phương pháp tọa độ trong không gian

II - Hệ tọa độ đề các trong không gian, tọa độ của một véc tơ1 Hệ tọa độ Đêcác trong không gian.. VI - Phương trình của đường thẳng 1 Phương tình tổng quát của đường thẳng Trong không gi

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A - LÍ THUYẾT

I - VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN.

1 - Vectơ trong không gian

a) Định nghĩa véc tơ

b) Phương chiều, độ dài của một véc tơ

c) Định nghĩa hai véc tơ bằng nhau

d) Các phép toán của véc tơ

Phép cộng véc tơ

Hiệu của hai véc tơ

Tích của một véc tơ với một số thực

Tích vô hướng của hai véc tơ

Cho ba véc tơ →a,→b,→c trong đó véc tơ →a và véc tơ →b không cùng phương khi đó ba véc

tơ →a , →b, →c đồng phẳng khi và chỉ khi có các số k, l sao cho: →c =k→a+l→b

II - Hệ tọa độ đề các trong không gian, tọa độ của một véc tơ

1) Hệ tọa độ Đêcác trong không gian.

Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung điểm gốc O Gọi →i ,

→

j , →k là các véc tơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục như vậy gọi là

hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz

2) Tọa độ của véc tơ đối với hệ tọa độ

Cho hệ tọa độ Oxyz và một véc tơ tùy ý →u

→i

c) k→u =(kx, ky, kz)

4) Tọa độ của một điểm.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho một điểm M bất kì Tọa độ của véc tơ OM→cũng được gọi là tọa độ điểm M trong hệ tọa độ đó

6) Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước.

Giả sử điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k Tìm tọa độ điểm M nếu biết: A(xA, yA,

zA) và B(xB, yB, zB) Gọi M(xM, yM, zM) ta có:

k

kz z z k

ky y y k

kx x

M B A M B A

; 1

III - Tích vô hướng và tích có hướng của hai véc tơ

2 + − + −

−

v (x', y', z') với →u .→v ≠ 0 thì cos ϕ = x2 y2 z2 x'2 y'2 z'2

'zz'yy'xxv

.u

v.u

+++

+

++

• [→u,→v] = →u →vsinϕ trong đó ϕ là góc giữa →u và →v

d) Diện tích tam giác:

Trong không gian cho tam giác ABC thì ta có:

e) Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ.

Điều kiện cần và đủ để ba véc tơ a,b,c đồng phẳng là:[ ]a,b.c=0

ABCD

V =  AB AC AD 

uuur uuur uuur

IV - Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

• Nếu M1, M2, M3 là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng (α) thì các véc tơ

3 2 2

1M , M M

M là một cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (α) và do đó véc tơ

]MM,MM

[

n= 1 2 2 3 là một véc tơ pháp tuyến của (α)

2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng

V - Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

1) Một số qui ước và kí hiệu

Hai bộ số (A1, A2, , An) và (A'1, A'2, , A'n) gọi là tỉ lệ với nhau nếu:

n

n 2

2 1

1

'A

A

'A

A'

A

với qui ước có thẻ có một Ai = 0, khi đó thì A'i = 0

2) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

0)'Dz'Cy'Bx'A()DCzBy

VI - Phương trình của đường thẳng

1) Phương tình tổng quát của đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d Ta có thể xem d là giao của hai mặt phẳng (α) và (α') nào đó Giả sử (α) và (α') có phương trình lần lượt là: (α): Ax +

By + Cz + D = 0 (1)

(α'): A'x + B'y + C'z + D' = 0 (2)Khi đó một điểm M(x, y, z) thuộc d khi và chỉ khi tọa độ của nó là nghiệm hệ phương

=+++

0'Dz'Cy'Bx

'

A

0DCzByAx

(1)Ngược lại điểm M có tọa độ (x, y, z) thỏa mãn (1) với điều kiện:

'C:'B:'AC:B:Avà0'C'B'A,0C

B

A2 + 2 + 2 > 2+ 2+ 2> ≠ (2) đều nằm trên một đường thẳng

Hệ (1) với các điều kiện (2) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

