ÔN toán lớp 12 phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với BCD.. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với S.. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P... Viết

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ KG.

1 Vectơ trong không gian:

 4) u u 1 2 x x1 2  y y1 2 z z1 2

b Toạ độ của vectơ và toạ độ của hai điểm mút:

Cho hai điểm Ax ;A y z và A; A B x y z , ta có: B; B; B

1) AB x B  x y A; B  y z A; B  z A

 2) AB x B  x A2  y B  y A2 z B  z A2

c Tích có hướng của hai vectơ:

ĐN: Cho hai vectơ u( ; ; ), v ( '; '; ')a b c  a b c

a  b  c  được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

- Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:

  với abc 0

- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d đi qua M có vectơ chỉ phương u và

d’ đi qua M’ có vectơ chỉ phương ' u

3 Các công thức tính diện tích, thể tích và khoảng cách:

AB AC



  

 

- Thể tích của hình tứ diện ABCD:

1 [ , ]

6

V    AB AC AD

Suy ra đường cao của lăng trụ là:

[ , ]

| |

M a

u MM d

Bài 1: Cho bốn điểm A1;0;0 , 0;1;0 ,  B  C0;0;1 , D ( 2;1; 2)

a Chứng minh rằng A, B, C, D là các đỉnh của một hình tứ diện.

b Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện đó

c Tính thể tích của tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA h , đáy là tam giác vuông tại C,

b.Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu biết:

a Đi qua A0;8;0 ,  B4;6;2 ,  C0;12;4 và có tâm nằm trên mặt phẳngOyz 

b Có bán kính bằng 2 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz)và có tâm nằm trên tia Ox

c Có tâm I1;2;3 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz).

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:

a Đi qua ba điểm M(2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2) N  P

b Đi qua ha điểm A(1;1; 1), (5;2;1) B và song với trục Oz.

c Đi qua điểm A(3;2; 1) và song song với mặt phẳng ( ) : x 5y z 0

d Đi qua hai điểm A0;1;1 , B ( 1;0;2) và vuông góc với ( ) : x y z   1 0

e Đi qua M a b c (với  ; ;  abc 0) và song song với một mặt phẳng tọa độ

f Đi qua G1;2;3 và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho G là trọng tâm

ABC

g Đi qua H2;1;1 và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm ABC

Bài 5: Cho hai mặt phẳng có phương trình : ( ) : 2 x my 3z  6m 0 và

( ) : ( m3)x 2y(5m1)z  10 0 Với giá trị nào của m thì:

a Hai mặt phẳng đó song song

Bài 7: Cho bốn điểmA1;6;2 , 4;0;6),  B C5;0;4 ,  D5;1;3.

a Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng

b Tính thể tích tứ diện ABCD.

c Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

d Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (BCD) Tìm tọa độ tiếp điểm.

Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( 1 ; 5 ; 3 ), B ( 4 ; 2 ;  5 ), C ( 5 ; 5 ;  1 ),

c Viết phương trình mp( ) đi qua A, B, C và tính khoảng cách từ D đến ( )

d Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với (S).

e Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của (S) với các mặt phẳng tọa độ.

Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x3y 12z  1 0

và tiếp xúc với mặt cầu x2  y2 z2  2x 4y 6z  2 0

Bài 10:Cho tứ diện OABC trong đó OAB, ABC, OCA là các tam giác vuông tại O

Gọi   , , lần lượt là góc giữa (ABC) với các mặt (OAB), (OBC), (OCA) Bằng

phương pháp tọa độ, hãy chứng minh:

a Tam giác ABC có ba góc nhọn.

b cos2 cos2  cos21

Bài 11: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mỗi mặt phẳng tọa độ biết : 1 2 3

a Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).

b Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P).

