SKKN Vấn đề học Tích phân

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂNLỜI GIỚI THIỆU Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác, … gọi chung là đa giác học

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

LỜI GIỚI THIỆU

Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác,

… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối như ( khối hộp chữ nhật , khối lập phương , khối lăng trụ , khối chóp , ….gọi chung là khối đa diện ) học sinh đều được học công thức tính thể tích Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu , đặc biệt là tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8 , 9 , 10 , 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân , trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu

Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay Khi học vấn đề này nhìn chung các

em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , học không giải được , đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế Tài liệu “ GIÚP HỌC SINH 12 HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học , học sinh sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học

tốt vấn đề ứng dụng của tích phân Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi TN THPT , ôn thi ĐH , CĐ

Tài liệu này gồm các phần :

I.Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.

1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục hoành

2/ Một vài ví dụ minh họa cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

3/ Các bài toán minh họa và bài tập tương tự

4/ Diện tích của hình tròn và hình elip.

II Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

1/ Cách tìm giao điểm của hai đồ thị.

2/ Một vài ví dụ về cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

3/ Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

- Phân ba: Thể tích của vật thể tròn xoay.

I Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay

1/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.

2/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một vật thể quanh trục tung.

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

II Thể tích của khối cầu , khối trụ

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân hiện nay

1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân , đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II , ,

đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH Nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau :

- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay )

Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này -Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học

-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại học sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị

để xét dấu các biểu thức , kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ diện tích ; cộng , trừ thể tích Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải

-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : =∫ = ∫b

a b

a

dx x f dx x f

2/ Hướng khắc phục

- Giúp học thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau :

+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối

+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối + Hoặc dùng công thức sau :

∫

a b

a

dx x f dx x f

Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b)

- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

dụng vào giải toán Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn

- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải , số còn lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên.

PHẦN HAI DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b

Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức :

∫

=b

a

dx x f

dx x f dx x f

• Nếu f(x) ≤ ∀ x ∈[a b] thì =∫ =∫b(− )

a

b a

dx x f dx

x f

 Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) Thường có

hai cách làm như sau :

-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn [a; b]

-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn [a; b] để suy ra dấu của f(x)

trên đoạn đó

• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì

x )

a

dx x f dx x f

Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4

x -∞ -2 0 +∞ f(x)=2x + 4 - 0 +  +

Suy ra 2x+ 4 ≥ 0 , ∀ x ∈[- 2;0]

2

0 )4 ( )4 2(

= +

−

−

x x dx x dx x I

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

x -∞ 0 3 +∞ f(x)= -x 2 + 2x - 2 - -2 - -5 -

Suy ra f(x) < 0 , ∀ x ∈[ ]0;3

0

3 ) 2 3

( ) 2 2 ( 2

3

0

2 3

27 0 2 0 3

0 3 2 3

−

2

1 0 2 3

2

x

x x

x

x -∞ 0 1 2 +∞ f(x)= x 2 - 3x + 2 + 2 + 0 - 0 +

Suy ra f(x) ≥ 0 ∀ x ∈[ ]0;1 và f(x) ≤ 0 ∀ x ∈[ ]1;2

Do đó : =∫ − + =∫ − + −∫2 − +

1 2 1

0 2 2

0

2 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx x

K

1

2 )

2 2

3 3

( 0

1 )

2 2

3

3

(

232

3

x x x x x

x

+

−

− +

6

1 6

5 )

2 3 ( )

2 3 ( 2

3

2

1 2 1

0 2 2

0

K

3/ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.

Bài toán 1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 , trục

Từ hình vẽ , suy ra 2x+ 4 ≥ 0 , ∀ x ∈[- 2;0]

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

2

0 )4 ( )4 2(

= +

−

−

x x dx x dx x

Bài toán 2 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= - 2x - 4 , trục

hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = - 2

Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x – 4 , trục hoành và hai đường thẳng x = - 2 , x = 0

Diện tích S của hình phẳng trên là S ∫ x dx

42

Từ hình vẽ , suy ra − 2x− 4 ≥ 0 , ∀ x ∈[- 2;0]

2

0 )4 ( )4 2(

Hình 3 Giải : Hình phẳng trên được giới hạn bởi bốn đường y = x ,trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3.

