Phân tích các đề về phương trình lượng giác của đề thi đại học từ năm 2003 đến 2010 các ban A.B.D ppsx

Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghĩa PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ Phương trình lượng giác trong đề thi ĐH 2003-2010 các ban A-B-D www.saosangsong.com.vn... LTĐH : Chuyên đề PT LƯỢNG

Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghĩa

PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ

Phương trình lượng giác

trong đề thi ĐH 2003-2010

các ban A-B-D

www.saosangsong.com.vn

LTĐH : Chuyên đề PT LƯỢNG GIÁC

.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Công thức cộng 2 Công thức nhân đôi

2

sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin

2 tan tan 2

1 tan

a a

a

2a

=

=

−

cos( ) cos sin sin

sin( ) sin cos sin cos

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

± =

±

± =

∓

∓

Công thức nhân ba Công thứ hạ bậc

3

3

sin 3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

a

Áp dụng:

sin x cos x+ = 2.sin(x+ π/ 4) ; sin x cos x− = 2.sin(x− π/ 4)

sin x± 3 cos x 2.sin(x= ± π/ 3) ; 3 sin x cos x 2.sin(x± = ± π/ 6)

sin 4 x + cos 4 x = 1 – 2sin2 xcos 2 x = 1 - 1 2

sin 2x

6 x + cos 6 x = 1 – 3sin2 xcos 2 x = 1 - 1 2

sin 2x

3

ính sinx ; cosx ; tanx theo t = tan(x/2) 4 Công thức biến đổi tích thành tổng

3 Công thức t

1 sin cos sin( ) sin( )

2 1 cos cos cos( ) cos( )

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2

2 2 2

2

2

1 cos

1 2 tan

1

t t x

t t x

t

+

−

= +

=

−

5 Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

− = −

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

Phương pháp:

Sử dụng cơng thức lượng giác để thực hiện các phép biến đổ nhằm đưa phương trình về một trong các dạng sau:

Dạng 1 Phương trình lượng giác cơ bản :

2 sin sin

2 2 cos cos

2

2

π

π π π

= +

⎡

⎣

= +

⎡

= ⇔ ⎢⎣ = − +

X A k

X A

X A k

X A k

X A

X A k

X A X A k A m

X A X A k A m

Đặc biệt:

π

π π

Dạng 2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

at2 + bt + c = 0 với t là một ẩn số phụ lượng giác như t = sinx , t = cosx (|t| ≤ 1), t = tanx

• Giải để tìm t

• Suy ra x

Trong dạng 2 này, ta cĩ các tiểu dạng chuẩn sau:

2.1 acosx + bsinx = c

Cách giải 1:Chia hai vế cho a 2 + b 2 và tìm góc α thỏa

+ + , phương trình thành :

c cos(x )

a b α

+ =

+

• Nếu a2+b2 ≥c2 (điều kiện cĩ nghiệm ):

Gọi β là góc thỏa:

c cos

a b

= +

β , ta được : cos(x + α ) cos = β

Cách giải 2 :

• x = π + k.2 π là nghiệm nếu - a + c = 0

• x ≠ π + k.2 π : Đặt t = tan(x/2), thế sinx = 2t2 , cos x 1 t2

−

= + + , ta được phương trình bậc 2 theo t

Tìm t, suy ra nghiệm x

2.2 asin 2 x + bsinx cosx + ccos 2 x + d = 0

Cách giải :

• x = π / 2 k.π + là nghiệm nếu a + d = 0

• x ≠ π / 2 k + π : Chia hai vế cho cos 2 x 0, ta được một phương trình bậc hai theo t = tan x Giải để tìm t , suy ra x

