Nguyên hàm và các tính chất cơ bản a Định nghĩa và kí hiệu Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng.. Như vậy để tìm tất cả các nguyên hàm của f, ta chỉ cần tìm một nguyên hà
Trang 1Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§1 NGUYÊN HÀM
1 Nguyên hàm và các tính chất cơ bản
a) Định nghĩa và kí hiệu
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng.
Định nghĩa
Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K nếu F x'( )= f x( ) với mọi x thuộc K.
Chú ý:
Nếu K =[ ; )a b thì F a'( ) là đạo hàm bên phải của F tại điểm a
Nếu K =( ; ]a b thì F b'( ) là đạo hàm bên trái của F tại điểm b
Định lí 1.
1) Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì với mọi hằng số C, hàm G x( )=F x( )+C
cũng là một nguyên hàm của f trên K.
2) Đảo lại, Nếu F và G là hai nguyên hàm của f trên F thì tồn tại hằng số C sao cho
( ) ( )
Chứng minh
1) Nếu G x( )=F x( )+C thì G x'( )=F x'( )= f x( ) với mọi x thuộc K Vậy G cũng là một
nguyên hàm của f trên K.
2) Đặt H x( )=G x( )−F x( ). Ta phải chứng tỏ rằng H x( )là hàm số không đổi trên K, tức là với x x1, 2∈K thì H x( )1 =H x( )2 Thật vậy ta có: H x'( )=G x'( )−F x'( )= f x( )− f x( ) 0= với
mọi x thuộc K.
Thành thử theo định lí Lagrange ta có H x( )1 −H x( )2 =H c x'( )( 1−x2) 0= Vậy H x( )1 =H x( )2 .
Như vậy để tìm tất cả các nguyên hàm của f, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F Khi đó, mọi nguyên hàm G của f có dạng G x( )=F x( )+C với C là một hằng số nào đó Việc xác định
hằng số C thường được tìm từ việc cho gái trị của G tại một điểm
Họ tất cả các nguyên hàm của f được kí hiệu là ∫ f x dx( ) Như vậy
f x dx F x= +C C∈
Người ta cũng dùng kí hiệu ∫ f x dx( ) để chỉ một nguyên hàm bất kì của f.
Trang 2Do đó, ( )'
• Người ta chứng minh được rằng: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
• Từ đây, Trong các bài toán về nguyên hàm của một hàm số f, ta luôn giả thiết f là
hàm liên tục trên K
b) Tính chất
Định lí 2 sau đau cho ta một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lí 2
1) Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì
i)∫ [ f x( )+g x dx( )] =∫ f x dx( ) +∫g x dx( )
ii)∫af x dx a f x dx( ) = ∫ ( ) với mọi số thực a khác 0.
(Sự bằng nhau của hai vế được hiểu là sự sai kém nhau một hằng số) 2) d( ∫ f x dx( ) )= f x dx( ) .
Chứng minh
1) i) Ta cần chứng tỏ vế phải là một nguyên hàm của f + g Thật vậy
ii) Chứng minh tương tự
2) Thật vậy ta có ( ) ( )'
Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm Việc tìm nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản hơn Sau đây là nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
1) ∫dx x C= + 2)
1
1
x a
α
α
+
+
+
3) 1 dx ln |x a| C a ( )
+
4) sin xdx cos x C, cos xdx sin x C a, ( 0)
ln
a
a
α
∫
cos x dx= x C+ sin x dx= − x C+
Ví dụ 1 Tìm ∫cos 3x xdx
Giải Sử dụng công thức 2 1
cos (1 cos 6 )
2
x= + x , suy ra
Trang 3Ví dụ 2 Tìm hàm số f biết rằng f x''( ) (12= x2+6x−4), f(0) 4, (1) 1= f = .
Giải Ta có f’ là nguyên hàm của f’’ Vậy f x'( )=∫(12x2+6x−4)dx=4x3+3x2−4x C+
Vì f là nguyên hàm của f’ nên ta có f x( )=∫(4x3+3x2−4x C dx x+ ) = 4+ −x3 2x2+Cx D+
Để xác định hai hằng số C và D, ta dựa vào điều kiện f(0) 4, (1) 1= f = .
Ta có f(0)= ⇒ =D D 4.
Lại có f(1)= +C D, do đó C = f(1)− = − = −D 1 4 3.