Bài 13: Viết phương trình đường thẳng đi qua A (1; 1;1) và cắt cả hai đường

thẳng:

1 2:

Bài 14: Viết phương trình đường thẳng d song song với d1 và cắt cả hai đường

thẳng d2 và d3, biết phương trình của d1, d2, d3 là:

1

8: 5 2

a Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau

b Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ O và song song với cả d1 và d2

c Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2

d Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đưởng thẳng đó

Bài 16: Cho đương thẳng d và mặt phẳng ( ) có phương trình:

b Tìm tọa độ giao điểm của d và ( )

c Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên ( )

Bài 17: Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ) có phương trình:

: 1 2 3

d      ; ( ) : 2 x z  5 0

a Xác định tọa độ giao điểm A của d và ( )

b Viết phương trình đường thẳng đi qua A nằm trong ( ) và vuông góc với d.

Bài 19: Tính khoảng cách giữa hai đưởng thẳng sau:

Bài 20: Cho hai điểm A(1; 1; 2), (3;1;1)  B và mặt phẳng  P x:  2y3z  5 0

a Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P).

b Tìm góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

c Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P).

d Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

Bài 21: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình:

2 3 11 :

a Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên (P).

b Viết phương trình đường thẳng d1 là hình chiếu song song của d trên (P) theo phương Oz.

c Viết phương trình đường thẳng đi qua O, cắt d và song song với (P).

Bài 22: Cho điểm A2;3;1 và hai đường thẳng:

a Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và d1

b Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và d2

c Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả d1 và d2

d Tính khoảng cách từ A đến d2

Bài 23: Cho hai đường thẳng:

c Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

d Viết phương trình đường thẳng song song với Oz cắt cả d và d’.

Bài 24: Cho mp( ) : 2x 3y 6z 6 0   

a Tìm giao điểm A, B, C của Ox, Oy, Oz với mặt phẳng ( ) Tính diện tích tam giác ABC

b Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(ABC)

c Tính thể tích khối tứ diện OABC

Bài 25: Cho đường thẳng d:

a Tìm giao điểm A của đường thẳng (d) và mp( )

b Viết phương trình mặt phẳng đi qua (d) và vuông góc với mp( )

c Lập phương trình hình chiếu của (d) lên mp( )

Bài 26: Cho mp(P) : x y z 0   và đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt

phẳng ( ) : x 2y 3 0    và ( ) : 3x 2z 7 0,   

a Tìm giao điểm A của đường thẳng D và mặt phẳng P

b Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng D và nằm trong mặt phẳng P

Bài 27: Cho mp( ) : x y 0   và đường thẳng

x 2( ) : y t

a Tìm giao điểm A của đường thẳng ( ) và mp( )

b Viết phương trình của đường thẳng ( )1 đi qua A, vuông góc với ( ) và nằmtrong mp( )

c Viết phương trình hình chiếu của ( ) lên mp( )

Bài 28: Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(3, 2, 1) vuông góc với đường thẳng x y z 3

đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 3x y 2z 7 0     và

Bài 34: Cho hai đường thẳng : (d ) :1 x 1 y 2 z 5

Bài 35: Cho đường thẳng (d1) là giao tuyến của 1

1

mp( ) : x y 0mp( ) : x y z 4 0

a Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

b Tính khoảng cách của hai đường thẳng đó

c Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2, 3, 1) và cắt cả hai đường thẳng d

d Lập phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P)

Bài 37: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0, 1, 1) biết (d) (d1), (d) cắt

b Viết phương trình đường thẳng (D) song song với Oz và cắt (d1) và (d2)

Bài 40: Cho A(-1, 3, -2); B(-9, 4, 9) và mp(): 2x y z 1 0   

a Chứng minh A và B cùng nằm một phía với mp().

b Tìm M nằm trên mp() sao cho MA+ MB nhỏ nhất

Bài 41: Cho M(1, 2, 3) và hai đường thẳng:

1

x 2 y 2 z 3(d ) :

a Tìm tọa độ A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d1)

b Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua A, vuông góc với (d1) và cắt (d2)

Bài 42: Cho A(1, 2, -1); B(7, -2, 3) và đường thẳng ( ) : x 1 y 2 z 2

c.Tìm M thuộc đường thẳng  sao cho AM BM nhỏ nhất

Bài 43: Cho A(2, 3, 0), b(0,  2, 0) và đường thẳng

x t( ) : y 0

a Viết phương trình mặt phẳng () đi qua A và  ( )

b Tìm H là giao điểm của () và mp() và tính d(A,)

c Tìm M thuôc  sao cho MA+ MB nhỏ nhất

Bài 44: Cho hai đường thẳng:

a Chứng minh d và d’ đồng phẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

chúng

b Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng tọa độ.

c Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên

Bài 45: Cho hai đường thẳng:

2: 3 và ' : 1

a Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

b Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q)

đi qua d’ và vuông góc với d.

c Viết phương trình chính tắc của đương vuông góc chung của d và d’.