≠

2.3 asinxcosx + b(sinx cosx) + c = 0 ±

• Đặt t = sinx cosx = ± 2 sin(x ± π / 4) => |t| ≤ 2

Và thế sinxcosx = t2 1

2

−

± , ta được PT bậc 2 theo t Giải để tìm t thỏa |t| ≤ 2 Suy ra nghiệm x

Dạng 3 PT lượng giác dạng tích số

• Biến đổi PT về dạng f(x) g(x) = 0

• PT Ù f(x) = 0 hay g(x) = 0

Các ví dụ về dạng 1:

D2009 GPT : 3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 (1)

Giải

(1) Ù 3 cos5x – (sin5x + sinx) – sinx = 0 (cơng thức biến tích thành tổng)

Ù 3 cos5x – sin5x = 2sinx Ù 3cos 5 1sin 5 sin

Ù sin cos 5 cos sin 5 sin

π

⎛ − ⎞=

Ghi chú: Biểu thức 3cos5x – sin5x thuộc dạng tổng quát 3 cosa – sina rất thơng dụng, cần nhớ (xem cơng thức ở trang đầu)

B2009 GPT : sinx + cosxsin2x + 3 cos3x = 2(cos4x + sin3x) (1)

Giải

(1) Ù (sinx – 2sin3x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x

Ù sinx(1 – 2sin 2 x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x

cos3x = 2cos4x (Thay 1 – 2sin 2 x = cos2x)

Ù (sinxcos2x + cosxsin2x) + 3

Ù (sin3x) + 3 cos3x = 2cos4x (cơng thức cộng)

Lại gặp biểu thức quen thuộc: sina + 3 cosa Giải tiếp

Các ví dụ về dạng 2

A2006 GPT:

2(cos sin ) sin cos

0

2 2sin

x

=

k = 1, 3, 5 2n+1

Giải

2

ĐK: sinx ≠ / 2 (2)

Thay sinx cosx = ½ sin2x và cos6x + sin6x= 1 – 3sin2xcos2x

= 1 – (¾) sin22x

(1) Ù 2 – 3/2 sin22x - ½ sin2x = 0 Ù 3sin22x + sin2x – 4

= 0 (Dạng bậc 2 theo t = sin2x với |t| ≤ 1)

Ù sin2x = 1 Ù x = π/4 + kπ

Xét (2) : sin(π/4 + kπ) ≠ 2 / 2

Nhận xét : sin(π/4 + kπ) = sin / 4 2 / 2 2

π π

⎪

⎨

5π/4 + 2nπ (n ∈Z)

Ghi chú: Ta có thể giải điều kiện theo cách sau:

sinx ≠ 2/2 Ù x ≠ π/4 + n.2π hay x ≠ 3π/4 + n.2π

Do đó (2) Ù π/4 + kπ ≠ π/4 + n.2π và π/4 + k.π ≠ 3π/4 + n.2π

Ù k ≠ 2n và k ≠ ½ + 2n

Ù k ≠ 2n vì điều kiện k ≠ ½ + 2n thỏa với mọi n, mọi k vì chúng nguyên,

Ù k = 2n + 1

Cách giải nào tốt hơn còn tùy điều kiện và nghiệm

B2003 GPT: cotx – tanx + 4sin2x = 2

sin 2x

Giải

Chú ý cách biến đổi biểu thức cotx – tanx :

cotx – tanx =

( 2cot 2 )

−

Phương trình thành: 2 cos 2 4sin 2 2

x

x

x

x

Đk: sin2x ≠ 0

Phương trình thành: cos2x + 2sin22x = 1 Ù cos2x + 2(1 - cos22x) = 1

Ù 2cos22x – cos2x – 1 = 0 (PT bậc 2 theo t = cos2x)

Ù cos2x = 1 hay cos2x = - ½

Nhận xét rằng cos2x = 1 => sin2x = 0 do đó giá trị này bị loại Còn cos2x = – ½ => sin2x ≠ 0 nên nhận

Cuối cùng ta được : 2x = 2 2

± + <=> = ± +

Nhận xét : Thêm một cách giải điều kiện bằng giá trị của hàm số liên quan

Đôi khi phương trình có thể đưa về dạng bậc 3 theo một ẩn số phụ, như bài sau:

