Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Hình Học 10, các emhọc sinh được tiếp cận với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.. Với Phương pháptọa độ trong mặt

MỤC LỤC

Trang

Các kí hiệu thường dùng 2

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ 1/ Lí do chọn đề tài 3

2/ Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài 3

PHẦN THỨ HAI: QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1/ Cơ sở lí luận 4

2/ Cơ sở thực tiễn 4

3/ Nội dung của đề tài 6

3.1/ Các dạng phương trình đường thẳng 6

3.2/ Một số bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 7

3.3/ Một số bài toán thường gặp về giải tam giác bằng PPTĐ trong mặt phẳng 8

3.4/ Một số bài toán tham khảo về giải tam giác bằng PPTĐ trong mặt phẳng 19

3.5/ Bài tập tự luyện 20

PHẦN THỨ BA: KẾT QUẢ 22

PHẦN THỨ TƯ: KẾT LUẬN 23

PHẦN THỨ NĂM: ĐỀ XUẤT 24

PHẦN THỨ SÁU:TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

Trong tài liệu này ta cũng sử dụng một số kí hiệu sau:

 A, B, C: các đỉnh của tam giác ABC

 AB, BC, CA: cạnh và phương trình các cạnh của tam giác ABC

 hA, hB, hC: phương trình các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C

 mA, mB, mC: phương trình các đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C

 lA, lB, lC: phương trình các đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C

 tAB, tAC, tBC: phương trình các đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC

 S, p: lần lượt là diện tích, nửa chu vi của tam giác ABC

 R, r: lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC

 G, H: lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC

 M = d1 ∩ d2: Tọa độ M là giao điểm của d1 và d2

 Vtcp: vectơ chỉ phương

 Vtpt: vectơ pháp tuyến

Phần thứ nhất : ĐẶT VẤN ĐỀ

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Hình Học 10, các emhọc sinh được tiếp cận với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Với Phương pháptọa độ trong mặt phẳng các em được trang bị một số kiến thức và bài toán cơ bản vềlập phương trình một đường thẳng như: Lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm,lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ chỉ phương, lập phươngtrình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ pháp tuyến,… Do vậy nếu gặp một bàitoán đã có đầy đủ giả thiết của các bài toán cơ bản thì các em chỉ cần áp dụng côngthức là có ngay kết quả, song trong thực tế các kỳ thi hết cấp và thi tuyển sinh vàoĐại học - Cao đẳng - THCN, các em có thể gặp phải các bài toán về giải tam giáctrong mặt phẳng (tức là phải xác định các đỉnh, trung điểm, trọng tâm, trực tâm, lậpphương trình các cạnh, các đường cao, các đường trung tuyến, trung trực và phângiác,…của tam giác khi đã biết một số các yếu tố tương ứng) và thực tế là khi gặpcác bài toán dạng này chỉ có 1 số ít các em học sinh biết phương pháp giải, song cáchtrình bày và các lời giải còn chưa gọn gàng, sáng sủa Tại sao lại như vậy?

Lý do chính ở đây có thể là: trong chương trình SGK Hình Học 10 hiện hành,kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày ở học kì II và lượngcác bài tập dạng này chưa được đề cập thường xuyên trong sách giáo khoa hoặc cóthể chưa đề cập đến Mặt khác nếu như trong các giờ dạy của mình, các thầy cô giáokhông đưa thêm các bài tập dạng này và phương pháp giải tương ứng thì các em họcsinh không thể giải được các bài toán nói trên

Với lý do đó, cùng với kinh nghiệm của mình sau 1 thời gian giảng dạy và bồidưỡng kiến thức cho học sinh tôi đã khai thác, tổng kết, hệ thống hóa lại các kiến

thức cơ bản, đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Đề xuất và giải quyết các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” cũng ra đời từ đó để

cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp và làm tài liệu tham khảo cho các em họcsinh

Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh cómột cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải các bài toán về giải tam giác trongmặt phẳng

2 PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:

Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10

hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán Các thầy cô

và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt vàgiải quyết các bài tập cụ thể

Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một khối lượng lớn các bài toánvới tương ứng các bài tập tự luyện Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xétgiúp thầy cô và các học sinh có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưunhất, để có được những lời giải gọn gàng nhất./

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

Phần thứ hai QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I CƠ SỞ LÍ LUẬN

Những bài toán hình học cùng với sự phát triển của nó đã và sẽ không ngừng dẫn đến

sự chuyển hóa một số hướng nào đó thành những lĩnh vực mới về tính chất của hìnhhọc

Cùng một vấn đề của bài toán ta có thể sử dụng phương pháp hình học hoặc phươngpháp giải tích hoặc bằng sự kết hợp của cả hai để giải quyết

Với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng ta có thể làm cho hình học thoát rakhỏi lối tư duy trực quan nhằm hướng tới sự khái quát hóa của toán học trong cáclĩnh vực khác

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng với kiến thức gọn nhẹ, đơn giản giúp học sinh

có thể giải bài toán giải tam giác một cách nhẹ nhàng Phương pháp tọa độ trong mặtphẳng không những cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải quyết bài toán

mà còn tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy nâng cao khả năng suyluận, luôn biết nhìn nhận sự việc và hiện tượng xung quanh với sự vận động và biếnđổi của chúng để nghiên cứu tìm tòi khám phá tạo cơ sở cho sự ra đời của nhữngphát minh trong tương lai

II CƠ SỞ THỰC TIỄN :

Có rất nhiều cách khác nhau để tiếp cận và tìm hiểu kiến thức thực tế của họcsinh trước khi thực hiện đề tài Khi giảng dạy trên lớp cũng như bồi dưỡng học sinh,tôi đã đưa vào một số bài toán sau ( các câu hỏi trong mỗi bài toán được đưa ra theotrật tự: giải xong câu hỏi này sẽ đặt vấn đề để có câu hỏi tiếp theo) nhằm kiểm trakiến thức của các em học sinh

Bài toán 1:

Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(2, 3), B(4, -1), C(4, 5)

a) Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA của tam giác?

b) Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác?

c) Lập phương trình các đường trung bình của tam giác?

d) Lập phương trình các đường cao của tam giác?

e) Lập phương trình các đường trung trực của tam giác?

f) Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC?

g) Lập phương trình đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC?

h) Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC?

i) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC?

Bài toán 2:

Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết đỉnh B(-4,-5) và 2 đường cao cóphương trình lần lượt là: 5x+3y-4 = 0, 3x+8y+13 = 0

a) Lập phương trình đường cao còn lại của tam giác?

b) Tìm tọa độ 2 đỉnh A và C của tam giác?

c) Lập phương trình 3 cạnh của tam giác?

Bài toán 3:

Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, lập phương trình các đường phân giác trongcòn lại của tam giác ABC, biết đỉnh A(1, 2), phân giác trong của góc B và trungtuyến từ đỉnh C có phương trình lần lượt là: x – y - 3 = 0, x + 4y + 9 = 0

*Với bài toán 1: thì các câu hỏi a), b), c), d), e), h) là tương đối cơ bản bởi đây chính

là các bài toán đã có phương pháp giải tổng quát:

- câu a, b, c): sử dụng phương trình đường thẳng qua 2 điểm

- câu d, e): sử dụng phương trình đường thẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến

- câu h): tọa độ trọng tâm G có thể tính được theo tọa độ 3 đỉnh A, B, C hoặc giải hệphương trình tạo bởi các đường trung tuyến đã lập được trong câu b) Còn tọa độ trựctâm H tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường cao

- câu f), g): là tương đối khó với các em học sinh, không phải đơn giản để học sinhnào cũng có thể giải được kể cả các em có lực học khá

- câu i): Tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể tìm được bằng cáchgiải HPT tạo bởi các trung trực của tam giác, còn tâm J của đường tròn nội tiếp cóthể tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường phân giác trong của các góctrong tam giác ( ngoài phương pháp này còn có các cách giải khác nữa)

*Với bài toán 2: rõ ràng bài toán này bắt đầu buộc học sinh phải tư duy để xác định