2) Phương trình tham số của đường thẳng

• Đường thẳng d hoàn toàn được xác định nếu ta biết một điểm Mo(xo, yo, zo) của nó

và một véc tơ u(a,b,c)≠0 mà đường thẳng chứa u song song hoặc trùng với d Véc tơ u như thế gọi là véc tơ chỉ phương của d

• Điểm M(x, y, z) thuộc d khi và chỉ khi: MoM song song với u tức là: MoM = t u

btyy

atxx

o o

o

(3) (a2 + b2 + c2 > 0)

Hệ (3) với điều kiện (a2 + b2 + c2 > 0) gọi là phương trình tham số của đường thẳng, t gọi

là tham số

3) phương trình chính tắc của đường thẳng

Từ (3) bằng cách khử tham số t ta có:

)4(c

zzb

yya

x

x− o = − o = − o

Trong trường hợp một hoặc hai trong ba số a, b, c bằng 0 thì ta vẫn viết phương trình (4) với qui ước nếu mẫu bằng 0 thì tử số cũng bằng 0

Phương trình (4) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng

VII - Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

DCzBy

Ax

++

++

+

2) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm Mo, có véc tơ chỉ phương u và điểm M

Gọi d(M, ∆) là khoảng cách từ M đến ∆ thì ta có:

d(M, ∆)=[ ]

u

u,M

Mo

3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau Giả sử ∆ đi qua điểm M1 và có véc tơ chỉ phương u Đường thẳng ∆' đi qua điểm M' và có véc tơ chỉ phương 'u Gọi d(∆, ∆') là khoảng cách giữa ∆ và ∆' thì ta có:

d(∆, ∆') = [ ]

[ ]u,u'

'MM,'u,u

X - Góc

1) Góc giữa hai đường thẳng

Góc ϕ giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng đó

cCbBaAcos

+++

+

++

=ϕ

=ψ

Trong đó n(A,B,C), u(a,b,c) lần lượt là véc tơ pháp của (α) và véc tơ chỉ phương của d

ϕ là góc giữa hai véc tơ u,n

3) Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai véc tơ pháp của hai mặt phẳng đó

A2 + 2 + 2 −

2) Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có phương trình là:

DcCbBaA

++

+++

• Nếu IH < R thì (α) ∩(S) là đường tròn tâm H bán kính R2 −IH2

• Nếu IH = R thì (α) là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H

• Nếu IH > R thì (α) không cắt mặt cầu (S)

B - BÀI TẬP

Bài 1.

Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng (P) Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm CD, I

là trung điểm của EF

Bài 3.

Cho tứ diện ABCD, M di động trong không gian G, G1 lần lượt là trọng tâm của tứ diện

và trọng tâm của tam giác BCD

Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) với a, b, c > 0.

a) Chứng minh rằng ABC không thể là tam giác vuông

b) Tính thể tích hình chóp OABC và diện tích tam giác ABC theo a, b, c

Bài 9.

Cho tam giác ABC

a) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho: AB → CM→ = CB→ AM→

b) Gọi AD là đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC Hãy biểu diễn AD qua →

Bài 12.

Trong không gian Oxyz cho các điểm M(1, 0 , 2); N(1, 1, 0); P(0, 1, 2)

a) Viết phương trình của mặt phẳng (α) đi qua M, N, P

b) Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục Ox, Oy, Oz Tính tiếp tuyến tứ diện OABC và diện tích tam giác ABC

c) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AP, BM, CN đồng qui tại điểm G Tìm tọa độ điểm G

d) Gọi ϕ1, ϕ2, ϕ3 lần lượt là các góc tạo bởi véctơOG với các vectơ → OA , → OB , → OC Chứng →minh rằng cos2ϕ1 + cos2ϕ2 + cos2ϕ3 = 1

2y3

1x

=+

−+

01x

02zyx

Bài 14

Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:

d1:

5

4z3

3y2

2x

4y3

1x

Tìm phương trình chính tắc của đường vuông góc chung d của d1 và d2 Tính tọa độ các giao điểm H, K của d với d1 và d2

Bài 15.

Trong không gian Oxyz cho A(0, 1, 1) và hai đường thẳng:

1

z1

2y3

1x:

=+

−+

01x

02zyx:

d2Lập phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2

Bài 16.

