lượng giác trong đề thi đại học

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Trong đề thi đại học, chúng ta thường gặp câu giải phương trình lượng giác.. Câu này chiếm 1 điểm trong đề và cũng không phải là câu khó.. Tu

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Trong đề thi đại học, chúng ta thường gặp câu giải phương trình lượng giác Câu này chiếm 1 điểm trong đề và cũng không phải là câu khó Tuy nhiên do phần kiến thức lượng giác nằm ở chương trình lớp 11 nên các em học sinh cũng gặp không ít khó khăn

Ở phần này, chúng ta sẽ xem xét một số bài lượng giác trong các đề thi đại học những năm gần đây Qua đó ta sẽ xem xét các phương pháp giải chủ yếu

1 Đề thi tuyển sinh đại học năm 2010 - 2011

(Khối A) Giải phương trình ( )

2

1 sin 2x cos 2x

2 sin x sin 2x

1 co t x

= +

Phân tích và giải:

Đối với phương trình lượng giác có chứa ẩn ở mẫu, việc đầu tiên là đặt điều kiện và qui đồng Điều kiện:

2

1 co t x 0, x

x k sin x 0

ì + ¹ " Î

Û ¹ p

î

¡

Phương trình đã cho tương đương:

1 sin 2x+ +cos 2x= 2 sin x sin 2x 1 co t x+

1 sin 2x cos 2x 2 2 cos x

Phương trình (1) có hai loại biến x và 2x nên ta biến đổi đưa về phương trình tích Vì vế phải chứa

số hạng cos x nên ta cần làm xuất hiện số hạng cos x ở vế trái

Do đó:

1 Û2 sin x cos x+2 cos x =2 2 cos xÛ cos x sin x+cos x- 2 = 0

2

, k

4

4

p é

=

ê

¢

So sánh điều kiện, ta được nghiệm: S k , k2 , k

(Khối B) Giải phương trình sin 2x cos x+sin x cos x=cos 2x+sin x+cos x (1)

Phân tích và giải:

Phương trình đã cho có hai loại biến x và 2x nên ta biến đổi đưa về phương trình tích

Cách 1:

Vì vế trái có nhân tử chung là sin 2x nên ta biến đổi như sau:

( )1 Ûsin 2x 2 cos x 1( + =) 2 cos x 2 cos x 1( + +) (2 sin x 1- )

Û(2 cos x 1 sin 2x+ )( -2 cos x) (=2 sin x 1- )

2 cos x 1 cos x sin x 1 sin x 1 sin x 1 cos x 2 cos x 1 1 0

( )

2

sin x 1

2

ê

p

ê

ë

Cách 2:

1 sin x 1 cos 2x sin x cos x cos 2x sin x cos x

cos 2x sin x 1 cos x sin x 1 0 sin x 1 cos 2x cos x 0

Tiếp tục giải như trên

Cách 3:

2

1 sin x 2 cos x 1 sin x 1 cos x cos 2x

cos 2x sin x 1 sin x 1 cos x 0 sin x 1 cos 2x cos x 0

(Khối D) Giải phương trình sin 2x 2 cos x - sin x -1 0

tan x 3

+

=

Phân tích và giải:

Trước hết, ta đặt điều kiện:

, k cos x 0

2

p

ì ¹ - + p ï

¹

ïî

¢

Với điều kiện trên thì (1) tương đương: sin 2x + 2 cos x - sin x -1= (2) 0

Phương trình này có hai loại biến x và 2x nên ta biến đổi đưa về phương trình tích

2 cos x sin x 1+ - sin x 1+ = Û0 sin x 1 2 cos x 1+ - = 0

2

, k 1

cos x

2

3

p é

ê

p

¢

So sánh với điều kiện, ta được nghiệm là: x k2

3

p

= + p

2 Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009 - 2010

(Khối A) Giải phương trình

(1 sin x cos 2x sin x)

1 4

cos x

p

+ Nhận xét: có 3 loại biến tham gia x, 2x, x

4

p + nên định hướng là biến đổi lượng giác để rút gọn bài toán

Ta có thể dùng công thức cộng để biến đổi 1 ( )

p

Giải

Điều kiện:

, k cos x 0

2

p

ì ¹ - + p ï

ïî

¢

1 sin x cos 2x sin x

1 4

cos x

1 sin x cos 2x sin x cos x cos x 1 tan x

1 sin x cos 2x sin x cos x cos x sin x

p

+

(sin x cos x)(sin x cos 2x) 0 sin x cos x 0

sin x cos 2x 0

é

* sin x cos x 0 x k

4

p + = Û = - + p không thỏa điều kiện

sin x 1 sin x cos 2x 0 2 sin x sin x 1 0 1

sin x

2

= é ê

-ë

So sánh điều kiện, ta được: sin x 1

2

(Khối B) Giải phương trình (sin 2x+cos 2x cos x) +2 cos 2x-sin x=0 (1)

Nhận xét: Có 2 loại biến là x và 2x mà không thể đưa được phương trình một hàm lượng giác theo một biến nên định hướng biến đổi để đặt thừa số chung

Giải ( )

1 s in2xcosx cos x cos 2x 2 cos 2x sin x 0

cos 2x cos x 2 s in2xcosx-sinx = 0

cos 2x cos x 2 sin x 2 cos x 1 = 0

cos2x sin + cosx + 2 0

(Khối D) Giải phương trình sin 2x-cos 2x+3sin x-cos x 1- =0 (1)

Nhận xét: Có 2 loại biến x và 2x nhưng không thể đưa được về loại phương trình một hàm lượng giác theo 1 biến nên ta biến đổi và rút thừa số chung