Vậy hàm cần tìm là f x( )=x4+ −x3 2x2− +3x 4
Ví dụ 3 Cho ( ) 32 2
1
x
f x
x
+
=
− .
a) Viết f x( ) dưới dạng ( )
+ − Hãy xác định các hằng số a, b, c.
b) Tìm ∫ f x dx( )
Giải
Ta có
2
Vậy a=1 Khi đó 2
2
Từ đó 3
2
2
Theo câu a), ( ) 1 3
2( 1) 2( 1)
2
2( 1) 2( 1) 2
2 Hai phương pháp cơ bản đế tìm nguyên hàm.
a) Phương pháp đổi biến số
Định lí 3
Cho hàm số u u x= ( ) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y= f u( ) liên tục sao cho
hàm hợp f u x[ ( )] xác định trên K Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f
[ ( ) '( )] [ ( )]
∫
Chứng minh Ta cần chứng tỏ vế phải là một nguyên hàm của f u x u x[ ( ) '( )] Thật vậy, theo quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp, ta có ( [ ] )' [ ] [ ]
Chú ý
Trong thực hành, nếu ta viết gọn
[ ( )] ( ) ; [ ( )] ( ) ; [ ( )] '( )
(coi du như là vi phân của hàm số u u x= ( )thì công thức đổi biến số có dạng rất dễ nhớ như sau:
[ ( ) '( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) [ ( )]
Trang 4Như vậy, nếu hiểu du là vi phân của hàm số thì công thức ∫ f u du F u( ) = ( )+C luôn
đúng khi u là biến số cũng như u là một hàm số Nói riêng, bảng các nguyên hàm cơ bản vẫn đúng nếu thay biến số x bằng hàm số u.
b) Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Định lí 4
Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
Công thức trên gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần và viết gọn dưới dạng
Chứng minh Ta cần chứng tỏ vế phải là một nguyên hàm của uv’ Thật vậy:
( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( )
Tư tưởng của phương pháp lấy nguyên hàm từng phần là: Để tìm nguyên hàm của f x( ), ta biểu diễn f x( ) dưới dạng f x( )=u x v x( ) '( ) sao cho có thể tìm được dễ dàng hàm v Khi đó
bài toán tìm nguyên hàm của f được quy về bài toán tìm nguyên hàm của vu’ mà ta hy vọng
sẽ đơn giản hơn
Ví dụ 4 Tìm ∫x2(1−x dx)7
Giải Đổi biến u= −1 x, ta có
Ví dụ 5 Tìm
cos sin
)
cos sin
−
+
cos sin
− +
∫
Giải.
a) Đổi biến u= cosx+ sinx ta có du= − sinx+ cosx Từ đó
cos sin
du
+
b) Viết 7 cosx− 4sinx dưới dạng 7 cosx−4sinx a= (cosx+sin )x +b(cosx−sin )x , ở đó a, b là
hằng số cần xác định
Ta có 7 cosx−4sinx= +(a b) cosx+ −(a b)sinx.
Suy ra a b+ =7;a b− =4 Từ đó 3; 11
a= b= Vậy
7cos 4sin (cos sin ) (cos sin )
cos sin
ln | cos sin | cos sin
3 11.ln | cos sin |
C
−
+ +
Ví dụ 6 Tìm
Giải.
Trang 5a) Chọn u x v= , '=e−x Suy ra u' 1,= v= −e−x.
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có
xe dx− = −xe− + e dx− = −xe− −e− +C
b) Chọn u=ln , 'x v = x Suy ra
3 2
' ,
3
x
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có
Ví dụ 7 Tìm
2 2
(cos sin )
x
dx
Giải Để ý rằng (cosx x+ sin )x ' =xcos x Do đó ta viết biểu thức dưới dấu tích phân ở dạng ( ) '( )
2
cos ( ) ; '( )
cos sin '( )
cos
u x
x
+
= Để tìm v x( ), ta lại phải giải một bài toán tìm nguyên hàm
cos
(cos sin )
=
+
∫ Đổi biến số đặt t x( ) cos= x x+ sin x Ta có t x'( )=xcos ,x do đó
( )
Vậy công thức lấy nguyên hàm từng phần cho ta
2
cos (cos sin ) cos cos sin
dx
Ví dụ 8 Thầy giáo cho bài toán “Tìm ∫sin cosx xdx”
Bạn An giải bằng phương pháp đổi biến số như sau:
Đặt u=sinx, ta có du=cosxdx Vậy
Bạn Bình giải bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần như sau
Chọn u=cosx, v' sin= x Ta có u x'( )= −sin ; ( )x v x = −cosx Công thức nguyên hàm từng
phần cho ta ∫sin cosx xdx= −cos2 x−∫sin cosx xdx
Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của sin cosx x Theo đẳng thức trên ta có
2
Suy ra
2
cos ( )
x C
F x = − + Điều này chứng tỏ
2
cos 2
x
− là một nguyên hàm của sin cosx x
Vậy sin cos cos2
2
x
Bạn Cường chưa học đến phương pháp đổi biến số cũng như phương pháp lấy nguyên hàm từng phần nên giải như sau
Trang 6sin 2 cos 2 sin cos
Vậy ai đúng, ai sai ?