Cho hai đường thẳng có phương trình là:

1

1:

1y7

3x:

d

1

9z2

3y1

7x:

a) Chứng minh rằng đó là hai đường thẳng chéo nhau

b) Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó

a) Cho tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2, 3, 1); B(4, 1, -2); C(6, 3, 7); D(-5, -4, 8) Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phất từ A.

b) Cho 4 điểm A(-1, -2, 4); B(-4, -2, 0); C(3, -2, 1); D(1, 1, 1) Tính độ dài đường cao hạ

từ D của tứ diện ABCD

Bài 19.

Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(0, 0, 1); B(-1, -2, 0); C(2, 1 -1)

a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P)

c) Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC và tính thể tích tứ diện OABC

b) Trong trường hợp a = b = 0, hãy tìm hình chiếu H của điểm A(1, 1, 1) trên giao tuyến

d của hai mặt phẳng (α) và (β) và tính khoảng cách từ A đến giao tuyến d

−

=

−+

04zy2x:dvàz1

1y2

1x:

Bài 22.

Cho tứ diện với các đỉnh A(2, 0, 0); B(0, 4, 0); C(0, 0, 6); D(2, 4, 6) trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz

a) Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện.

b) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho: MA→ +MB→ +MC→ +MD→ = 4.

Viết phương trình chính tắc của tập hợp đó

Bài 23.

Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz và cho tam giác vuông cân OAB vuông góc tại O, nằm trong mặt phẳng Oxy mà đường thẳng AB song song với trục Ox và AB = 2a

Xác định tọa độ điểm A, B biết rằng A có hoành độ x > 0 và tung độ y > 0

Viết phương trình chính tắc của mặt phẳng đi qua điểm C(0, 0, c) với c > 0, và vuông góc với đường thẳng đi qua O và trọng tâm G của tứ diện OABC

Bài 24.

Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình là: d:

1

2z3

1y2

2y

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và d' chéo nhau

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d vad d'

−+

=

−+

−

03x2y3x

07z2yx3

Bài 26.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:

t23y

t31x

=

−

−

012z2x5

08y2x3:

d2

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau

b) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A(-4, -5, 3) và đồng thời cắt

−+

=

−+

−

07zy3x6

027z4yx3

a) Xác định giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, Vuông góc với đường thẳng d và nằm trong mặt phẳng (P)

Bài 28.

Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, -2, -4) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + 3z - 7 = 0

Viết phương trình đường thẳng đi qua A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt

đường thẳng d:

2

1z2

4y3

y2

1x

a) Tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (α)

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (α)

Bài 30.

Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng







=++

−

=+

−+

01zy3x2

01z3y2x:

t21y

at2x:

d2

Với a là một số thực cho trước

a) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2

b) Xác định a để tồn tại mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với d2

t2y

t21x

và mp(α): 2x - y + 5z - 4 = 0

a) Tìm giao điểm của d và (α)

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d

Bài 32.

Cho tam giác ABC gọi M, N, P lần lượt là trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh rằng với bất kỳ điểm O nào trong không gian ta đều có OA→ +OB→ +OC→

→

→

→

++

−

=+

−+

01z5yx2

02zyx

=++

01y

02z2x

t2y

t1x

c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua d' và vuông góc với d.

=

−

−

014z2x5

05y3x2

a) Lập phương trình mặt phẳng (α) chưa A và đường thẳng d

b) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d và vuông góc với →a

Bài 35.

Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, 2, 1) và đường thẳng d: z 3

4

y2

x

+

=

=

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và đi qua A

b) Viết phương trình đường thẳng d' đi qua A, vuông góc với d và cắt d

−

=

−

03zy2x3

0z2x

và vuông góc với mặt phẳng: x - 2y + z + 5 = 0

Bài 37.

Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(-1, 3, 2); B(4, 0, -3); C(5, -1, 4): D(0, 6, 1)

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC Hạ AH vuông góc với BC Tìm tọa độ điểm H

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng DBC Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD

Bài 38.

Trong không gian cho 2 điểm A(0, 0, 3), B(2, 0, -1) và mp(P) 3x - 8y + 7z - 1 = 0

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng đi qua 2 điểm A, B và (P)

b) Tìm tọa độ của điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều

Bài 39.

