Nhị thức newton các dạng bài tập cơ bản tới nâng cao

NHỊ THỨC NIU TƠN 1.Các kiến thức cần nhớ: Với hai số thực a,b và n ta có công thức: Các số là các hệ số của nhị thức Số hạng tổng quát của khai triển , kí hiệu có dạng, Các hệ số của nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau: Tổng các hệ số hệ số của nhị tức nằm ở các vị trí chẳn,bẳng tổng các hệ số nhị thức ở các vị trí lẻ va øbằng = Bài tập: 1.Cho Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x.

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG TỔ HỢP

PHẦN I (ÁP DỤNG TRỰC TIẾP)

Bắt đầu từ những khai triển Newton:

a)

b)

c)

d)

Hoặc đạo hàm đến cấp 2

Tùy thuộc từng bài mà thế số mũ n, giá trị x và một trong 4 công thức trên cho phù hợp Mất những số hạng đầu ( ) ta sử dụng các công thức chứa nếu tổng không đan dấu, chứa nếu tổng đan dấu Mất những số hạng sau

ta sử dụng các công thức chứa nếu tổng không đan dấu, chứa nếu tổng đan dấu Mất một số hạng đạo hàm cấp 1, mất 2 số hạng đạo hàm cấp 2

BT1: Chứng minh

Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất và tổng không đan dấu nên ta sử dụng , đạo hàm cấp 1

Giải: Ta có

Thế ta được

BT2: Chứng minh rằng

Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất và tổng không đan dấu nên ta sử dụng , đạo hàm cấp 1

Giải:

Thay , ta có điều phải chứng minh

BT3: Chứng minh:

Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất và tổng không đan dấu nên ta sử dụng , đạo hàm cấp 2

Giải:

Thay vào đẳng thức cuối ta có điều phải chứng minh

BT4: Chứng minh

Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất và tổng đan dấu nên ta sử dụng

, đạo hàm cấp 1

Giải:

Hay

Thay ta có điều phải chứng minh

BT5: Chứng minh

Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất và tổng đan dấu nên ta sử dụng

, đạo hàm cấp 1

Giải:

Thay ta có điều phải chứng minh

Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất và tổng không đan dấu nên ta

sử dụng , đạo hàm cấp 2

Giải:

hay

Thay ta có điều phải chứng minh

BT7: Tính

Phân tích: trong tổng có tổ hợp của 12, mất và tổng không đan dấu nên ta sử

Giải:

BT8: Chứng minh

Phân tích: do đi kèm với lũy thừa, giữa các số hạng là dấu + nên ta xem như tổng không đan dấu, chứa tổ hợp của n, mất Ta sử dụng , đạo hàm cấp 1

Giải:

Thay ta có điều phải chứng minh

BT9: Chứng minh

Phân tích: vế trái chứa tổ hợp của n, đan dấu, mất nên ta sử dụng , đạo hàm cấp 1 Vế phải cũng chứa tổ hợp của n nhưng không đan dấu, mất nên ta

sử dụng , đạo hàm cấp 1

Giải:

Thay ta được

(1)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

PHẦN II (BỔ SUNG)

BT10: Chứng minh

Phân tích: tổng chứa tổ hợp của n, không đan dấu, hệ số gắn với lớn nhất nên ta

sử dụng Thông thường là song ở đây lại là , hệ số đầu chênh lệch hơn 1 đơn vị nên ta nhân thêm 2 vế với x

Giải:

Đạo hàm 2 vế ta được

Thế ta có điều phải chứng minh

BT11: Chứng minh

Phân tích: tương tự như BT10 nhưng độ chênh lệch ở đây là 2 nên ta nhân thêm trước khi đạo hàm

Giải:

Đạo hàm 2 vế ta được

Thay ta được

BT13: Với , , chứng minh

Giải:

Đạo hàm 2 vế ta được

Thay ta có điều phải chứng minh

BT14: Với , , chứng minh

Giải:

Đạo hàm 2 vế ta được

Thế ta có điều phải chứng minh

Phân tích: tổng mất , không đan đấu, gắn với nên ta sẽ sử dụng

đạo hàm Sau đạo hàm các hệ số là , nhưng hệ số đề ra lại là , ta phải đạo hàm lần nữa nhưng lại không được mất nên ta nhân thêm 2 vế với x trước khi đạo hàm

Giải:

Đạo hàm 2 vế ta được

Nhân 2 vế với x

Đạo hàm 2 vế lần nữa ta được

Thế ta được

Hay

BT16: Tính tổng

Tự làm

BT17: Tính

Tự làm

BT18: Tính

Tự làm

BT19: Tính