Bài 46: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình:

( ) : 2P x y z   2 0 ( ) :Q x y 2z  1 0

a Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó.

b Viết phương trình đường thẳng d qua A(1;2; 3) , song song với cả (P) và (Q) c.Viết phương trình mp(R) đi qua B ( 1;3;4) và vuông góc với cả (P) và (Q).

Bài 47: cho mặt cầu ( ) :S x2  y2 z2  2x 4y 6z 0

a.Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu

b.Tùy theo giá trị của k, hãy xét vị trí tương đố của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)

biết ( ) :P x y z k   0

c Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác với gốc tọa độ O Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

d.Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B.

e.Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt

phẳng  Q : 4x3y 12z  1 0

Bài 48: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 Trên các tia AA’,

AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM m AN, n AP, p

a.Tìm sự liên hệ giữa m, n, p để mp(MNP) đi qua đỉnh C’ của hình lập phương b.Trong trường hợp (MNP) luôn đi qua C’, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện

AMNP Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?

Bài 49: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình:

b.Chứng minh rằng ( ) :P x5y z  4 0 đi qua d.

c.Tính khoảng cách giữa d và các trục toạ độ.

d.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d x' :  y z

e.Viết phương trình đường thẳng song song với Oz cắt cả d và d’.

Bài 50: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1;2), (2;0;1) B

a.Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA2  MB2 2

b.Tìm quỹ tích các điểm N sao cho NA2 NB2 3

c.Tìm quỹ tích các điểm cách đều (OAB) và (Oxy)

Bài 51: Trong không gian toạ độ Oxyz cho

1: 1

Trong đó a, b, c thay đổi sao cho c2 a2 b2

a.Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định và góc giữa d và Ox là

không đổi

b.Tìm quỹ tích giao điểm của d và mặt phẳng (Oxy).

Bài 52: Cho hai đường thẳng song song

a Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

b Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của ABC và mp(ABC)

c Tìm hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BC

Bài 54: Cho hai đường thẳng: 1

x 1 t(d ) : y 0

a Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau

b Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2)

Bài 55: Cho hai đường thẳng

b Tìm A thuộc (d1) và B thuộc (d2) sao cho AB là đường vuông góc chung của (d1), (d2).

Bài 56: Cho hai đường thẳng: 1

x 1 2t(d ) : y 2 t

'

x 3t 1(d ) : y t

phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d1) tại A(3, 1, 3) và có tâm I thuộc (d2)

Bài 57: Cho mp( ) : x y z 1 0     và đường thẳng ( ) : x 1 y 1 z 2

'

x 3t 4(d ) : y t

phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d1) tại A(3, 0, 5) và có tâm I thuộc (d2)

Bài 59: Chứng minh hai đường thẳng (d ) :1 x 1 y 2 z 5

Bài 60: Cho đường thẳng (d) : x y 1 z 1

a Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của (S) và mp( )

b Lập phương trình mặt cầu chứa giao tuyến của (S) với mp( ) và tâm của mặt cầu đó nằm trên mp( ) : x y z 4 0    

Bài 62: Cho 1

1

x 0(d ) : y 1

x 2 2t(d ) : y 1

a Chứng minh (d1) và (d2) cắt nhau và lập phương trình mp (d1, d2).

b Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với (d1), (d2)

Bài 63: Cho mp( ) : 2x y 2z 1 0     và

x 1 2t(d) : y 2 t

a Tìm A  (d) sao cho d(A,( )) 1 

b Tìm M’ đối xứng của M(2, -1, 3) qua đường thẳng (d)

Bài 64: Cho A(3, 1, 1), B(7, 3, 9) và mp( ) : x y z 3 0    

a Tìm Mmp( ) sao cho MA+ MB nhỏ nhất

b Tìm Nmp( ) sao cho NA NB  

nhỏ nhất

Bài 65: Cho

x t( ) : y t

a Chứng minh ( ),( ) ' chéo nhau

b Lấy A, B trên ( ) sao cho AB=4 Lấy C, D trên ( '

2

x 2 2t( ) : y 3

Bài 68: Cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2  10x 2y 26z 113 0    và đường thẳng:

Bài 70: Viết phương trình mp( ) chưa Oz và tạo với mp( ) : 2x y   5z 0 mộtgóc 600.