Giải Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số sin2
2
x
, cos2 2
x
− và cos 2
4
x
− đều là nguyên hàm của sin cosx x do chúng chỉ sai khác nhau một hằng số Thật vậy
BÀI TẬP
1. Tìm tan2
cos
x
e dx x
∫
2. Tìm a) sin 2 cos∫ x xdx; b) cot (2 )∫ 2 x dx
3. Tìm hàm số f biết rằng:
) '( ) 4
x
= − + và f(1) 2= .
)
x
+
∫
5. Tính ∫xe dx x2
3
a I=∫x x dx; b J) =∫x2cos(2 )x dx
3
)
(6 5)
x
x
=
+
b J =∫x e dx
HƯỚNG DẪN GIẢI
1. Đổi biến u=tanx Ta có kết quả là e tan x +C
2. a) Ta có sin2 cos sin 3 sin
2
Từ đó tìm được kết quả là cos3 3cos
6
C
+
b) Ta có 2 2
1
sin (2 )
x
x
= − Từ đó tìm được kết quả là 1cot 2
Từ điều kiện (4) 0 40
3
f = ⇒ = −C .
b) Tương tự ta tìm được
x
x
4. a) Đặt u x= +3 1 ta được
3
( 1)
Trang 7b) Đặt 2
u x= + x− ta được du ln | |u C ln |x2 4x 5 | C
5. Đặt u x= 2 Khi đó du=2xdx Do đó
2
6. Sử dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần
4
x
x
, ' cos(2 ) ' 2 ,
2
x
2
Tiếp tục chọn , ' sin(2 ) ' 1, cos(2 )
2
x
cos(2 ) cos(2 ) cos(2 ) sin(2 ) sin(2 )
Thay vào ta được kết quả 2sin(2 ) cos(2 ) sin(2 )
24
u= x + ⇒ x dx= du Ta tìm được kết quả 14 4
96(6 5)
x
b) Lấy nguyên hàm từng phần, đặt u x v= 2, '= ⇒ =e x u' 2 ,x v e= x Từ đó J =x e2 x−2∫xe dx x Lại dùng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm ∫xe dx x
Đặt u x v= , '= ⇒ =e x u' 1,v e= x ta được ∫xe dx xe x = x− +e x C
Thay vào ta được kết quả là J =(x2−2x+2)e x+C
Trang 8§2 TÍCH PHÂN
1 Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân
a) Định nghĩa
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K Tính phân của f từ a đến b, kí hiệu ( )
b
a
f x dx
∫ , là một số xác định bới công thức sau
( ) ( ) ( )
b
a
∫
Trong đó F là một nguyên hàm của f trên K
Chú ý rằng định nghĩa trên là đúng đắn, tức là tích phân của f từ a đến b không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm F nào của f trong họ các nguyên hàm của f Thật vậy, nếu G(x) là một nguyên hàm khác của f thì tồn tại hằng số C sao cho G x( )=F x( )+Cvới mọi x K∈
Thành thử G b( )=F b( )+C G a; ( )=F a( )+C, do đó G b( )−G a( )=F b( )−F a( )
Người ta còn dùng kí hiệu F x( )b a để chỉ hiệu số F b( )−F a( ) Như vậy, nếu F là một nguyên hàm
của f trên K thì ( ) ( )
b
b a a
a a
Người ta gọi hai số a, b là hai cận của tích phân, số a là cận dưới, số b là cận trên, f là hàm số
dưới dấu tích phân, f x dx( ) là biểu thức dưới dấu tích phân và x là biến số lấy tích phân
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số khác thay cho x Chẳng hạn nếu
sử dụng chữ t, chữ u hay chữ v lầm biến số lấy tích phân thì ( ) , ( )
b
a
f v dv
∫ đều
có thể dùng kí hiệu tích phân của f từ a đến b.
Do công thức (1) nên kí hiệu ∫ f x dx( ) còn được gọi là tích phân bất định của hàm số f trong đó
( )
f x là hàm số dưới dấu tích phân bất định, f x dx( ) gọi là biểu thức dưới dấu tích phân bất định
và x là biến số lấy tích phân bất định (“bất định” vì chưa xác định hai cận của tích phân)
b) Các tính chất của tích phân
Định lí 1
Giả sử hàm số f, g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K Khi đó ta có
1) ( ) 0
a
a
f x dx=
∫
Chứng minh các tính chất này rất đơn giản nên ta bỏ qua
Trang 9Định lí 2
Cho f là hàm số xác định trên K và a là một điểm cố định thuộc K Xét hàm số G(x) xác định trên K bới công thức ( ) ( )
x
a
Khi đó G là một nguyên hàm của f.
