Phương trinh vô tỷ

Cách Giải Các Phương Trình Cơ bản Danh Cho Học Sinh Lớp 8 - 12Để đáp ứng nhu cầu tự học tập và rèn luyện của các em học sinh, giúp các em tiếp cận gần hơn với các kì thi lớn Thầy đã biên

Cách Giải Các Phương Trình Cơ bản Danh Cho Học Sinh Lớp 8 - 12

Để đáp ứng nhu cầu tự học tập và rèn luyện của các em học sinh, giúp các em tiếp cận gần hơn với các kì thi lớn Thầy đã biên tập một cách hệ thống về chuyên đề “Giải Phương Trình” – một trong những chuyên đề quan trọng có mặt khắp các chuyên đề khác của toán học Các em hoàn toàn có thể tự học một cách dễ dàng, kể cả học sinh THCS muốn nâng cao trình độ tư duy toán học Kiến thức được hệ thống từ dễ đến khó Hãy chuẩn bị Nghị Lực - Sức Lực và một chút Trí lực cho hành trình khám phá tri thức trong tài liệu này nhé ! Good luck !

P/s Kiến tha lâu đầy tổ, người khắc khổ ắt thành công!

Thầy Minh Phúc

I Phương trình bậc 1.

Phương trình bậc nhất là phương trình có dạng ax b+ = 0 trong đó a≠ 0

Phương trình này luôn có một nghiệm là x b

a

= −

Ví dụ1: Giải phương trình

a) 3x+ =1 0 b)3x− =4 0 c) 3 2− x=0

Các em cần xác định các hằng số a và b một cách chính xác trước khi giải

 Ở câu a) ta có a=3;b=1 vậy ta sẽ có lời giải như sau

II Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax2+ + =bx c 0 ; a( ≠0)

Để giải phương trình này các em xác định rõ các hệ số a;b;c sau đó xem rơi vào trường hợp nào dưới đây và ta sẽ giải theo đúng trường hợp đó

• TH1: Nếu ta có a b c+ + = 0 thì 2

0

ax + + =bx c có hai nghiệm là 1 và c

a

• TH2: Nếu ta có a b c− + =0 thì ax2+ + =bx c 0 có hai nghiệm là −1 và c

a

−

• TH3: Nếu không rơi vào hai trường hợp trên thì ta sẽ tính biệt thức Delta ∆ = −b2 4ac

Khi đó có thể có 3 trường hợp có thể xảy ra

 Nếu ∆ <0 thì pt ax2+ + =bx c 0 vô nghiệm

 Nếu ∆= 0 thì pt ax2+ + =bx c 0 có một nghiệm là

2

b x a

Trước tiên các em cần xác định các hệ số a;b;c trong phương trình

 Trong bài a) ta có a=2;b=3;c= −5, ta dễ thấy rằng a b c+ + = 0 nên pt có hai nghiệm là 1 và

= − Ta có lời giải sau

 Trong bài e) ta có a=1;b=1;c= −1, ta tính biệt thức ∆ = −b2 4ac= −12 4 1 .( )− = ⇒ ∆ >1 5 0 Do đó

Đến đây ta hoàn toàn có thể giải tiếp bằng cách giải phương trình bậc hai đã được học ở trên !

Ví dụ 3: Giải phương trình sau x3−2x2+5x− =4 0

Ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là x= 1 Ta viết sơ đồ Hoocne như sau với

Để giải phương trình này ta đặt t=x2 với điều kiện t>0 khi đó pt trở thành phương trình sau2