Trong không gian Oxyz cho điểm A(1, 2, -1), đường thẳng d có phương trình:

2

2z3

a) Tìm điểm B đối xứng với A qua (P)

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1, 2, -1) cắt đường thẳng d và song song với (P)

Bài 40.

Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1, 3, 2) và hai đường thẳng:

)Rt(t23z

t3y

t1x:

d

1

z1

1y2

1x:

a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt d1 và d2

b) Tính tọa độ các giao điểm của ∆ với d1 và d2

Bài 41.

Cho hệ tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian và cho các điểm A(a, 0, 0); B(0, a, 0); C(a, a, 0); D(0, 0, d) ( với a, d > 0) Gọi A', B' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O xuống các đường thẳng DA và ĐặC BIệT

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa các đường thẳng OA', OB' Chứng minh rằng mặt phẳng đó vuông góc với đường thẳng CD

b) Tính d theo a để góc A'OˆB' có số đo bằng 45o

Bài 42.

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình d:

+

=

t2z

t1y

t2x

−

=+

−+

01yx2

03zyx3

Chứng minh rằng d1, d2 và điểm A cùng thuộc một mặt phẳng

Bài 44.

Trong không gian cho mp(Pm) có phương trình 2x + y + z - 1 + m(x + y + z + 1) = 0

a) Chứng minh rằng với mọi m, mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một đường thẳng d cố định.b) Tìm m để mặt phẳng (Pm) vuông góc với mặt phẳng (P0) có phương trình: 2x + y + z -

1 = 0 Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d

Bài 45.

Trong không gian Oxyz cho 4 điểm S(3, 1, -2); A(5, 3, -1); B(2, 3, -4); C(1, 2, 0)

a) Chứng minh rằng hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều và 3 mặt bên là các tam giác vuông cân

b) Tìm tọa độ điểm D đối xứng của C qua đường thẳng AB M là điểm bất kì thuộc mặt cầu tâm D, bán kính R = 3 2 và điểm M không thuộc mặt phẳng ABC Xét tam giác có

độ dài các cạnh bằng các đoạn thẳng MA, MB, MC Hỏi tam giác ấy có đặc điểm gì?

Bài 46.

Cho tam giác ABC có A(1, 2, 5) và phương trình hai trung tuyến là:

1z2

6y2

2y1

a) Viết phương trình chính tắc các cạnh của tam giác

b) Viết phương trình chính tắc của đường phân giác trong của góc A

t1y

t25x

't3y

't23x

Với t, t'∈ R

a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2

0myx)m1(

0m3mz4x

với m là một

số tùy ý ≠ 0

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng Dm luôn đi qua một điểm cố định

b) Chứng minh rằng đường thẳng Dm luôn nằm trên một mặt phẳng (P) cố định khi m thay đổi

Bài 49.

Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có

phương trình d:

3

2z1

1y2

1

x+ = − = −

; (P): x - y - z - 1 = 0

Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1, 1, -2) song song với (P)

và vuông góc với đường thẳng d

Bài 50.

Trong không gian Oxyz cho điểm A(-2, 4, 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19=0

a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) chứa điểm A và song song với (P) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)

b) Hạ AH vuông góc với (P) Viết phương trình tham số của đường thẳng AH và tìm tọa

độ H

Bài 51

Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(-1, 3, 2); B(4, 0, -3); C(5, -1, 4); D(0, 6, 1)

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC Hạ AH vuông góc với BC Tìm tọa độ điểm H

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng DBC Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD

Bài 52.

Trong không gian Oxyz cho 3 điểm: H(

2

1 , 0, 0); K(0,

2

1, 0); I(1, 1,

3

1)

a) Viết phương trình giao tuyến của mặt phẳng HKI với mặt phẳng:

x + z = 0 ở dạng chính tắc

b) Tính cosin của góc phẳng tạo bởi mặt phẳng HKI với mặt phẳng tọa độ Oxy

Bài 53.

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:

1

3z2

4y1

3x

a) Tính số đo góc nhọn tạo bởi đường thẳng d và (α)

b) Tìm tọa độ giao điểm A của d và (α)

c) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với đường thẳng d nằm trong (α)

2y1

1x:

−

=

−+

05z3yx2

0zy2x:

d2Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2

Bài 56.

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' với cạnh bằng a Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD'

a) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng A'BD

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a

Bài 57.