GPT: cos2x + 2sin(4x/3 + π/2) = 3

Giải:

Phương trình tương đương với : 1 cos 2 2 cos(4 / 3) 3

2

x

x

Ù cos2x + 4cos(4x/3) – 5 = 0

Nhận xér rằng 4x/3 = 2 (2x/3) còn 2x = 3.(2x/3), do đó thay:

• cos(4x/3) = 2cos2(2x/3) – 1 (CT nhân 2) và

• cos2x = 4cos3(2x/3) – 3cos(2x/3) (CT nhân 3)

ta được phương trình bậc 3 theo cos(2x/3):

[4cos3(2x/3) – 3cos(2x/3)] + 4[2cos2(2x/3) – 1] – 5 = 0

Ù 4cos3(2x/3) + 8cos2(2x/3) – 3cos(2x/3) – 9 = 0

Đặt t = cos(2x/3); |t| ≤ 1: 4t3 + 8t2 – 3t – 9 = 0

Ù t = 1, t = - 3/2 (loại)

Ù cos2x = 1

Ù x = kπ

Các ví dụ về dạng 3 (dạng tích số)

Sử dụng các kỹ thuật đại số phân tích ra nhân tử một biểu thức, trong đó phép đặt nhân tử chung, nhóm các số hạng, dùng các hằng đẳng thức Các công thức sau thường được sử dụng:

• cos2x = cos 2 x – sin 2 x = (cosx + sinx)(cosx –sinx)

• 1 + sin2x = (sinx + cosx) 2

• sin 2 x = (1 + cosx)( - cosx)

B2007 GPT: 2sin22x + sin7x – 1 = sinx

Giải

Phương trình tương đương với – cos4x) + (sin7x – sinx) = 0

Ù - cos4x + 2cos4xsin3x = 0

Ù cos4x(2sin3x – 1) = 0 Ù cos 4 0

sin 3 1/ 2

x x

=

⎡

⎣

D2003 GPT: sin2(x/2 - π/4).tan2x – cos2(x/2) = 0

Giải

Thay : sin2(x/2 - π/4) =

π

2 2

1 sin 1 cos 1 cos

x

−

1

±

Đk: sinx ≠

Đơn giản, khử mẫu, ta được : (1 – cos2x) – (1 + cosx)(1 + sinx) = 0

Ù (1 + cosx)(1 – cosx – 1 – sinx) = 0

Ù (1 + cosx)(cosx + sinx) = 0 Ù cos 1

2 sin( / 4) 0

x

x π

= −

⎡

⎢

(2 1) / 4

π

⎡

⎣

Cả hai giá trị này đều thoả điều kiện nên là nghiệm của phương trình

D10 GPT: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0

Giải

Thay sin2x = 2sinxcosx; cos2x = 1 – 2sin2x, ta được :

2sinxcosx – (1 – 2sin 2 x) + 3sinx – cosx – 1 = 0

Ù cosx(2sinx – 1) + (2sin 2 x + 3sinx – 2) = 0

Chú ý biểu thức (2sin 2 x + 3sinx – 2) là tam thức bậc 2 theo sinx, tương tự như 2x 2 + 3x – 2 , ta có thể phân tích chúng dễ dàng bằng bấm nghiệm của phương trình 2x 2 + 3x – 2 = 0 bằng máy tính, được x1

= - 2 và x2 = ½ , như vậy (2sin 2 x + 3sinx – 2) = (2sinx – 1)(sinx + 2), và phương trình thành:

cosx(2sinx – 1) + (2sinx – 1)(sinx + 2) = 0

Ù (2sinx – 1)(cosx + sinx + 2) = 0 Ù sin 1/ 2

x

=

⎡

⎢

THỰC TẬP

Giải các phương trình sau:

