Ví dụ1:Tìm sốnguyên dương nsao cho thoảmãn 2 0 1 2 2 2 2 121 ... 2 3 1 1 n n n n n n C C C C n n + + + + = + + Lời giải: Xét khai triển 0 1 2 2 (1 ) ... n n n n n n n x C C x C x C x + = + + + + Lấy tích phân 2 vếcận từ0 đến 2, ta được: 1 2 3 1 0 1 3 3 1 2 2 2 2 ... 1 2 3 1 n n n n n n n C C C C n n + + − = + + + + + + ⇔ 2 1 1 0 1 2 1 2 2 2 3 1 121 3 1 ... 3 243 4 2 3 1 2( 1) 1 2( 1) n n n n n n n n n C C C C n n n n n + + + − − + + + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + + + + Vậy n= 4.
Trang 1Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Ví dụ 1: Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn
2
0 2 1 2 2 2 121
n n
Lời giải:
x C C x C x C x
Lấy tích phân 2 vế cận từ 0 đến 2, ta được:
n
+
Vậy n = 4
Ví dụ 2: Chứng minh: C n0+2C1n+3C n2+ + + (n 1)C n n = +(n 2)2n−1, với n nguyên dương
Lời giải:
Ta có : x(1+x)n =xC n0+xC x n1 +xC x n2 2+xC x n3 3+ + C x n n n (1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được:(1+x)n+nx(1+x)n−1=C n0+2C n1+3C x n2 2+ + + (n 1)C x n n n (2)
Thay x = 1 vào (2) ta được điểu cần chứng minh
Ví dụ 3: Tính tổng S = 1 20110 1 12011 1 20112 1 20112010 1 20112011
Lời giải:
Ta có (1−x)2011=C20110 −C12011x C+ 20112 x2− + C20112010x2010−C20112011x2011
Suy ra x2(1−x)2011=C20110 x2−C12011x3+C20112 x4 − + C20112010x2012−C20112011x2013
1
2 2011
0
x −x dx
0 2 1 3 2 4 2010 2012 2011 2013
2011 2011 2011 2011 2011 0
C x −C x +C x − +C x −C x dx
∫
=
1
0 3 1 4 2 5 2010 2013 2011 2014
0
=1 20110 1 20111 1 20112 1 20112010 1 20112011
3C −4C +5C − +2013C −2014C
Vậy
1
2 2011
0
S=∫x −x dx
Đặt t = 1 – x ⇒dt = – dx Với x = 0 thì t = 1; với x = 1 thì t = 0
0
2 2011
1
S =∫ −t t −dt =
1
2 2011
0
(t − +2t 1)t dt
1
2013 2012 2011
0
(t −2t +t )dt
∫
=
1
2014 2013 2012
0
2
2013.2014.1006
Ví dụ 4: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng :
n
Lời giải:
Xét khai triển (1 )
n
n
01 NHỊ THỨC NIU-TƠN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Lấy tích phân hai vế của (1) ta có:
+
Từ đó dẫn tới :
n
Ví dụ 5: Tìm số nguyên dương n thoả mãn 0 1 1 1 2 1 3 1 1023
n
n
+
⋯
Lời giải:
1+x n =C n +C x C x n + n + +⋯ C x n n n ⇒∫ 1+x n dx=∫ C n +C x C x n + n + +⋯ C x dx n n n
( ) 11
1
0 0
n
n n
x
+
+
1
n
n
+ −
Ví dụ 6: Tính tổng: S =12C20111 +22C20112 +32C20113 + + 20102C20112010+20112C20112011
Lời giải:
2011 2011 2011 2011 2011
2011 2011 2011 2011
2011 2011 2011 2011
Lấy đạo hàm hai vế (2) ta được
2011 2011 2011 2011
2011 2011 2011 2011
Vậy S=2011.2012.22009
Ví dụ 7: Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niutơn của 41
n x
x
+
C + C + C + + −⋯ n C − +nC = n
Lời giải:
1+x n =C n +C x C x n + n + + C n n−x n− +C x n n n
n +x − =C + C x+ + −n C −x − +nC x −
C + C + C + + −⋯ n C − +nC =n −
7 7
0
k k
k k
−
=
Số hạng chứa x có hệ số là 2 7 1
2
k k
k k
k
− − = ⇔ =
Suy ra hệ số chứa x là 2 1 72 21
Ví dụ 8: Tìm hệ số của x20 trong khai triển 5
3
x x
+
Trang 3Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
( 1)
n
+
+
Lời giải:
Ta có
1
n
+
−
Mặt khác, (1−x)n =C n0−C x C x1n + n2 2− + − ( 1)n C x n n n
1
0
n
+
∫
k n
k
−
k
k k
≤ ≤
⇔ =
⇒ Hệ số của 20
x là: C127.25 =25344
Ví dụ 9: Cho đẳng thức C2n n++11+C2n n++21+C2n n++31+ + C22n n+−11+C22n n+1 =28 −1
1− + −x x x n.
Lời giải:
Đặt S =C2n n++11+C2n n++21+C2n n++31+ + C22n n+−11+C22n n+1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
(1 1)+ n+ =C n+ +C n+ +C n+ + + C n n−+ +C n n+ + C n n++ +C n n++ + + C n n+ +C n n++
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 n+ C n+ C n n++ C n n+ C n n+− C n n++ C n n++ C n n++ C n n++ C n n+− C n n+
( 0 1 2 2 3 3 4 4)( 0 1 3 2 6 3 9 4 12)
C C x C x C x C x C C x C x C x C x
Ta có hệ số của x10 là:−C C41 43+C C44 42 = −10
Ví dụ 10: Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niutơn của
4
1 2
n
x x
+
là số nguyên dương thỏa mãn:
2
n n
+
⋯
Lời giải:
0 1 2 2
I =∫ +x dx=∫ C +C x C x+ + +⋯ C x dx
0
2
n
+ +
Mặt khác
1 2 1 0
n n
+
Từ (1) và (2) ta có
2
n
⋯
Trang 4Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Theo bài ra thì
1
1
n
n
n
+
+
7
4
2
k
k
−
−
4
k
k
Vậy hệ số cần tìm là 12 72 21
4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của 14 7
n x x
C + +C + + +C + = −
Bài 2: Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức ( 2)
A= − −x x thành đa thức Trong đó n là số
2 C +C +C + + C n =3A n+
Bài 3: Tìm hệ số của x6 trong khai triển 2( ) 7
Bài 4: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 2( ) 8
Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 khi khai triển (1 + 2x + 3x2)10
Bài 6: Tìm hệ số chứa x10 khi khai triển P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + 3(1 + x)3 + + 15(1 + x)15
Bài 7: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của P(x) = x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10
Bài 8: Tìm hệ số của số hạng chứa
3
1
x khi khai triển
7
1
x
= − +