Diện tích S của hình phẳng trên là S =∫3 x dx

0

Vì x≥ 0 ∀ x ∈[ ]0;3

2

9 2

0 2

3 0

3 ) 2 (

2223

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Bài toán 4 Tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây

y

x

3 4

Hình 4 Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 , trục hoành và hai đường thẳng

x = 0 , x = 2.

Diện tích S của hình phẳng trên là S =∫2 x dx

0 2

Vì x2 ≥ 0 , ∀ x ∈[ ]0;2

3

8 3

0 3

2 0

2 ) 3 (

3332

Diện tích S của hình phẳng trên là S =−∫2 −x dx

1 2

Từ hình vẽ , suy ra x2 ≤ 0 , ∀ x ∈[- 1;2]

3 3

1 3

8 3

)1(

3

2 1

2 ) 3 (

3332

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1 A

B

Hình 6 Giải

Diện tích S của hình phẳng trên là S =∫−x− dx

9 0.2 2

0 3.2 2

3 0

3 )2 2

( )2 (

2

2223

− +

= +

= +

Hình 7 Giải

Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x 2 +2x - 2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 3

Diện tích S của hình phẳng trên là S =∫3 −x + x− dx

( ) 2 2 ( 2

3

0

2 3

27 0 2 0 3

0 3

−

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Bài toán 8 Hãy tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây:

y

x

3 6

2 -1

4

B

Hình 8 Giải

Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 +2x +2 , trục hoành và các đường thẳng x = -1 , x = 1

Diện tích S của hình phẳng trên là S =−∫1 x + x+ dx

( )2 2 ( 2

2

1 2 1

1

2

− + +

= + +

= +

x dx x x dx x

x

S

3

14 1 3

1 3 3

1 ) 2 1 3

1 ( 3 3

1 2 ) 1 ( 3

) 1 ( 1

2 -1

4

-2 A O 1

B

Hình 9 Giải : Diện tích S của hình phẳng trên là S ∫ x x dx

2

Từ hình vẽ , suy ra x3 −x2 + 2 ≥ 0 , ∀ x ∈[- 1;2]

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1

2 )

2 3 4

( )2 (

2

342

1

232

−

= +

x dx x

x

S

12

85 2 3

1 4

1 4 3

8 4 ) 2 3

1 4

1 ( 4 3

8 4

16 ) 2 3

) 1 ( 4

) 1 ( ( 2

−

− +

−

=

− +

− +

3

-4

2 -1

Hình 10 Giải

Diện tích S của hình phẳng trên là dx

1 0

1 0

1

) 1

3 1 ( )

1

3 ) 1 ( )

1

2 (

1

2

dx x

dx x

x dx

x

x dx

x

x

S

1 2 ln 3 2 ln 3 1 1 ln 3 0 ) 2 ln 3 1 ( ) 1 ln 3 0 ( 1

0 ) 1

4

Hình 11 Giải

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Diện tích S của hình phẳng trên là S =−∫2 x dx

3 1 3

Từ hình vẽ , suy ra x3 ≤ 0 , ∀ x ∈[- 1;0] và ≥ ∀ ∈ 2 

3 0;

x , 0

3

x

0 2

3 ) 4

( 1

0 ) 4 (

44

23

0

30

1

30

1

23

0

33

23

1

dx x dx x dx x dx x dx x

−

−

= +

−

= +

814

1064

81)4

10(4

04

)2

3()4

)1(4

0(

4 4 4

4

=+

=

−+

−

−

=

−+

4

Hình 12 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành , trục tung và

đường thẳng x = 2

Giải

Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng

x = 0 , x = 2 được tính bởi công thức :

x x

x a

b

dx x f dx

x f dx x f dx x f

2 1 1

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

3 2

−

−

− +

−

= +

−

− +

−

4

1 ( 2.

