BAI TAP NHI THUC NEWTON

bài tập nhị thức newton hay

Chủ đề 10 : NHỊ THỨC NEWTƠN

A/ BÀI TẬP MẪU:

1 Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:

2 2

     

Giải:

Cơng thức khai triển của biểu thức là:

 

 

11 3 14 3

1

k

n

n





11 7 90

2009 2009 2009 2009

Giải:

2009 2009 2009 2009

2009 2009 2009 2009



k n k

n n

C C )

2009 2009 2009 2009 2009 2009

2SC C C  C C  C  1 1 

2008

2

S

3 Khai triển và rút gọn biểu thức 1x2(1x)2  n(1x)n thu được đa thức

n

n x a x

a a

x

P( ) 0  1   Tính hệ số a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn 8

n C

1 7 1 3

2   Giải:

Ta cã





























n n

n n n

n

n n C

) 2 )(

1 (

! 3 7 )

1 ( 2

3 1

7 1

3

§ã lµ 8.C88 C9 98 89

0 36 5

3















n n

n

Suy ra a lµ hƯ sè cđa 8 x trong biĨu thøc 8 8(1x)89(1x)9

4 Tính tổng S C 020092C120093C22009 2010C 20092009

Giải:

Xét đa thức: f (x)x(1 x) 2009 x(C02009C12009x C 22009x2  C2009 20092009x )

C02009x C 12009x2C22009x3 C2009 20102009x

* Ta cĩ: f (x)/ C020092C12009x 3C 22009x2 2010C2009 20092009x

 f (1)/ C20090 2C120093C22009 2010C20092009 (a)

* Mặt khác: f (x)/ (1 x) 2009 2009(1 x) 2008x(1 x) 2008(2010 x) 

f (1)/ 2011.22008(b)

 Từ (a) và (b) suy ra: S 2011.22008



5 Chứngminh k,nZ thõa mãn  3 k n ta luơn cĩ:

Ckn 3Ck 1n 2Ck 2n Ckn 3 Ck 3n Ck 2n

Giải:

Ta cĩ: Ckn 3Ck 1n 2Ck 2n Cn 3k Ck 3n Ck 2n Ckn3Cnk 1 3Ck 2n Ck 3n Ckn 3 (5)

 kn k 1n  k 1n  k 2n  k 2n  k 3n  kn 1 k 1n 1 k 2n 1  kn 1 k 1n 1  k 1n 1 k 2n 1

= Cn 2k Ck 1n 2 Ckn 3 ( điều phải chứng minh)

2 2

n

Giải:

 









C C  C  C  C C C C C  C (5x)! 2!  x3

100 100 100 100

Giải:

100 100 100 100

100 100 100 100 100

Lấy (1)+(2) ta được:

100 100 100 100

1x  1x 2C 2C x 2C x  2 C x

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được

100 1x 100 1x 4C x8C x  200 C x

Thay x=1 vào

100 100 100 100.2 4 8 200

8 Tìm hệ số x3 trong khai triển

n

x

x 











2

biết n thoả mãn:C12n  C23n   C22n n1  223

Khai triển: (1+x)2n thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12

Giải:

Khai triển: 





















12

0

3 24 12

12 2

2 2

k

k k k

x C x

: C127 27=101376

Niut¬n cđa

n

x











 4 2 1

1

6560 1

2 3

2 2

2

2

1 2

3 1

2

0

















n

C n C

C

n n

n n

Giải:





2 0

n n n 2

2 n 1 n 0 n 2

0

ndx C C x C x C x dx

)

x

1

(

2 0

1 n n n 3

2 n 2 1 n 0

1 n

1 x

C 3

1 x C 2

1 x





















1 n 2

n

3 1 n

2 0

1 n

2 C

3

2 C 2

2 C 2















MỈt kh¸c

1 n

1 3 )

x 1 ( 1 n

1 I

1 n 2 0 1 n

















(2)

