Thể tích khối đa diện hình học

Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học Thể tích khối đa diện hình học

BÀI GIẢNG SỐ 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

I Tóm tắt lý thuyết

i) Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì thể tích tính theo công thức :V=

3

1

S đáy h

ii) Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đường cao trên đáy

Ta có một số nhận xét sau:

 Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

 Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao

là tâm đường tròn nội tiếp đáy

 Nếu hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó

 Nếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường cao của khối chóp sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng đó

 Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp

là đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên

II Bài tập mẫu

1 Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Bài tập mẫu 1:

Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 ,

SA = a, SA  (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AD và SC {I} = BM ∩ AC Tính thể tích hình chóp ANIB

Giải:

SA (ABCD)

Gọi {O} = AC ∩ BD

Trong ∆SAC có ON // SA ⇒ON  (ABCD)

⇒ NO  (AIB)

Ta có NO = 1

a

S A 

Tam giác ABD có I là trọng tâm

2

.

a

2

3

2

3 6

a a

a

d vtt





Bài tập mẫu 2:

Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA  (ABCD); (SA, (ABCD) =

60 o Điểm M thuộc cạnh SA, AM = a33 (BCM) ∩ SD ={ N} Tính thể tích hình chóp S.BCMN

Giải:

60

SA B 

∆SAB vuông tại A có AM =

3

3

a

, AB = a ⇒

30

Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp

S.BCMN

Ta có SH  SB sin 300  a

3

M N

S A

2

B C M N

a

a K

O C

D

a

N

I

B

S

A

D

C B

N M

H

a

Bài tập mẫu 3:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy

ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối

tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất

Giải:

Ta có BM  SH (gt)

BM  SA (Vì SA ( ABCD) ⇒BM  AH

2

.

A B M A B C D

A H



Trong ∆SAH có SH =

2 2

2 2

2 2

x a

a h

AH SA







 Trong ∆BAH có

BH=

2 2 2

2

4 2

2 2

x a

ax x

a

a a

AH AB













3

ABH

a x h



2

a x



 Vậy V SABHlớn nhất khi và chỉ khi x a

2 Dạng 2: Khối chóp đều

Bài tập mẫu 4:

Cho hình chóp đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Chứng minh rằng chân

đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC Tính thể tích khối chóp đều

SABC

Giải:

C A

S

M D

B

H

Dựng SO(ABC) Ta có: SA = SB = SC

Suy ra: OA = OB = OC Vậy O là tâm của

tam giác đều ABC

Ta có tam giác ABC đều nên:

AO AH  

Trong tam giác SAO có:

2

SO SA OA  SO

Vậy:

3

SABC ABC

a

V  S SO

a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ABC Tính thể tích khối chóp MABC

Giải:

a Gọi O là tâm củaABCDO(ABC)

Ta có:

2 3 4

ABC

a

S 

3

a

DO DC OC 

V S DO

b Kẻ MH/ /DO Khoảng cách từ M đến

a

MH  DO

V S MH

3 Dạng 3: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy

(SAB)  (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Tính VSBMDN

Giải:

Trong ∆SAB h¹ SH AB

a

B

D

M

H

a

l

2a

A

B

C S

H O

(SAB)(ABCD)

⇒SH (ABCD)SH (BMDN)

2

.2 2 2

Trong tam giác SAB có: 2 2 2 2

AB SA SB  a   AB vuông tại S

4 3

1 1 1

1

1

a a

a SB SA

SH     

⇒ SH = a23

3 .

đều Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD Tính thể tích hình chóp CMNP

Giải:

S

C

H

B

M

N

- Gọi E là trung điểm AD ⇒ SE AD

Ta có: (SAD)  (ABCD) ⇒ SE  (ABCD)

- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD)

⇒ MF // SE Dễ thấy F ∈ EB và F là trung

điểm EB

Ta có MF = 21 SE = 12.a23  a43

2

S  S  S  a

3

1

3

2 3 3

1 1

3 8 4 96

.

a



Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ

để giải với gốc toạ độ O

0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES

4 Dạng 4: Tỷ số thể tích tứ diện

Bài tập mẫu 8:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, ACa 2, SA vuông góc với đáy ABC, SAa

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ) qua AG và song song với BC cắt SB,

SC lần lượt tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Giải:

A

C

N a

D

P

B M

F E

S

y

x z

a) Ta có: .