Bài 71: Cho (d ) :1 x y z

1  1 2 và 2

x 1 2t(d ) : y t

a Xét vị trí tương đối của (d1) và (d2)

b Tìm tọa độ các điểm M thuộc (d1) và N thuộc (d2) sao cho đường thẳng MN song song với mp(P):x y z 0   và độ dài đoạn MN= 2

Bài 72: Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

Và tiếp xúc với mặt cầu x2 y2 z2 2x 6y 4z 15  

Bài 74 Lập phương trình mặt cầu có tâm là I(1, 4, -7), tiếp xúc với mặt phẳng

6x 6y 7z 42 0   

Bài 75 Gọi C là giao tuyến của mặt cầu x 3 2 y 2 2 z 1 2 100 với mặt phẳng 2x – 2y – z + 9 = 0 Xác định tọa độ tâm và bán kính của C

Bài 76 Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

 C : x2 y2 z2  10x 2y 26z 113 0    và song song với 2 đường thẳng d1:

a Chứng minh A, B, C, D trở trành một tứ diện

b Tính thể tích tứ diện ABCD

c Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Tìm tâm và bán kính của mặt cầu

d Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó

Bài 78: Cho đường thẳng d, mặt phẳng  và mặt cầu (C) có phương trình

a Viết phương trình các mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc mặt cầu (C)

b Viết phương trình giao tuyến của mặt phẳngvới mặt cầu Tìm tâm và bán kínhcủa đường tròn giao tuyến đó

Bài 79 Cho (C): x2 y2 z2 1và mặt phẳng : x + y + 2z – 1 = 0

a Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của (C) với mặt phẳng 

b Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của (C) với mặt phẳng

và có tâm của mặt cầu đó nằm trên mặt phẳng x + y + z +4 =0

Bài 80 Lập phương trình mặt cầu tâm I(2, 3, -1) và cắt (d): 5x 4y 3z 20 0

Bài 81 Trong không gian Oxyz cho A(2, 0, 1), B(1, 0, 0), C(1, 1, 1) và mặt phẳng (P): x + y +z – 2 = 0 Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm nằm trên (P)

Bài 82 Trong không gian Oxyz cho (S) : x2 y2 z2 4 và mặt phẳng (P):

a Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến (P).

b Viết phương trình đường tròn (C) = (S)  (P) Tìm tâm và bán kính của (C) Bài 83: Cho mp(P): 2x y 3z 4 0    và

mặt cầu (S): x2 y2 z2 6x 2y 2z 3 0    Lập phương trình mp(Q) song song với mp(P) và tiếp xúc với (S)

Bài 84: Cho mặt cầu (S): x2 y2 z2  2x 4y 6z 0  

a Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

b Xét vị trí tương đối của mp(P): x y z k 0    tùy theo giá trị của k

c Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua M(1, 1, 1) và N(2, -1, 5)

d Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại O

e Tìm bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng Oxy

Bài 85: Cho mặt cầu (S): (x 1) 2 (y 1) 2 z2 11 và hai đường thẳng :

a Viết phương trình mặt phẳng song song với (d1), (d2) và tiếp xúc với (S)

b Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua tâm (S) đồng thời cắt (d1) và (d2)

Bài 86: Viết phương trình mặt cầu đi qua A(3, -1 , 2), B( 1, 2, 1) và có tâm nằm trêntrục Oz

Bài 87: Cho bốn điểm A(1, -1, 1), B(-2, 1, 3), C(4, -5, -2) và D(-1, 1, -2)

a Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B

b Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Suy ra ABCD là một tứ diện