1 D2008 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

2 D2007 (sinx/2 + cosx/2)2 + 3 cosx = 2

3.D2006 cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0

4.D2005 cos4x + sin4x + cos(x - π/4)sin(3x - π/4) – 3/2 = 0

5.D2004 (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx

6 B2010 (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0

7 B2008 sin3x – 3 cos3x = sinxcos2x – 3 sin2xcosx

8 B2006 cotx + sinx(1 + tanxtan(x/2)) = 4

9 B2005 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

10 B2004 5sinx – 2 = 3(1 – sinx).tan2x

11 A2010 (1 sin cos 2 )sin( / 4) 1 cos

x x

+

(1 2sin )(1 sin )

π

14 A2007 (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x

15 A2005 cos23xcos2x – cos2x = 0

16 A2003 cotx – 1 = cos 2 2 1

x

+

17 CĐ sin 4x− 3 cos 4x= 3 cos 2x+sin 2 (4 cosx x−1)

18 cosx + 2sin2xcosx + 2 = 3 sin3x + 2(2cos22x + cos3x)

GIẢI VẮN TẮT

1 2sinx(2cos2x) + 2sinxcosx = 1 + 2cosx

Ù 2sinxcosx(2cosx + 1) = 1 + 2cosx Ù (2cosx + 1)(2sinxcosx – 1) = 0

Thay 1 + cos2x = 2cos2x: 2sinxcosx(2cosx + 1) – (2cosx + 1) = 0

2 (1 + sinx) + 3 cosx = 2 Ù sinx + 3 cosx = 1

Ù sin(x + π/3) = ½

3 Thay cos3x = 4cos3x – 3cosx, cos2x = 2cos2x – 1, ta được phương trình bậc 3 theo cosx

4 Thay cos4x + sin4x = 1 – 2sin2xcos2x = 1 – ½ sin22x , và

cos(x - π/4)sin(3x - π/4) = ½ [sin(4x - π/2) + sin(2x)] (CT sinacosb = ½ [sin(a+b) + sin(a – b)])

= ½ [- cos4x + sin2x]

Ta được : 1 – ½ sin22x + ½ [- cos4x + sin2x] = 0

Sau đó thay cos4x = 1 – 2sin22x, ta được phương trình bậc 2 theo sin2x

5 Biến đổi vế phải thành 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1)

Ta đưa phương trình về dạng tích : (2cosx – 1)(2sinx + cosx – sinx ) = 0

Ù sinx(2cos2 x – 1) + cos2xcosx + 2cos2x = 0

Ù sinxcos2x + cos2xcosx + 2cos2x = 0

Ù cos2x(sinx + cosx + 2) = 0

7 (sin3x – sinxcos2x) – ( 3 cos3x - 3 sin2xcosx) = 0

Ù sinx(sin2x – cos2x) – 3 cosx(cos2x – sin2x) = 0

Ù (cos2x – sin2x) ( 3 cosx – sinx ) = 0

Ù cos2x ( 3 cosx – sinx ) = 0

8 Biến đổi: 1 + tanxtan(x/2) = 1 =

sin sin( / 2) cos cos( / 2) sin sin( / 2) cos

1

cos cos( / 2) cos cos( / 2) cos cos( / 2)

+

Phương trình tương đương với cos sin cos( / 2)

sin cos cos( / 2)

x

x = 2

Đk: sinx.cosx ≠ 0

cos sin

4 sin cos

x + x= Ù cos2x + sin2x = 4sinxcosx

Ù sin2x = ½ Ù x = π/12 + kπ hay x = 5π/12 + kπ (thỏa điều kiện )

