chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian

Phương trình mặt phẳng  Véc tơ nr r≠0 vuông góc với mặt phẳng α được gọi là VTPT của mặt phẳng α..  Véc tơ ur r≠0 có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng α được gọi là VTCP của m

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I KIẾN THỨC CĂN BẢN

1 Tọa độ của véc tơ và tọa độ của điểm

 Véc tơ ur =( ; ; )x y z ⇔ = +u xi y j zkr r r+ r

 Điểm M =( ; ; )x y z ⇔OMuuuur= +xi y j zkr r+ r

 Véc tơ 0 (0;0;0)r=

 Điểm A=(x y z A; A; A); B=(x y z B; B; B);C =(x y z C; C; C) thì

( B A; B A; B A)

uuur

 Tọa độ trung điểm I của AB: ; ;

 Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:

2 Các phép toán

Cho ( ) ( ' ' ')

; ; ; ; ;

u vr r± = ±x x y y z z± ± kur= kx ky kz ;

' ' '

x x

z z

 =



= ⇔ =

 =



r r

 ur

'

'

0

x kx

z kz

 =



 =



r r r

3 Tích vô hướng và tích có hướng của hai véc tơ

Trong không gian Oxyz cho ur =(x y z v; ; ;) r=(x y z'; ;' ')

3.1.Tích vô hướng của hai véc tơ

 Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véc tơ là một số: u vr r = u vr r .cos ,( )u vr r

 Biểu thức tọa độ: u v x xr r = '+y y '+z z '; ur⊥ ⇔vr u vr r = ⇔0 x x '+y y '+z z ' =0

 Độ dài véc tơ: 2 2 2

 Góc giữa hai véc tơ: ( ) ' ' '

cos ,

u v

r r

r r

r r

3.2.Tích có hướng của hai véc tơ

 Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ và được tính như sau

( ' ' ' ' ' ' )

r r

 Tính chất:

o u vr r, ⊥u u vr r r; , ⊥vr

o ur

cùng phương với vr⇔u vr r, =0r

o u vr r,  = u vr r .sin ,( )u vr r ( )∗

 Ứng dụng của tích có hướng:

o u vr r uur, , w

đồng phẳng u vr r uur r, w 0 ( ) = ∗ (ba véc tơ có giá song song hoặc nằm trên

một mặt phẳng)

o u vr r uur, , w

không đồng phẳng u vr r uur r, w 0 ( ) ≠ ∗ .

o Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ⇔uuur uuur uuurAB AC AD,  =0 ( )∗ (bốn điểm nằm trên một mặt phẳng)

o Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ⇔uuur uuur uuurAB AC AD,  ≠0 ( )∗ (bốn đỉnh của một tứ diện)

o Diện tích hình bình hành: S ABCD = uuur uuurAB AD,  ( )∗

o Diện tích tam giác: 1 , ( )

2

ABC

S∆ = uuur uuurAB AC ∗ ; 2 2 ( )2

ABC

S∆ = uuur uuurAB AC − uuur uuurAB AC

o Thể tích khối hộp: ' ' ' '

'

ABCD A B C D

V = uuur uuurAB AD uuuur ∗

o Thể tích tứ diện: 1 , AD ( )

6

ABCD

V = uuur uuur uuurAB AC ∗

4 Phương trình mặt cầu

Dạng 1: ( ) (2 ) (2 )2 2

x a− + y b− + −z c =R (1) , mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R

Dạng 2: x2+y2+ −z2 2Ax−2By−2Cz D+ =0 (2) , với điều kiện A2+B2+C2− >D 0là phương trình mặt cầu có tâm I(A; B; C) và bán kính R= A2+B2+C2−D

5 Phương trình mặt phẳng

 Véc tơ nr r≠0 vuông góc với mặt phẳng ( )α được gọi là VTPT của mặt phẳng ( )α .

 Véc tơ ur r≠0 có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( )α được gọi là VTCP của

mặt phẳng ( )α .

 Nếu u vr r,

là hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( )α thì u vr r,  = nr là một VTPT của mặt phẳng ( )α

 Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì uuur uuurAB AC,  = nr là một VTPT của mặt phẳng (ABC)

 Mặt phẳng ( )α đi qua điểm M x y z o( ; ; )0 0 0 và có VTPT nr =(A B C; ; ) có phương trình

A x x( − 0 ) +B y y( − 0 ) +C z z( − 0 ) 0 = ( )∗∗ .