1 n 2

n

3 1 n

2 0

1 n

2 C

3

2 C 2

2 C 2

















1 n

1

3n1









1 n

6560 1

n

1















































7 0

4 k 3 14 k 7 k

k 7

k 7 k 7 7

2

1 x

2

1 x

C x

2

1 x

4

k 3 14









VËy hƯ sè cÇn t×m lµ

4

21 C 2

1 2 7

2 

10 Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A3n8C2nC1n 49

Điều kiện n  4

Giải:









n

0 k

k n k k n

n

x

Hệ số của số hạng chứa x8 là C4n2n4

A 8C C 49

 (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49

 n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7

Nên hệ số của x8 là C4723280

B- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

1 (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng khơng chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

18 5

1













x

2 (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức

2048 1

2 2 3

2

1

2n C n  C n n 

n

3 (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của

x(12x)5+x2(1+3x)10

4 (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức

 1!

3 3 4

1





 

n

A A

149 2

4 2

3 2

2 2

1      

n

n

5 (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng khơng chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

7 4















x

6 (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n3 là hệ số của x 3n3 trong khai triển

thành đa thức của (x2+1)n (x+2) n Tìm n để a 3n3 =26n

7 (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho C n0 2C1n 4C n2 2n C n n 2048

n k

n k

C n

2

1

1 1 1



























(n, k là các số nguyên

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

9 (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của

(2+x) n, biết:

3nCn

0

3n1 C n

1

+3n2 C n

2

3n3 C n

3

+ … +(1)n C n

n

n

C là số tổ hợp

chập k của n phần tử)

n n n

n n

n C

C C

1

1 2 3

1 2 2

1

3 1 2

0



















n

11 (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x) n =a0+a1x+ … +a n x n , trong đĩ nN* và các hệ số

2 2

1

0 a  a n n 

a1,…a n

2

2 1 2 2 5

2 3

2 1

2

1 2

1 2 2

1 6

1 4

1 2

1

n

n n

n n

n

n

C n C

C C













n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

13 (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của

n

x









 7

4

1

, biết rằng C12n1C22n1C2n n1 220 1, (n nguyên dương và k

n

chập k của n phần tử)

14 (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho

2 1.2 2005 2

4 2

3 2

2 22 1 2 23 1 3 24 1 2 22 11

1

1

2n  C n  C n  C n   n n C n n 

n

của n phần tử)

15 (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8

16 (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của

n

x









 5

3

1

, biết rằng C n n14 C n n3 7n3, (n nguyên dương, x>0, ( k

n

k của n phần tử)

17 (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức

n x n n

n x x

n n x

n x

n

n x

n

n

x

x

C C

C















































































































































3 1

3 2 1 1 3

1 2 1 1 2

1 0 3

2

1

2 2

2 2

2 2

2

5 n

và x

x trong khai triển đa thức: 2 3 x2nbiết

2n 1 2n 1 2n 1 2n n1 1024

n

chập k của n phần tử )

20 (ĐH-D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của

7 3

4

1

x

x



1 x 1 x

x trong khai triển nhị thức Newton của:

5 3

x

x



4 3 7( 3)

23 (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3là hệ số của 3n 3

1n 2 n

x trong khai triển nhị thức Newton của:

7

4

x

x



2n 1 2n 1 2n 1 2n n 1 2 1

25 (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A3n8C2nC1n 49

26 (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n nguyên dương luơn cĩ

nC0nn1C1n  1n2Cnn2 1n1Cnn10

27 (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton (1+3x)2n biết rằng A n3  2A n2  100 (n là số nguyên dương)

) 2 )(

1 (

3 3











n n

n

C

A n n

Tính tổng

n n n n

n

C

S 22. 2  32 3  42 4   (  1 ) 2.

29 (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton

n n n

n n n n

n

n

C x

C x C x

C

x 1 )       

30 (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương

n.2 C (n 1).2  C 2C  2n.3 

31 (ĐH-A-2008) Cho khai triển: 1 2 xn a0a x1  a x n n Trong đó *

0, 1, , n

0 4096

n n

a a

1 1







( n là số nguyên

5

2n 1 2.2 2n 1 3.2 2n 1 4.2 2n1 2 1 2 n 2n n1 2005

0 2 1 1 2 1 2 2 1

n

n

n





2 4 2n n 243

36 (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức:

1 3

,

1 !

M

n

 



1 2 2 2 3 4 149