9 (1 + cos2x) + (sinx + cosx) + sin2x = 0

Ù 2cos2x + (sinx + cosx) + (2sinxcosx) = 0

Ù (2cos2x + cosx) + (sinx + 2sinxcosx) = 0

Ù cosx(2cosx + 1) + sinx(1 + 2cosx) = 0

Ù (2cos + 1)(cosx + sinx) = 0

10 5sin 2 3(1 sin ) sin2 2

1 sin

x

x

−

Ù 5sin 2 3 sin2

1 sin

x x

x

− =

+ : phương trình bậc 2 theo sinx với sinx ≠ ±1

11 (1 sin cos 2 )( 2 / 2)(sin cos ) 1 cos

cos

x

Đk : cosx ≠ 0 và sinx + cosx ≠ 0

Đơn giản, qui đồng: 1 + sinx + cos2x = 1 Ù 2sin2x – sinx – 1 = 0

= => =

⎡

Ù

12 Đk: sinx ≠ - ½; 1

(1 – 2sinx)cosx = 3 (1 + 2sinx)(1 – sinx)

Ù cosx−2sin cosx x= 3(1 sin+ x−2sin2 x)

Ù cosx – sin2x = 3 cos2x + 3 sinx

Ù cosx – 3 sinx = 3 cos2x + sin2x

Ù 2.cos(x + π/3) = 2 cos(2x - π/6) ) (dạng 1)

13 Thay sin(x - 3π/2) = sin(x + π/2) = cosx và sin(7π/4 – x) = sin(- x - π/4) = 2.(sin cos )

phương trình thành :

2 2.(sin cos ) sinx+cosx = x+ x

Ù (sinx + cosx)(1 – 2 2 sinxcosx) = 0 Đk : sinxcosx ≠ 0

Ù

sin( / 4) 0

2 sin 2

2

x

x

π

⎡

⎢

⎢⎣

(thỏa điều kiện)

14 Khai triển và nhóm : (cosx + sinx) + sinxcosx(sinx + cosx) = (sinx + cosx)2

Ù (sinx + cosx)( 1 + sinxcosx – sinx – cosx) = 0

Ù (sinx + cosx)(1 – sinx)(1 – cosx) = 0 (dạng 3)

15 (1 + cos6x)cos2x – (1 + cos2x) = 0 (CT hạ bậc)

Ù cos6xcos2x – 1 = 0 Ù cos8x + cos4x – 2 = 0 (CT biến tích thành tổng)

Ù 2cos24x + cos4x – 3 = 0 (PT bậc 2 theo cos4x)

sin

cos

x x

x

−

+

Ù cos sin cos2 sin2 cos sin (sin cos )

+

2

cos sin 0 (1)

1 cos sin sin 0 (2)

⎡

⎣

Đk: sinx ≠ 0 và cosx + sinx ≠ 0

PT thành cosx – sinx = (cosx – sinx) cosxsinx + sin2x(sinx – cosx)

Ù (cosx – sinx)(1 – cosxsinx + sin2x) = 0

Ù

(1) Ù x = π/4 + kπ (thỏa điều kiện)

(2) Ù 1 – ½ sin2x + sin2x = 0 Vì vế trái luôn dương do (sin2x ≤ 1 )nên (2) VN

17 Khai triển và nhóm lại:

(sin4x + sin2x) – 3 (cos4x + cos2x) = 4sin2xcosx

Ù 2sin3xcosx – 2 3 cos3x.cosx = 4sin2xcosx (CT biến tổng thành tích)

Ù 2cosx(sin3x – 3 cos3x – 2sin2x) = 0

cos 0 (1)

sin 3 3 cos 3 2sin 2 (2)

x

=

⎡

⎢

⎣

Ù

(1) Ù x = π/2 + kπ

(2) Ù Sin(3x - π/3) = sin2x

18 Khai triển và nhóm lại :

2

cosx + 2sin xcosx + 2 = 3 sin3x + 2(2cos 2 2x + cos 3 x)

Ù 2 - 4cos22x = 3sin3x + cosx(2cos 2 x - 1) – (2sinxcosx)sinx

Ù 2(- cos4x) = 3 sin3x + cosx(cos2x) – (sin2x)sinx

sin 3 cos 3

Ù cos(4x + π) =

Ù cos(4x + π) = cos(3x - π/3)