0

at + + =bt c , ta giải pt bậc hai này theo t sau đó giải x

Ví dụ 6: Giải phương trình sau x4−3x2+ =2 0

Đặt t=x ;2 t>0 ta được phương trình sau

2 2

Ví dụ 7: Giải phương trình sau x4+2x3−6x2+2x+ =1 0

Giải: Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho 2

= + ta luôn có điều kiện | t |≥2

Ví dụ 8: Giải các phương trình sau

= − , ta được một phương trình bậc hai

theo t Ta giải phương trình theo t sau đó giải x

Ví dụ 9: Giải phương trình sau x4+2x3−6x2−2x+ =1 0

Giải: Ta thấy x= 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x2 ta được

2

2 2

2 2

Ví dụ 10: Giải các phương trình sau

sau đó khai triển và rút gọn được pt trùng phương

Ví dụ 13: Giải phương trình sau ( ) (4 )4

24 17 22

24 17 22

24 17 22

24 17 2

12

t t t t x

Chú ý: Để giải triệt để tất cả các phương trình bậc 4 các em phải tham khảo cách giải của

Ferrari – một học trò của Cardano !

Cách giải các phương trình vô tỉ và hệ phương trình sẽ được biên soạn trong thời gian gần nhất, mời các em đón đọc !

Trước khi đi vào giải một số dạng phương trình khác các em hãy xem lại các hằng đẳng thức sau để tiện lợi hơn trong quá trình giải toán !

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Ví dụ 13: Giải phương trình sau x+ =2 2

Các em để ý ta đã thấy B= > 4 0do đó ta không cần đặt điều kiện cho Bnữa

Ta có lời giải như sau

Ví dụ 14: Giải phương trình sau x2+3x− =1 2x+1

Lần này ta cần phải có điều kiện cho B, do đó khi giải được nghiệm các em phải thay vào điềukiện B≥ 0 nếu thỏa mãn thì nhận, nếu không thỏa mãn thì loại ! Ta có lời giải như sau

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ktm

tm x

ktm x

Ví dụ 16: Giải phương trình sau x2+3x− =1 2x+1

Ta có lời giải như sau

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

Vậy phương trình có 4 nghiệm là 0 1; ;− −2; 5.

Chú ý rằng ta không cần phải loại nghiệm như đã làm ở ví dụ 14

Ví dụ 17: Giải các phương trình sau

Ví dụ 18: Giải phương trình sau 2x+ = −1 x 1

Các em cần phải có điều kiện x− ≥ 1 0, ta có lời giải như sau

( )

( ) ( )

2 2 2

tm x

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=4

Ví dụ 19: Giải phương trình sau 2

Các em cần phải có điều kiện x− ≥ 1 0, ta có lời giải như sau

( ) ( )

2

2 2

Vậy phương trình có 1 nghiệm x=3

Ví dụ 20: Giải các phương trình sau

Ta thấy x+ 1 đơn giản hơn 3x2+ −x 1 nên ta sẽ đặt điều kiện x+ ≥ 1 0 Ta có lời giải sau

Vậy phương trình có hai

Ví dụ 23: Giải phương trình sau x2− + = −3x 1 2 2x

Ta có lời giải như sau

( ) ( )

2 2 2

x x

x

tm tm x

( )

2

2 2

x x

Vậy 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho !

Ví dụ 23: Giải các phương trình sau

4 Phương trình chứa nhiều căn thức

Ví dụ 24: Giải phương trình sau x+ +5 5− =x 4

Để giải các bài toán kiểu này các em cần phải nghĩ đến việc làm mất căn thức, do đó ta sẽ bình phương đến khi nào hết căn thì mọi thứ coi như tốt đẹp rồi !

Ta chú ý rằng lúc này hai vế luôn không âm, từ đó tạo điều kiện cho ta bình phương hai vế Nói là làm, chúng ta bắt đầu nhé !

( )

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

1644

x x

tm x

tm x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 4 & −4.

Ví dụ 25: Giải các phương trình sau

VII Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Các phương trình vô tỉ thường phức tạp, khác hoàn toàn với các dạng cơ bản đã giới thiệu

ở trên Do đó, một trong những công việc quan trọng nhất cần làm đầu tiên là tìm tập xác định, hoặc điều kiện của phương trình đó !

Ta phân tích bài toán

Để ý rằng khi khai triển tích (x+4) (x+1) ta được x2+5x+4, có cái gì đó giống như như biểu thức trong căn Ta sẽ biến đổi cho nó giống hoàn toàn như sau

t t

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 2& −7

Chú ý trong bài này Thầy không cần ghi điều kiện !

Ví dụ 27: Giải phương trình sau x+ 9− = − +x x2 9x+9

Ta sẽ làm cho mất bớt vài dấu căn bằng cách bình phương hai vế nhé !

( )

2

2 2

Đến đây ta cần ghi điều kiện cho x trong phương trình cuối cùng !

Điều kiện của pt (*) là 0 ≤ ≤x 9

Đặt t= x(9−x) , t≥0 Ta được phương trình sau

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 0 và 9.

Ví dụ 28: Giải các phương trình sau

Sau khi đăt ẩn phụ ta vẫn còn x, ta sẽ giải ẩn phụ đó theo x

Ví dụ 29: Giải phương trình sau (4x−1) x2+ =1 2x2+2x+1 ( )*

Vậy Phương trình đã cho có 1 nghiệm x=0

Ví dụ 30: Giải các phương trình sau

Ví dụ 31: Giải phương trình sau 23 x− +2 5 x+ − =1 12 0

Đối với dạng phương trình có nhiều loại căn thức như thế này các em cần nghĩ dến việc đặt mỗi một căn là một ẩn phụ mới và đưa về thành hệ phương trình đơn giản hơn !

Cụ thể trong bài này ta sẽ đặt a=3 x−2 & b= x+1, khi đó ta có hai ẩn a & b , ta cần có hai phương trình để giải hai ẩn này.

Từ phương trình bài toán ta có ngay một phương trình là 2a+ − =5b 12 0

Ngoài phương trình này ta sẽ có một phương trình khác khi tạo mối liên hệ giữa a và b Đó

là b2−a3=3

Vậy ta có hệ phương trình sau

( ) ( )

82

b b b

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x= 3

Trên đây ta đã giải hệ phương trình bằng phương pháp thế !

Ví dụ 32: Giải phương trình sau x+ 17−x2 +x 17−x2 =9

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=1 & x=4.

Ví dụ 33: Giải phương trình sau x3−3 2 33 + x =2

Ta đặt y= 3 2 3+ x khi đó ta sẽ có hệ phương trình đối xứng loại II sau

3 3

Thay x=2 & x= −1 lần lượt vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình đã

cho có hai nghiệm là x=2 & x= −1.

Để hiểu hơn về cách giải hệ phương trình đối xứng bậc I, bậc II mời các em đón đọc trong phần tiếp theo của tài liệu - các loại Hệ Phương Trình và cách giải !

Ví dụ 34: Giải các phương trình sau

4 Đặt ẩn phụ và sử dụng hằng đẳng thức

Phương trình có dạng 3 a+3 b+3c =3 a b c+ +

Ví dụ 35: Giải phương trình sau 3 x− +1 3 x− +2 3 x− =5 33x−8

Để giải phương trình này các em đặt

5 Sử dụng phương pháp liên hợp để phân tích thành nhân tử

Các em chú ý về lượng liên hợp như sau

a b+ Có lượng liên hợp bậc nhất là a b−

Có lượng liên hợp bậc hai là a2−ab b+ 2

a b− Có lượng liên hợp bậc nhất là a b+

Có lượng liên hợp bậc hai là a2+ab b+ 2

Mục đích của việc nhân liên hợp là biến nó thành hằng đằng thức và làm mất căn thức !

Ví dụ 36: Giải phương trình sau 4 1 3 2 3

Ta nhân hai vế của phương trình với lượng liên hợp 4x+ +1 3x−2 của 4x+ −1 3x−2 vì

dễ thấy rằng lượng liên hợp 4x+ +1 3x− >2 0