1 3

S ABC ABC

V  S SA và SAa

ABC

 cân có: ACa 2 ABa

2

1

2

ABC

3 2

1 1

S ABC

a

b) Gọi I là trung điểm của BC

G là trọng tâm, ta có: 2

3

SG

SI 

2

3

4

9

SAMN

SABC

Vậy:

3

SAMN SABC

a

Bài tập mẫu 9:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy SAa 2 Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Chứng minh SC(AB D' ')

c) Tính thể tích khối chóp SA’B’C’D’

Giải:

p

G

B

S

M

N

I

a) Ta có:

3

S ABCD ABCD

a

V  S SA

b) Ta có: BC(SAB)BCAB' và

SB AB AB  SBC nên SC AB'

Tương tự: SCAD' Vậy SC (AB D' ')

c) Ta có: ' ' ' '

(*)

SAB C

SABC

V  SB SC

Tam giác SAC vuông cân nên: ' 1

2

SC

SC 

Ta có:

SB SB  SA SB  a 



Từ (*) ta có:

' '

' '

SAB C

SAB C SABC

V

Vậy:

3 ' ' ' ' '

2 2 2

9

SAB C D SAB C

a

Cho khối chóp tứ giác đều SABCD Một mặt phẳng ( ) qua A, B và trung điểm M của

SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó

Giải:

I

O

C

S

D'

B' C'

Kẻ MN/ /CD N( SD) thì hình thang

ABMN là thiết diện của khối chóp khi bị cắt

bởi mặt phẳng (ABM)

Ta có:

SAND

SANB SADB SABCD SADB

1 1 1

2 2 4

SBMN

SBCD

8

SABMN SANB SBMN SABCD

8

ABMN ABCD SABCD

Vậy:

.

3 5

SABMN

ABMN ABCD

V

5 Dạng 5: ứng dụng thể tích để tính khoảng cách

=2a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Giải:

3 3.sin 60

o ABC

3

a

V  SA S 

Gọi M là trung điểm BC

AM  BC

BC SA ⇒BC  (SAM) ⇒ BC  SM

AM = a 32. 3  32a

∆SAM vuông tại A có

O

S

N

M

B A

S

C

M

a 3 2a

SM2 = SA2 + AM2 = 4a2 + 49 a2 = 254 a2

⇒ SM = 25 a

S∆SBC = 12 SM.BC = 523a2

3

3 3

2 2 3 5

3 2 3





a S

V

SBC

SABC

a

Bài tập mẫu 12:

Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b, các cạnh còn lại bằng c Tính khoảng cách từ A đến mặt

phẳng (BCD)

Giải:

∆ACD = ∆BCD Gọi M là trung điểm CD

⇒AM = BM, DC  (ABM)

Gọi N là trung điểm AB ⇒ MN  AB

MN2 = BM2 - BN2 = c2 + 4 4 4 4

2 2 2 2

b    

S∆AMN = 2a. 4c2 2b2 a2 4a 4 c2 b2 a2











VABCD = 2VBCMA = 2.31CM.S∆ABM

= 32.b2.4a 4c2 b2 a2  12ab 4c2 b2 a2

S∆BCD = BM.CD = 21 c 2 b42 b = 4b 4c 2 b2

Ta có:

2 2 2 2

2 4

2 2 2 4

4

4 4

.

4 3

b c a b c b

c

a b c S

V

a b

ab BCD

ABCB



















III Bài tập vận dụng

(SB, (ABC)) =  ; (SB, (SAD)) =  Tính VSABC

Gợi ý:



A

N

B

C

D

M a

M là trung điểm SB Tính thể tích khối chóp MABC

Gợi ý:

3

M ABC ABC

SA=a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM bằng .Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC

b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI

Gợi ý: a)

3

max 12

a

3

sin 2 24(1 sin )

S AKI

a







phẳng ABC vuông góc với mặt phẳng BCD, AD hợp với mặt phẳng BCD một góc 600 Tính thể tích khối chóp ABCD

Gợi ý:

3

a

V  S AH  BC HD AH 

mặt phẳng đáy và SAa 3 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính thể tích khối chóp S.AMN

Gợi ý:

3

,

1

S AMN AMN

a

a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x

b)Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD

Gợi ý: VABCD = 6

2

x

4

2 4

4

x

x

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

3 3

2 3 3 3

2

3





a S

V

SBC SABC

a