 Phương trình dạng Ax By Cz D+ + + =0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng với VTPT nr =(A B C; ; ).

6 Phương trình đường thẳng

 Véc tơ ur r≠0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ được gọi là VTCP của đường thẳng ∆

 Đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y z o( ; ; )0 0 0 và có VTCP ur =(a b c; ; ), khi đó

+ Phương trình tham số là:

0 0 0

;( )

= +





 = +



, t gọi là tham số

+ Phương trình chính tắc là: x x0 y y0 z z0 (abc 0)

 Nếu hai mặt phẳng ( )α :Ax By Cz D+ + + =0và ( )β :A x B y C z D' + ' + ' + ' =0 giao nhau thì

hệ phương trình: ' ' ' '

0 0

Ax By Cz D

A x B y C z D



 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

∆ trong không gian

7 Khoảng cách

7.1 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và mp( )α :Ax By Cz D+ + + =0 thì:

( )

d M

A B C

7.2 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song

Cho đường thẳng ∆P( )α : Ax By Cz D+ + + =0, M x y z0( ; ; )0 0 0 là một điểm thuộc ∆

( )

A B C

7.3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng song song ( )α :Ax By Cz D+ + + =0 và ( )β :A x B y C z D' + ' + ' + '=0, khi đó

( ) ( )

A B C

trong đó M x y z0( ; ; )0 0 0 là một điểm ∈( )α

7.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M x( M;y z M; M) đến đường thẳng

0

0

= +





 = +



r

; được tính bởi CT:

( ) , 0

, u M M

d M

u

∆ =

r uuuuuur r

7.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Nếu đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và có VTCP ur=( ; ; )a b c

Đường thẳng ∆' đi qua điểm ' ' ' '

0( ;0 0; 0)

( ; ; )

( ) ' 0 0' '

'

, ,

,

u u M M d

u u

∆ ∆ =

ur uuuuuur r

ur r

Lưu ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm nằm

trênđường thẳng này đến đường thẳng còn lại, nghĩa là

( ) ( ) ' 0 0'

,

u M M

u

ur uuuuuur

ur , M0∈∆

8 Vị trí tương đối

8.1 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

D kD



≠



ur r P

D kD



=



ur r

+ ( )α và ( )β cắt nhau ⇔ ≠n knr ur' ⇔(A B C: : )≠(A B C': ': ')

+ ( )α và ( )β vuông góc vớ nhau ' ' ' '

8.2 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

0

0

= +





 = +



r

' ' ' 0

' ' ' 0

 = +



 = +



ur

Xét hệ phương trình

' ' '

' ' '

' ' '

( )

 + = +





 + = +



, khi đó

+

' '

u ku

 =



∆ ≡ ∆ ⇔ 



ur r

, hay hệ phương trình (I) có vô số nghiệm

+

' '

u ku

 =



∆ ∆ ⇔ 



ur r

u kur= urvà hệ (I) vô nghiệm

+ ∆ và ∆' cắt nhau ⇔ ≠u kur ur'và hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất

0 0

ur uuuuuur

r

+ ∆ và ∆' chéo nhau '

u ku

⇔ ≠r urvà hệ phương trình (I) vô nghiệm ( ' ' )

0 0

ur uuuuuur r

8.3 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng

0

0

= +





 = +



r

và mặt phẳng

Xét phương trình A x( 0+at)+B y( 0+bt)+C z( 0+ct)+ =D 0 ( )∗ ẩn là t, khi đó

+ ∆P( )α ⇔ phương trình (*) vô nghiệm (u nr r =0,M0∉( )α )

+ ∆ ⊂( )α ⇔ phương trình (*) có vô số nghiệm (u nr r =0,M0∈( )α )

+ ∆ và ( )α cắt nhau tại một điểm ⇔phương trình (*) có nghiệm duy nhất (u nr r ≠0)

Lưu ý: ∆ ⊥( )α ⇔ =u knr r

8.4 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt phẳng( )α :Ax By Cz D+ + + =0 và mặt cầu ( ) :S ( ) (2 ) (2 )2 2

(S) có tâm I a b c b( ; ; , án kính R) Gọi ( ( ) ) 2 2 2

d d I

+ Nếu d > ⇒R ( )α và (S) không giao nhau.