2

2 4

2 0 2

1 4

1 1

2 )

2 4

( 0

1 )

1 4 8

0

2 3 2

0

2

3 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx x

S

2

5 4

5 4

5 4

5 4

5 1

2 )2 4

(

0

1 )2 4

4 3

Bài toán 13 Cho hàm số y = x4 - 3x 2 + 2 có đồ thị ( C ) (Hình 13 )

(C) y

x

f x( ) = x( 4 -3⋅x 2)+2

3

2 -1

1 )

2 5

( )2 3 ( 2

1

1

52

41

−

= +

x dx x x dx x x

Bài toán 14 Cho hàm số y = -x4 + 5x 2 - 4 có đồ thị (C ) (Hình 14)

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Hình 14

a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành

b/Tính diện tích của hình phẳng được tô màu ở trên

−

2

1 4

1 0 4

2 2

4

x

x x

x x

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng

x = -2 , x = 2 được tính bởi công thức :

2 4 1

1

2 4 2

4 1 2 2

22 15

Bài toán 15 Cho hàm số y = -x3 - x + 1 có đồ thị ( C) (Hình 15)

a/ Xét chiều biến thiên của hàm số đó.

b/ Tính diện tích của hình phẳng (màu đen ) ở Hình 15.

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

4

Hình 15 Giải

1

0 1 3 0

Bài toán 16 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục

hoành , trục tung và đường thẳng x = e Hình 16

1

A

e

Hình 16 Giải

Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S cần tìm là S =∫e x x dx=∫e x xdx

1 1

lnln

2

x

v

dx x

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Do đó

4

1 1

4 2 1

ln 2

1 2 1

ln 2 ln

22

x xdx x

S

e e

=

x

x x

y có đồ thị ( C ).

a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành

b/Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và các đường thẳng y =0 , x = 0 ,

GiaoDiem

3 -1

1 01

02 0 1

2 0'

2 2

x

x x x

x x

xx x

xx y

Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ lần lượt là ( - 2 ; 0) và ( 1 ; 0)

b/ Diện tích S cần tìm là

dx x

x x dx x

x x dx x

= +

0

2 3

0

2

1

2 1

2 1

2

1

3 )1

ln2 2

( 0

1 )1

ln2 2

(

) 1

2 (

−

= +

−

+ +

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

2 ln 4 2

9 2 ln 2 2

1 4 ln 2 2

−

− +

Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e 2x , trục hoành y = 0 , trục tung

2

1 )

( 2

1 1

0 2

S =∫1 5 + 4 Đặt u = 5x + 4 => du = 5dx

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

( 15

2 ) 4 9

( 15

2 4

9 15

2 4

9 2

3

5

1 5

1 5

3 9

4 2

1 9

O 1

Hình 20 Giải :

Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= − 5x+ 4 , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 0 , x = 1

15

38 4

5 4

= +

4

Hình 21 Giải

Ta có S =∫3 x − x+ dx

0

2 3 2

Vì x2 − 3x+ 2 ≥ 0 ∀x∈(− ∞ ; 1] [∪ 2 ; +∞) và x2 − 3x+ 2 < 0 ∀ x∈( )1 ; 2

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

2 3

0 2 3

0

2 3x 2dx x 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx x

S

6

11 6

2 -1

4

1 -4

Hình 22 Giải :

Ta có x+ 2 ≥ ∀ x ∈[− ; 0] và x+ 2 ≤ 0 ∀ x ∈[− 4 ; − 2]

B A dx x

x dx x

x dx

x

x dx x

x dx

4 0

2 2

4 0

2 1

2 1

2 1

2 1

2

Mà

4

2 )1 ln 3 (

) 1

3 1

( 1

3 )1

( 1

dx x

dx x

x dx

) 1

3 1(

1

3

1 1

−

=

−

− +

dx x

dx x

x dx

x

x

B

5 ln 3 4 3 ln 3 2 ) 3 ln 5 (ln 3

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(P)

x y

Và có diện tích

2

2

2

0

2 2 2

2 1

r dx x r dx

x r S

r r

b) Diện tích của elip

Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình : 2 1

2 2

2

=+

b

y a

x

, 0<b<a

(P)

x y

Bài toán 23 Cho hình phẳng sau Biết rằng hình phẳng đó được giới hạn bởi parabol

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(P)

(E)

x y

b/ Tính diện tích của hình phẳng đó

Giải : Nửa elíp (E) cắt trục hoành tại các điểm ( - 3 ; 0) và ( 3 ; 0)

(E ) cắt trục tia Oy tại điểm ( 0 ; 1)

Suy ra (E ) có nửa trục lớn a = 3 , và nửa trục bé b = 1

Phương trình của nửa (E ) là : 1

9

2 2

= +y

3 3

1 ( )

3 3

1

3

0 3

21 4

Bài tập tương tự :

1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

a) y = x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = -2 , x = 1