được 2 đường cao đã cho được xuất phát từ đỉnh nào của tam giác( ở đây có thể thấyrằng tọa độ đỉnh B không thỏa mãn 2 PT đường cao đã cho nên ta có thể đặt:

hA: 5x + 3y - 4 = 0, và hC: 3x + 8y + 13 = 0), sau khi đã xác định rõ ràng được giảthiết của bài toán thì nói chung yêu cầu của bài toán 2 không khó khăn gì nữa(bởiđây cũng là các bài toán cơ bản)

*Với bài toán 3: đây là bài toán có lẽ là khó nhất trong 3 bài toán bởi để giải quyết

được bài toán này phải sử dụng đến việc xác định điểm đối xứng của điểm quađường( phải giải quyết 2 bài toán trung gian để có kết quả)

Đến đây hẳn quý thầy cô và các em học sinh cũng đã nhận thấy rằng việc hệ

thống kiến thức cùng với việc đề xuất và giải quyết các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là thật cần thiết phải không?.

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

- Nếu A = 0, B0, thì d có PT dạng: By + C = 0 (d // hoặc trùng Ox).

- Nếu A 0, B = 0, thì d có PT dạng: Ax + C = 0 (d // hoặc trùng Oy).

- Nếu C = 0, thì d có PT dạng: Ax + By = 0 (d đi qua gốc tọa độ O(0; 0)).

bt y y

at x x

- Đường thẳng d có Vtcp u =(a; b) và đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ).

- Với mỗi giá trị t = t 0 tùy ý, ta có M(x 0 + at 0 ; y 0 + bt 0 ) d

- Nếu d có Vtcp u =(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0.

- Khử t trong PTTS của d ta có được PTTQ ; ngược lại đặt x =f(t) ( hoặc y = f(t))

trong PTTQ ta sẽ có được PTTS của d

1.3 Phương trình chính tắc:

y y a

- Đường thẳng d có Vtcp u =(a; b) và đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ).

- Rút t từ PTTS ta được PTCT; Thu gọn PTCT của d ta được PTTQ.

- Nếu d có Vtcp u =(a; b) mà a.b = 0 thì d không có phương trình chính tắc.

- Quy ước: nếu a = 0 thì d có PT: x – x 0 = 0, nếu b = 0 thì d có PT: y – y 0 = 0.

1.4 Phương trình đoạn chắn:

a) Dạng: b 1

y a

2 Một số bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng

trong mặt phẳng:

2.1 Bài toán 1: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ chỉ phương.

Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có véc tơ chỉ phương u=(a; b) sẽ cóphương trình dạng:

y y a

0

R t bt y y

at x x

2.2 Bài toán 2: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ pháp tuyến.

Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có véc tơ pháp tuyến n=(A; B) sẽ cóphương trình dạng:

- Tổng quát: A(x – x 0 ) + B( y – y 0 ) = 0.

- Tham số:

) ( 0

At y y

Bt x x

At y y

Bt x x

x x

2.3 Bài toán 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc.

Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc k sẽ có phương trình dạng: y = k(x – x0) + y0

Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có phương trình dạng: y = kx + m.

2.4 Bài toán 4: Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) sẽ có phươngtrình:

1 2

1 1

2

1

y y

y y x x

x x

- Đường thẳng d qua A, B sẽ có véc tơ chỉ phương AB = (x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 )

- Đường thẳng d qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) sẽ có phương trình dạng:

2.5 Bài toán 5: Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng.

Đường thẳng d qua giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau

d1:A1x + B1y + C1 = 0 và d2: A2x + B2y + C2 = 0 sẽ có phương trình dạng:

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

m(A 1 x + B 1 y + C 1 ) + n(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0 (điều kiện: m 2 + n 2 0)

Chú ý: Sử dụng phương pháp này ta không phải tìm tọa độ giao điểm của haiđường thẳng

2.6 Bài toán 6: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.

Đường thẳng d song song với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương trình

dạng: Ax + By + m = 0.

Chú ý: Nếu d song song với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có

phương trình dạng: y = kx + n (Do hai đường thẳng song song có hệ số góc k bằng nhau).

2.7 Bài toán 7: Đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương trình

2.8 Bài toán 8: Đường thẳng tạo với đường thẳng cho trước một góc  .

Đường thẳng d tạo với đường thẳng: y = k1x + m1 một góc  , sẽ có hệ số góc k

được xác định bởi công thức:

1 1

2.9 Hệ quả của bài toán 7:

a) Hệ quả 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng d

Cách giải: - Lập PT đường thẳng  qua điểm A và vuông góc với d

- Điểm H cần tìm chính là giao điểm của d và .

b) Hệ quả 2: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua đường thẳng d

Cách giải: - Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên d (hệ quả 1)

- Điểm A’ cần tìm được xác định bởi: H là trung điểm của AA’

3 Một số bài toán thường gặp về giải tam giác bằng phương

pháp tọa độ trong mặt phẳng :

III.1 Bài toán 1: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C?

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản nhất về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng giải

quyết được một số yêu cầu của giả thiết như:

- Lập phương trình cạnh AB: qua 2 điểm A và B

- Lập phương trình đường cao hA: qua A và có vectơ pháp tuyến BC

- Lập phương trình đường trung tuyến mB: qua B và trung điểm của AC

- Lập phương trình trung trực của cạnh AB: qua trung điểm AB và  AB

- Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh A, B, C

III.2 Bài toán 2: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 trung điểm M, N, P của 3

cạnh AB, BC, CA?

Phương pháp:

- Cạnh AB qua M và có vectơ chỉ phương là NP

- Cạnh CB qua N và có vectơ chỉ phương là MP

- Cạnh AC qua P và có vectơ chỉ phương là NM

Nhận xét: Ta có thể sử dụng công thức tọa độ trung điểm để lập hệ PT có ẩn là tọa độ

của 3 đỉnh để có kết quả

Ví dụ: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của 3 cạnh

có tọa độ M2;1 , N5;3 , P3; 4  

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết của bài toán ta giả sử M là trung điểm của AB, N là trung điểm BC, P

là trung điểm CA

III.3 Bài toán 3: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 3 cạnh AB, BC, CA

của tam giác?

Nhận xét: đây cũng là bài toán cơ bản về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng giải

quyết được một số yêu cầu của giả thiết như:

- Đỉnh A, B, C lần lượt là giao điểm của AB và AC; của AB và BC; của AC vàBC

- Đường cao hA qua giao điểm của AB, AC đồng thời vuông góc với BC

Ví dụ: Cho tam giác ABC biết phương trình các cạnh lần lượt là: x y  2 0 ,

3x y   5 0, x 4y 1 0  Viết phương trình các đường cao của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết của bài toán giả sử phương trình các cạnh của tam giác ABC là:

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

AB x y   BC x y   CA x y  khi đó A AB AC nên tọa

độ của A thỏa mãn hệ phương trình

làm vectơ pháp tuyến hay pt h B: 8x2y39 0

Đường cao của ABC hạ từ đỉnh C sẽ qua C và vuông góc với AB nên nó nhận

làm vectơ pháp tuyến hay pt h C:11x11y29 0

III.4 Bài toán 4: Gi i tam giác ABC khi bi t t a đ 1 đ nh và ph ng trình 2 đ ng trungết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung ọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung ộ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung ỉnh và phương trình 2 đường trung ương trình 2 đường trung ường trung

tuy n xu t phát t 2 đ nh còn l i?ết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung ất phát từ 2 đỉnh còn lại? ừ 2 đỉnh còn lại? ỉnh và phương trình 2 đường trung ại?

Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + mC + mB

Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho 1 đỉnh và 2

trung tuyến trong đó có 1 trung tuyến xuất phát từ đỉnh đã cho

Ví dụ: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A1;3 và hai trung tuyến có phương trình lần lượt là: x 2y 1 0,y1 0 .

Hướng dẫn giải:

Nhận xét thấy 1 2.3 1 0, 0.1 3 1 0      nên A không thuộc 2 đường trung tuyếnhay 2 đường trung tuyến trên xuất phát từ B và từ C, không làm mất tính tổng quátgiả sử m x B:  2y 1 0, m C:y1 0 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó

1;1

B C

G m m  G

.Gọi M là trung điểm của BC khi đó ta có GA 2.MG

hay M(1;0)

mBM

mC

CB

AG

Mặt khác B m B, C m C nên B 1 2 ; , t t C t ';1 mà M là trung điểm của BC

BM MC

   

hay

1' 5

t t

III.5 Bài toán 5: Gi i tam giác ABC khi bi t t a đ 1 đ nh và ph ng trình 2 đ ng cao hết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung ọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung ộ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung ỉnh và phương trình 2 đường trung ương trình 2 đường trung ường trung ại?

t 2 đ nh còn l i?ừ 2 đỉnh còn lại? ỉnh và phương trình 2 đường trung ại?

Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + hC + hB

- Cạnh AB qua đỉnh A và vuông góc với hC

- Cạnh AC qua đỉnh A và vuông góc với hB

- Đỉnh B = AB∩ hB; Đỉnh C = AC ∩ hC

Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho 1 đỉnh và 2

đường cao trong đó có 1 đường cao xuất phát từ đỉnh đã cho

Ví dụ: Cho tam giác ABC có đỉnh C(1;1) và phương trình hai đường cao lần lượt

là 2x3y 6 0; 2  x y  8 0 Xác định tọa độ các đỉnh và lập phương trình đường cao còn lại của tam giác ABC.

A

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

Suy ra B h BBC hay B  17; 26 , A h AAC hay A3;0

Phương trình đường cao còn lại là h C h C qua C và vuông góc với AB nên nhận

 20; 26

AB  

làm vtpt, hay h C :10x13y 23 0

III.6 Bài toán 6: Gi i tam giác ABC khi bi t ph ng trình 1 c nh và ph ng trình 2 đ ngết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung ương trình 2 đường trung ại? ương trình 2 đường trung ường trung

cao h t 2 đ nh mà c nh đó đi qua?ại? ừ 2 đỉnh còn lại? ỉnh và phương trình 2 đường trung ại?

Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho AB + hA +

hB

- Đỉnh A = AB ∩ hA, đỉnh B = AB ∩ hB

- Cạnh AC qua A và vuông góc với hB

- Cạnh BC qua B và vuông góc với hA

Ví dụ: Lập phương trình 2 cạnh còn lại của tam giác ABC biết AB: 4x y  3 0,

III.7 Bài toán 7: Gi i tam giác ABC khi bi t ph ng trình 1 c nh và 2 đ ng trung tuy n?ết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung ương trình 2 đường trung ại? ường trung ết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung

Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:

- Dạng 1: Phương trình 1 cạnh và 2 đường trung tuyến

xuất phát từ 2 đỉnh mà cạnh đó đi qua(ví dụ: BC +

mB + mC)

- Dạng 2: Phương trình 1 cạnh và 2 đường trung

tuyến, trong đó có 1 trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh

mà cạnh đó không đi qua (ví dụ: BC + mB + mA)

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự

- Ta có tọa độ trọng tâm G = mC ∩ mB

hA

hBCB

A

mB

mC

CB

AG

- Đỉnh B = mB ∩ BC, đỉnh C = mC ∩ BC.

- Tọa độ A suy từ: OA3OG OB OC

Ví dụ: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC:5x y  28 0 , phương trình

2 đường trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là:

x

A y

III.8 Bài toán 8: Gi i tam giác ABC khi bi t 1 đ nh, ph ng trình 1 đ ng trung tuy n và 1ết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung ỉnh và phương trình 2 đường trung ương trình 2 đường trung ường trung ết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung

đ ng phân giác trong?ường trung

Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:

- Dạng 1: đường phân giác trong và trung tuyến

xuất phát từ cùng 1 đỉnh và không trùng với đỉnh

đã cho (ví dụ: A + lB + mB)

- Dạng 2: đường phân giác và trung tuyến xuất phát

từ 2 đỉnh phân biệt không trùng với đỉnh đã cho

(ví dụ: A + lB + mC)

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 2, dạng 1 được xét tương tự

- Do M  mC, B  lB  biểu diễn tọa độ M, B theo tham số

- Giải hệ PT: BM  MA  tham số  tọa độ B

- Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua lB A1BC

- Cạnh BC qua 2 điểm B, A1 đỉnh C = mC ∩ BC

Ví dụ: Lập phương trình cạnh AC của tam giác ABC biết đỉnh B(-5;3), phương

trình đường phân giác trong và trung tuyến xuất phát từ đỉnh C lần lượt là:

A