Phương phỏp sử dụng nghiệm duy nhất1.
Trang 1V Phương phỏp sử dụng nghiệm duy nhất
1 Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng (a; b)∈ D thì PT f(x)=0 hoặc f(x)=m =const nếu có nghiệm trên (a; b) thì nghiệm đó là duy nhất
2 Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến ) trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến (đồng biến) trên khoảng (a; b) thì PT f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
3 Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng (a; b)∈ D thì PT f(u) = f(v) ⇔ u = v
AD: Giải phương trỡnh: 3 x 2 − + x 1 3 + = (1)
ĐK : x ≥ - 1
Cách 1: Ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trỡnh
+Xột x > 3 ⇒ 3 x−2 >1; x+1>2 ⇒ VT > 3 ⇒ phương trỡnh khụng cú nghiệm x > 3
+Xột -1 ≤ x < 3 thỡ 3 x−2 <1; x+1<2 ⇒ VT < 3 ⇒ phương trỡnh khụng cú nghiệm -1 ≤ x < 3
Cách 2: đặt f x( ) = 3 x 2 − + x 1 + ( )
3
2 x 1
3 x 2
′
+
−
⇒ hàm số f(x) đồng biến trên [-1;+∞) ⇒ phương trỡnh (1): f(x) = 3 nếu có nghiệm trên [-1;+∞) thì nghiệm đó
là duy nhất
Mặt khác ta có: f(3) = 3 Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 3
Cách 3: Đa về hệ phơng trình
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a 8x3+ − =x 3 3 53 x+3 (1)
HD: (1) ⇔ 8x3+6x=5x+ +3 3 53 x+3
Xét hàm số f t( ) = +t3 3t f t'( ) =3t2+ > ∀ ⇒3 0 t f t( ) đồng biến trên R
(1)⇔ f( )2x = f(5x+ ⇔3) 2x=5x+ ⇔ = −3 x 1
T2: Giải bất PT, BPT:
1 8x3+ − ≥x 3 3 53 x+3
2 2x− +3 5 26 x− = − +3 x 1 53 x−1 HD: Đặt f t( ) = +t3 5t
Bài 2: Tìm m để BPT 3+ +x 6− −x (3+x) (6−x) ≤m2− +m 1 luôn đúng ∀ ∈ −x [ 3;6]
Bài 3:
1 Xác định m để x+ −1 4− ≥x m có nghiệm
đkx∈ −[ 1;4]
Đặt ( ) = + − − ⇒ ′( ) = + > ∀ ∈ −( )
⇒ f x( ) ≥m có nghiệm x∈ −[ 1;4] ⇔ Max f x[ 1;4] ( ) m
− ≥ ⇔ f( )4 ≥ ⇔ ≤m m 5
2 Tìm m để PT x− +2 4− =x m có nghiệm
HD: C1 đặt VT = f (x) lập bảng biến thiên – ⇒ KL
C2: tìm GTLN, GTNN của h/s trên đoạn [2;4]
C3: SD BĐT Bunhia- Copski ta có
[ ]
= − + − ≤ + − + − =
= − + − + + − ≥
2;4
2
2;4
⇒m∈[0; 2] thì PT có nghiệm
3 Xác định m để PT: x x+ x+ 12 =m( 5 − +x 4 −x) có nghiệm
HD: Nhân cả 2 vế với biểu thức liên hợp của ( 5− +x 4−x)
Bài 4:
1 Xác định m để BPT 4x− +2 16 4− x m≤ ∀ ∈x [ ]2;4
2 Xác định m để 2x2 + < −1 m x x∀
3 Xác định m để -4 2+x 4( ) ( −x) ≤x2−2x m+ −18 x∀ ∈[ ]-2;4
4 Xác định m để (4+x) (6−x) ≤x2−2x m+ x∀ ∈[ ]-4;6
Trang 25 Xác định m để (3+x) (7−x) ≤x2−4x m+ x∀ ∈[ ]-3;7
Các bài tập tự luyện
Giải cỏc phương trỡnh sau
1 3x2 −9x+1+x−2=0
2 x+1+ x−1=4
3 3x+4+ x−3 = 4x+9
4 x2 −6x+6 =2x−1
5 x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 +1
6 x+1+ x+10 = x+2+ x+5
7 x+3− 7−x = 2x−8
8 3+x+ 6−x− (3+x)(6−x) =3
9 x x( + +1) x x( +2) = x x( +3)
10 x−94+ 96− =x x2−190x+9027
x x
x
−
+ −
12 x+ 2x−1+ x− 2x−1 = 2
13 x+2−4 x−2 + x+7−6 x−2 =1
14 10−2x− 2x+3 =1
15 3 x−1+3=4 82−x
16 x+ 17−x2 +x 17−x2 = 9
17 x3 + 1 = 23 2x−1
18 x2 + x+7 =7
19 5 x3+ =1 2(x2+2)
20 x− +2 10− =x x2−12x+40
21 x2 – 1 = 2x x2−2x
22 x 1 x+ = 2+4x 5+
23 3x 1+ = −4x2+13x 5−
24 x3+ =2 3 3x 23 −
25 x = −2 2x 2x+ 2−x3
26 2x 1− + x2+ = −3 4 x
7x 7x
28+ = +
Trang 5