Chứng minh Giả sử F là một nguyên hàm của f Theo định nghĩa tích phân, ta có
( ) ( ) ( )
G x =F x −F a Vậy G và F chỉ sai khác một hằng số nên G là một nguyên hàm của f.
Ví dụ 1 Tính
2 5
2
4
1
x
sin 2
dx
b I
x
π π
1
e
Giải
a) Chú ý rằng
1
b
a
x dx
α
+
2
2
4
x
−
b) Trước hết ta tìm tích phân bất định
2sin cos
dx
Đổi biến u=tanx, ta có cos 2 ln ln(tan )
Thay cận vào ta được ln 3
4
c) Trước hết ta tìm tích phân bất định ∫x2lnxdx
Sử dụng tích phân từng phần: chọn 2
ln , '
u= x v =x Ta có ' 1, 3
3
x
x
= = , do đó
Thay cận vào ta tìm được 2 3 1
9
e
Ví dụ 2 Cho số thực a thuộc khoảng 0;
2
π
Chứng minh rằng
Giải Xét hàm số
( )
T x
2
∈ ÷ Ta cần tính T a( )
,
1+t t(1+t ). Khi đó T x( )=F(tan )x −F e( )+G(cot )x −G e( ) Suy ra
x
Vậy T x( ) là hằng số trên khoảng 0;
2
π
. Nói riêng
π
Ví dụ 3 Cho hàm số f xác định trên ¡ như sau
Trang 10khi 1
( ) 1 khi 1 1
khi 1
− < −
Tìm nguyên hàm của f.
Nhiều bạn giải bài toán này như sau: Ta tìm nguyên hàm của f trên các khoảng (−∞ −; 1); [ 1;1]− , (1;+∞) và thu được kết quả sau
2
2
khi 1 2
( ) khi 1 1
khi 1 2
x
x
− + < −
Đây là một kết quả không đúng Thật vậy, vì F có đạo hàm nên F phải liên tục Tuy nhiên dễ thấy hàm F gián đoạn tại hai điểm x= − 1 và x= 1
Giải Xét hàm G xác định bởi:
1
( ) ( )
x
−
Theo định lí 2, G là một nguyên hàm của f.
Với x< −1: Vì với t thuộc khoảng ( ; 1)x − thì f t( )= −t, do đó 2
1
1
2
x
x
−
−
= −∫ = −
Với − ≤ ≤1 x 1: Vì với t thuộc khoảng ( 1; )− x thì f t( ) 1= , do đó
1
x
−
=∫ = + Với x>1 ta có
1
x
−
Vậy một nguyên hàm của f là
2
2
1 khi 1 2
( ) 1 khi 1 1
3
khi 1 2
x
x
x
x
− − < −
+
Vì tất cả các nguyên hàm của f có dạng F x( )=G x( )+C nên đáp số đúng sẽ là
2
2
1 khi 1 2
( ) 1 khi 1 1
3
khi 1 2
x
x
+
Ví dụ 4 Cho hàm số
2
x
x
g x = ∫ t tdtg xác định với x> 0 Tìm g x'( ) Giải Đặt f t( )= tsin t
Gọi F là một nguyên hàm của f Theo định nghĩa tích phân ta có g x( )=F x( )2 −F( x)
4
c) Khái niệm tổng tích phân và định lí cơ bản của tích phân
Trang 11Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K (a < b) Với mỗi số nguyên dương
n, ta chia đoạn [a ; b] làm n đoạn bằng nhau với các điểm chia a x= 0 < < <x1 x n =b, trong đó
( 0,1, 2, , )
i
b a i
n
−
Gọi m i và M i là giá trị bé nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f trên đoạn [x i−1; ]x i Kí hiệu
1
1
1
b a
n
b a
n
−
−
−
−
−
, ,
dưới cấp n của hàm số y= f x( ) trên đoạn [a ; b].
Định lí 3
Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K (a < b) Khi đó
b
a
Ví dụ 5 Cho dãy ( )u n xác định bởi công thức
1
1 n n i
i u
= ∑ Tìm limu n
Giải Ta cố gắng tìm một hàm số f mà có tổng tích phân cấp n trên một đoạn [a ; b] nào đó bằng
n
u
Xét hàm số f x( )= x Tổng tích phân cấp n của hàm số f trên đoạn [0 ; 1] là
Theo định lí cơ bản của tích phân ta có
1
0
2 lim
3
n
Do đó lim 2
3
n
Trong một số bài toán, nếu ta không tìm được hàm số f nào có tổng tích phân cấp n bằng u n thì
ta có thể cố gắng tìm một hàm số f sao cho u n bị kẹp giữa tổng tích phân trên cấp n và tống tích
phân dưới cấp n của f trên đoạn [a ; b] Khi đó áp dụng định lí kẹp và định lí cơ bản của tích
phân, ta sẽ tìm được lim ( )
b n a
Xét ví dụ sau đây
Ví dụ 6 Cho dãy ( )u n xác định bởi công thức
1
n n
i
u
Tìm lim u n
Giải Xét hàm số ( ) 1
1
f x
x
= + Tổng tích phân trên và dưới của hàm số f trên đoạn [0 ; 1] lần lượt là
Trang 121 1
1
1
n
n
U
i
n V
i
n
+ − +
+ +
2(n i)<2n 2 1 2(i < n i 1)
n
u
< < (3) Theo định lí cơ bản của tích phân :
1
0
1
1
x
+
Do đó từ (3) và (4) và định lí kẹp ta suy ra lim ln 2
2
n
2 Hai phương pháp cơ bản tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lí sau đây
Định lí 4
Cho u u x= ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục trên K Hàm số y= f u( ) liên tục sao cho hàm hợp [ ( )]
đổi biến
( )
u b b
Chứng minh Gọi F là một nguyên hàm của f Khi đó vế phải của (1) là F u b[ ( )]−F u a[ ( )].
Mặt khác, theo công thức đạo hàm hàm hợp ta có (F u x[ ( ) ') =F u x u x'[ ( )] '( )= f u x u x[ ( )] '
Do đó F u x[ ( )] là một nguyên hàm của f u x u x[ ( )] '
Vậy vế trái là F u b[ ( )]−F u a[ ( )].
Như vậy vế trái và vế phải bằng nhau
Phương pháp đổi biến số thường được áp dụng theo hai cách sau:
Cách 1: Giả sử ta cần tính tích phân ( )
b
a
I =∫g x dx Nếu ta viết được hàm g x( ) dưới dạng g x( )= f u x u x[ ( )] ' , ở đó f , u, là hai hàm số nào đó mà f và
u’ liên tục thì g x dx( ) = f u x du x[ ( )] ( )= f u du( ) Theo công thức đổi biến
( )
( )
( )
u b
u a
Trong nhiều trường hợp, việc tính tích phân này đơn giản hơn so với tích phân ban đầu
Ví dụ 7 Tính 2
2
1
x
xe dx
Giải Ta có 2 1 2 2
( )
u
( )
Vậy
u
Cách 2: Giả sử cần tính tích phân I f x dx( )
β α
=∫
Trang 13Ta thực hiện đổi biến x x t= ( ) sao cho x’ liên tục Tiếp đó ta tìm hai số a, b thỏa mãn α = x a( ); ( )
x b
β = với x là song ánh trên (a,b).
Theo công thức đổi biến, [ ( )] '( )
b
a
I =∫ f x t x t dt
Trong nhiều trường hợp, việc tính tích phân này đơn giản hơn so với tích phân ban đầu
Ví dụ 8 Tính
1
2
1
1
dx
a I
x
−
=
+
sin )
1 cos
x
π π
= +
∫ Giải
a) Sử dụng đổi biến (cách 2) Đặt x=tant Ta có 2
2
1
cos
t
− = − =
Theo công thức đổi biến ta có
2
(1 tan )
dt t
t
π
+
+
b) Đổi biến x= 3π−t Công thức biến đổi cho ta
2
π
Suy ra
2
2
t
π π
π
+
∫
Sử dụng đổi biến (cách 1) 2 2 2
Theo công thức đổi biến và áp dụng a), ta nhận được
1 2 1
du J
u
π
−
+
∫ Vậy 3 2
4
b) Phương pháp tích phân từng phần
Định lí 5
Cho hai hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K Khi đó
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )
Chứng minh Theo công thức tìm nguyên hàm từng phần
( ) ( ) ( ) '( )
u x v x −∫v x u x dx là một nguyên hàm của u x v x( ) '( )
Giả sử H x( ) là một nguyên hàm của u x v x( ) '( ) Khi đó u x v x( ) ( )−H x( )là một nguyên hàm của ( ) '( )
( ) '( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )
b
a
b
a
∫
∫