+ Nếu d= ⇒R ( )α và (S) tiếp xúc nhau tại một điểm H (( )α gọi là tiếp diện của mặt cầu

(S))

+ Nếu d< ⇒R ( )α và (S) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính

r = R −d và có tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên ( )α

Lưu ý: Để tìm tọa độ tâm H của đường tròn (C) ta làm như sau

- Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua I và vuông góc với ( )α .

- Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ gồm phương trình của ∆ và phương trình ( )α .

8.5 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Cho đường thẳng thẳng

0 0 0

:

= +





 = +



và mặt cầu (S):( ) (2 ) (2 )2 2

Gọi ( ) , 0

d d I

u

r uuuur

r , trong đó M x y z0( ; ; )0 0 0 ∈∆,ur=( ; ; )a b c là VTCP của ∆

+ Nếu d > ⇒R ∆ và (S) không có điểm chung

+ Nếu d = ⇒R ∆ tiếp xúc với (S) (∆ là tiếp tuyến của mặt cầu (S))

+ Nếu d< ⇒R ∆ cắt (S) tai hai điểm A, B (∆ gọi là cát tuyến của mặt cầu (S))

8.6 Vị trí tương đối giữa một điểm và mặt cầu

Cho điểm M x y z( ; ; )0 0 0 và mặt cầu (S):( ) (2 ) (2 )2 2

( ; ; , án kính R)

+ Nếu MI >R thì điểm M nằm ngoài mặt cầu (S)

+ Nếu MI =R thì điểm M nằm trên mặt cầu (S)

+ Nếu MI <R thì điểm M nằm trong mặt cầu (S)

9 Góc

9.1 Góc giữa hai đường thẳng

Nếu đường thẳng ∆ có VTCP ur =( ; ; )a b c và đường thẳng ∆' có VTCP ' ' '

( ; ; )

'

.

.

u u aa bb cc

a b c a b c

u u

ur r ur

9.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Đường thẳng ∆ có VTCP ur=( ; ; )a b c và mặt phẳng ( )α có VTPT nr=( ; ; )A B C thì

( )

.

u n Aa Bb Cc

u n

u n A B C a b c

r r

r r

r r

9.3 Góc giữa hai mặt phẳng

Nếu mặt phẳng ( )α có VTPT nr =( ; ; )A B C và mặt phẳng ( )β có VTPT ' ( ' ' ')

; ;

( ) ( )

'

.

.

n n AA BB CC

n n

A B C A B C

n n

ur r ur r

ur r

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Vấn đề 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TỌA ĐỘ CỦAVÉCTƠ, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho ar= −(1; 2;1), br= −( 2;1;1), cr=3ir+2rj k− r Tìm tọa độ các véctơ sau: a)ur=3ar−2br b)vr= − −cr 3br c)wuur r r= − +a b 2cr d) 3 2

2

r r r r

Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho ar= −(1; 1;0), br= −( 1;1; 2), c ir= −r 2rj k− r, d ir r=

a) xác định k để véctơ ur=(2; 2k−1;0) cùng phương với ar

b) xác định các số thực m, n, p để d ma nb pcr= r− r+ r

c) Tính a b ar r r, , +2br

Bài 3: Cho 2; 5; 3 , 3;7; 4 , A( ) (B ) (C x y; ; 6)

a) Tìm x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz Tính độ dài đoạn AB

c) Xác định tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MA MB+ nhỏ nhất

Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho (1; 2; )1

4

ar= − , br= −( 2;1;1), cr=3ir+2rj+4kr

a) Tính các tích vô hướng a br r

, c br r

Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc

b) Tính cos(a,b)r r

,cos(a,i)r r

Bài 5: Trong hệ tọa độ Oxy cho: A(1; 1;1 , − ) (B 2; 3;2 , − ) (C 4; 2;2 , − ) (D 3;0;1 , 1;2;3) (E )

a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật Tính diện tích của nó

b) Tính cos các góc của tam giác ABC

c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm A, B

d) Tìm tọa độ điểm M thỏa MA MBuuur uuur+ −2MCuuuur r=0

Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy cho: A(1; 1;1 , − ) (B 2; 3;2 , − ) (C 4; 2;2 − )

a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB

b) Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

d) Tìm tọa độ điểm E để B là trọng tâm của tam giác ACE

Vấn đề 2: TÍCH CÓ HƯỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Bài 1: Trong không gian Oxyz , tính tích có hướng u vr r, biết rằng:

a)ur= −(1; 2;1), vr= −( 2;1;1) b)ur= −( 1;3;1), vr=(0;1;1) c)ur= +4r ri j, v ir r= −2rj k−r