Ta có thể thử nhóm số hạng như sau:

sin 2x-cos x=cos x 2 sin x 1

-Như vậy các số hạng còn lại ta phải làm xuất hiện thừa số chung: cos x hoặc 2 sin x 1

-nhưng ta thấy không thể làm xuất hiện cosx được nên các số hạng còn lại phải thành tam thức bậc hai theo ẩn sin x và phải có nghiệm là 1

Thật vậy:

Giải

2

1 cos x 2 sin x 1 2 sin x 3sin x 2 0

cos x 2 sin x 1 2 sin x 1 sin x 2 0

2 sin x 1 sin x cos x 2 0

6

5

6

p

é = + p ê

p

ê = + p êë

¢

3 Đề thi tuyển sinh đại học năm 2008 - 2009

( Khối A) Giải phương trình (1 2 sin x) cos x 3

(1 2 sin x)(1 sin x)

-Giải

Khi đó:

( )1 Û -(1 2 sin x) cos x= 3(1 2sin x)(1 sin x)+

-Ta thấy hai vế không có nhân tử chung nên chỉ còn cách nhân phân phối và rút gọn:

2

cos x sin 2x 3 1 2 sin x sin x cos x sin 2x 3 sin x cos 2x 2

Nhận xét: có 2 loại biến là x và 2x nhưng ngay từ đầu hai vế đã không có nhân tử chung nên ta không biến đổi theo cách thông thường nhằm đưa về phương trình tích mà cần chú đây là dạng quen thuộc: a sin u+b cos u=c sin v d cos v+ với a2+b2 = c2+d2

Thậy vậy:

( )2 3 cos x sin x cos 2x 3 sin 2x sin x sin 2x

2

= - +

ë

So sánh với điều kiện bằng cách vẽ đường tròn lương giác, ta được tập nghiệm là:

2

(Khối B) Giải phương trình sin x+cos x sin 2x+ 3 cos 3x =2(cos 4x+sin x)3

Nhận xét: có quá nhiều loại biến tham gia x, 2x, 3x, 4x nên định hướng là hạ bậc và biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán

Vì cần hạ bậc số hạng sin x nên ta dùng công thức nhân ba: 3

sin 3x 3sin x - 4 sin x sin x 3sin x s in3x

4

-Giải

3 sin x+cos x sin 2x+ 3 cos 3x=2(cos 4x+sin x)

sin x sin 3x sin x 3 cos 3x 2(cos 4x sin x sin 3x)

sin 3x sin x 3 cos 3x 2 cos 4x sin x sin 3x

-sin 3x 3 cos 3x 2 cos 4x

6

p

2 7x

k

x

ê ê

(Khối D) Giải phương trình 3 cos 5x-2 sin 3x cos 2x-sin x= (1) 0

Nhận xét: có quá nhiều loại biến tham gia x, 2x, 3x, 5x nên định hướng là biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán

Muốn biến đổi số hạng sin 3x cos 2x ta cần dùng công thức 1 ( ) ( )

sin a cos b sin a b sin a b

2

= éë + + - ùû Giải

( )1 Û 3 cos 5x-(sin 5x+sin x)-sin x= Û0 3 cos 5x sin 5x- =2 sin x (2)

Đến đây, ta gặp một dạng phương trình quen thuộc: 2 2

a sin u+b cos u= a +b sin v Phương trình này giải như là phương trình bậc nhất theo sin, cos:

( )2 sin 5x sin x x 18 k3 , k .

é = + ê

p

ë

¢

4 Đề thi tuyển sinh đại học năm 2007 - 2008

(Khối A) Giải phương trình: 1 1 4 sin 7

3

sin

2

x x

x

p

Nhận xét: có 3 loại biến , 3 ,7

nên định hướng dùng cung liên kết và biến đổi lượng giác

Giải 3

1 1

2 2(sin cos ) 0 sinx+cosx+ x+ x =

x

x

p

¹ ì

1

sin cos

4 1 sin 2

2

x

x

p

é æ + ö=

ê Û

-ê ë

4

8 5 8

é = - + ê

ê -ê

ê

êë

Tất cả các họ nghiệm đều thỏa điều kiện

(Khối B) Giải phương trình:sin3x- 3 cos3x=sin cosx 2x- 3 sin2xcosx

Nhận xét: Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3

Giải Xét cosx = 0 không thỏa phương trình

Vậy với cosx ≠ 0: Chia 2 vế cho cos3x, đặt t = tanx

t + 3t - -t 3=0 2

(t 3)(t 1) 0

Û + - = Û = -t 3Ú = ±t 1

( Khối D) Giải phương trình: 2sinx 1 cos2x ( + ) +sin2x= + 1 2cosx

Nhận xét: Tương tự đề khối B 2009-2010

Giải

2sinx 1 cos2x + +sin2x= + 1 2cosx 2

4 sin cos 2sin cos 1 2 cos

2 sin cos (1 2 cos ) 1 2 cos

Û x x + x = + xÛ +(1 2 cos )(sin 2x x- =1) 0

1

cos

2

sin 2 1

-ê

Ûê

=

ë

x

x

2 2 3 4

é = ± + ê

Û ê

ê = + êë

Qua một số đề thi đại học những năm gần đây, ta thấy câu giải phương trình lượng giác chủ yếu kiểm tra hai kĩ năng giải toán của học sinh là biến đổi lượng giác để đặt nhân tử chung đưa về

phương trình tích và so sánh nghiệm tìm được với điều kiện ban đầu

Như vậy, để làm tốt câu lượng giác, học sinh cần nhớ các công thức lượng giác, biết giải các phương trình lượng giác cơ bản, biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác đồng thời phải rèn luyện kĩ năng biến đổi đại số