 2( )

3 + = 0 [ ( )

, ( )

Đối chiếu điều kiện (*), PT đã cho có nghiệm là:

, ( )

( Đề ĐH Khối A 2005 ) Giải: PT đã cho tương đương với: ( ) ( ) (them bớt 1 lượng) ( ) ( )= 0

cos8x + cos4x – 2 = 0 + cos4x – 3 = 0 ( hạ bậc cos8x ) [ (loại) Vậy cos4x = 1 x = k , ( )

( Đề ĐH Khối B 2003 ) Giải: Điều kiện , (*)

Với điều kiện trên PT tương đương với:

2cos2x + = 2 2cos2x + 4( ) = 2

( ) - cos2x – 1 = 0 [ [ , ( )

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của PT là: , ( )

(

) ( Trích Đề ĐH Khối A 2002 ) Giải: Điều kiện (*)

Ta có: ( ) ( ( ) )

(

) (

)

(

) = (

)

= ( ( )

) = 5.cosx Vậy PT đã cho tương đương với: 5.cosx = – 5cosx + 2 = 0 [ ( ) x = , ( )

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của PT là: , ( )

( ) ( ) ( Đề ĐH Khối D 2005 ) Giải: Ta có: = ( ) + ( )

= ( ) + 2 ( ) 2 = ( ) 2

= 2

( ) ( ) = * ( ) += * ( ) +

= [ ]

Vậy PT đã cho tương đương với: 2 + [ ] – cos4x + sin2x

( )

* ( ) 2x = , ( )

Vậy nghiệm của PT là : x = , ( )

+ 3 = 0

Giải: PT đã cho tương đương với: 3 = 0 2 – cos2x ( ) = 0

2 + 3

[

√ [

, ( )

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) + cos2x – cosx – 1 = 0 (ĐH D- 2006) (ĐS: x = ; x = +k2 ) 2) – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x [ ] (ĐH D- 2002) (ĐS: x = ; x = ; x = ; x = )

3) 4cos ( ) (ĐS: x = ; x =

+ k ) 4) 2cos2x

(ĐS: x = ; x = + k2 ) 5) 48 ( )

( ĐS: x = ; x = )

6)

(ĐS: x = + k ) 7) (sinx+3) ( ) (ĐS: x = + k ) 8) cos2x + cosx(2 ) = 2 (ĐS: x = ; x = + k2 ) 9) 3cos4x 8 + 2 + 3 = 0 (ĐS: x = ; x = + k2 ) 10) (ĐS: x = ; x = + k ) Chú ý : Trong những năm gần đây đề thi phần lượng giác chủ yếu rơ vào d ng biến đổ để đưa về PT tích, d ng toán này đò ỏ người giải phải nắm vững những kiến thức và biến đổi linh ho t thì m i giả được, nộ dung trên đây là n ững d ng toán có xác suất ra cao trong những năm gần đây Mong rằng tài liệu này sẽ giúp ích các b n trong những kỳ thi sắp t i M i ý kiến đóng góp x n gửi về địa chỉ Facebook “ K ác P ong rần’’ V đường link: www.facebook.com/khachphongtran1993 ………HẾ ………