Bài 2: Trong không gian Oxyz , tính tích u vr r uur, w và kết luận sự đồng phẳng của các véc

tơ, biết rằng:

a) ur= −(1; 2;1), vr=(0;1;0), w (1; 2; 1)uur= −

b) ur= − −( 1; 1;1), vr=(0;0; 2), w (1; 2; 1)uur= − −

c) ur = +4ir rj, v ir r= −2rj k−r, w (5;1; 1)uur= −

Bài 3: Trong không gian Oxyz , Cho A(1; 1;1 ,− ) (B 2; 3;2 , − ) (C 4; 2;2 , − ) (D 1;2;3)

a) Chứng tỏ rằng A, B, C không thẳng hàng

b) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

c) Tính diện tích tam giác ABC

d) Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 4: Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có:

(2; 1;1 , 2; 3;2 , ) ( ) (4; 2;2 , 1;2; 1 ,) ( )

a) Tính diện tích tam giác SAB

b) Tính diện tích tứ giác ABCD

c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD Từ đó suy ra khoảng cách từ S đến mp(ABCD)

d) Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)

Bài 5: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết rằng:

(1;2; 1 , ) ( 1;1;3 , ) ( 1; 1;2 ’ 2; 2; 3) ( )

A − B − C − − và D − −

a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại

b) Tính thể tích hình hộp

c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC Tính tỉ số ' ' ' '

' ' '

ABCD A B C D

A A B C

V V

d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’

Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU

Bài 1: Trong không gian Oxyz , tìm tâm và bán kính mặt cầu

a) (x−2)2+ +(y 1)2+ −(z 2)2 =9 b) 2 2 2 25

2

Bài 2: Trong không gian Oxyz , cho A(1;3; 7 , 5; 1;1− ) (B − ).

a) Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB

b) Lập phương trình mặt cầu đường kính AB

c) Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy

Bài 4: Trong không gian Oxyz , hãy lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm: A(1;2; 4 ,− ) (1; 3;1 , ) (2;2;3)

B − C và có tâm nằm trên mp Oxy

Bài 5: Trong không gian Oxyz , cho A(2; 1;6 , − ) (B − − −3; 1; 4 , ) (C 5; 1;0 , − ) (D 1;2;1)

Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho A(1;1;1 , 1;2;1 , ) (B ) (C 1;1;2 , ) (D 2;2;1)

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

b) Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ở câu a) lên các mp (Oxy) (, Oyz )

a) Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

c) Viết phương trình mặt cầu cắt mp(ABC) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính lớn nhất

Bài 6: Chứng tỏ rằng phương trình: x2+y2+ +z2 4mx−2my+4z m+ 2+4m=0 luôn luôn

là phương trình của một mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất

Bài 7: Chứng tỏ rằng phương trình: x2 +y2 + +z2 2 os c α x−2sin α y+4z− −4 4sin2α =0 luôn là phương trình của một mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu là lớn nhất

Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Bài 1: Trong không gian Oxyz , cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)

a) Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ nr(1; 1;5)− làm vectơ pháp tuyến

b) Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mp đó là ar=(1; 2; 1),− br=(2; 1;3)−

c) Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB

d) Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC

e) Viết phương trình mp (ABC)

Bài 2: Trong không gian Oxyz , cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)

a) Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)

b) Viết phương trình mp qua A và song song với mp ( )P : 2x y− − − =3z 2 0

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng

( )Q : 2x y− +2z− =2 0

d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ( )R : 3x y− − − =3z 1 0

e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz

Bài 3: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua M(2;1;4) và cắt các trục Ox,

Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho: OA = OB = OC

Bài 4: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua M(2;2;2) cắt các tia Ox, Oy,

Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

Bài 5: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy,

Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC

Bài 6: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD, biết rằng: A(2; 1;6 , − ) (B − − −3; 1; 4 ,) (5; 1;0 , ) (1;2;1 )

a) Viết phương trình mp chứa A và song song với mp (ABC)

b) Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó

Bài 7: Trong không gian Oxyz , cho mp(P): 2 x y− +2z− =2 0 và hai điểm A(2; 1;6 ,− )

( 3; 1; 4 )

B − − −

a) Tính khoảng cách từ A đến mp (P)

b) Viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp (P ) một góc có số đo lớn nhất

c) Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp (P)

Bài 8: Trong không gian Oxyz , cho ba mặt phẳng:

( )α : 2x y− −2z− =1 0; ( )β :x−2y z+ − =1 0;( )γ : 2− + +x y 2z− =3 0

a) Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?

b) Tìm quỹ tích các điểm cách đều ( )α và( )γ

c) Tính khoảng cách giữa hai mp ( )α và( )γ

d) Tìm quỹ tích các điểm cách ( )β một khoảng bằng 1

e) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với 2 mp( )α và ( )γ

Bài 9: Trong kh.gian Oxyz , cho 2 mặt phẳng ( )α : 2x y− − − =2 1 0;z ( )β :x−2y z+ − =1 0

a) Tính cosin góc giữa hai mp đó

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với cả hai mp đó

c) Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox

Bài 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2x y− +2z− =3 0 và mặt cầu (C ): (x−1)2+ +(y 1)2+ −(z 2)2 =25

a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (C ) cắt nhau Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến

b) Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P)

Bài 11: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( )α : 2x−2y z+ − =5 0 và mặt cầu (C)(x−1)2+ +(y 1)2+ −(z 2)2 =25

a) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với mặt phẳng ( )α

b) Tính góc giưa mp( )α với Ox

c) Lập phương trình mp đi qua hai A(1;0;1) điểm B(1;-2;2) và hợp với mặt phẳng ( )α một góc 600

Bài 13: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(1;1;2 , 1;2;1 , ) (B ) (C 2;1;1 , ) (D 1;1; 1− )

a) Viết phương trình mặt phẳng ABC

b) Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)

Bài 14: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và

qua giao tuyến của hai mặt phẳng x y z− + − =4 0 3và x y z− + − =1 0

Bài 15: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai

mpx+2z− =4 0 và x y z+ − + =3 0 đồng thời song song với mặt phẳng x y z+ + =0

Bài 16: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt

phẳng 3x y z− + − =2 0 và x+4y− =5 0 đồng thời vuông góc với mp 2x y− + =7 0

Bài 17: Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2.

Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, C’D’và D’A’

a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (IJK) vuông góc với mặt phẳng (CC’K)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (JAC) và (IAC’)

c) Tính khoảng cách từ I đến mp(AJK)

Bài 18: Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

2 ;

AB SA= = a AD a= Đặt hệ trục Oxyz sao cho các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB, AD, AS

a) Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS Tìm tọa độ của E

b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)

c) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

d) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)

e) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

Bài 19: Trong không gian Oxyz , cho tam giác đều ABC cạnh a; I là trung điểm của BC.

D là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Dựng đoạn SD = 6

2

a vuông góc với mp (ABC) Chứng minh rằng:

c) Tính thể tích hình chóp S.ABC

Vấn đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong không gian Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng:

a) Đi qua A(1; 2; -1) và có vectơ chỉ phương là ar= −(1; 2;1)

b) Đi qua hai điểm I(-1; 2; 1), J(1; -4; 3)

c) Đi qua A và song song với đường thẳng 1 2 1

d) Đi qua M(1; 2; 4) và vuông góc với mặt phẳng 3x y z− + − =1 0

Bài 2: Trong không gian Oxyz , tìm phương trình chính tắc của đường thẳng:

a) Qua điểmA(3; 1;2− ) và song song với đường thẳng

1 2 3

= −



 = +



 = −



b) Qua A(3; 1;2− ) và song song với hai mặt phẳng x+2z− =4 0; x y z+ − + =3 0 c) Qua điểm M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng:

(d1):

1 2 3

= −



 = +



 = −



và (d2): 1 2 1

−

Bài 3: Cho tứ diện ABCD, biết rằng: A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)

a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD)