Bài tập nhị thức Newton

§ Bài Nhị thức Newton được học trong lớp với một thời lượng khá khiêm tốn và lượng kiến thức học sinh cần nắm là không nhiều.. Tuy nhiên, nếu ta nghiên cứu kĩ thì nó có thể ứng dụng để g

§ Bài Nhị thức Newton được học trong lớp với một thời lượng khá khiêm tốn và lượng kiến thức học sinh cần nắm là không nhiều Tuy nhiên, nếu ta nghiên cứu kĩ thì nó có thể ứng dụng để giải rất nhiều loại bài toán khác nhau

Mặc dù yêu cầu của Sách giáo khoa thì rất nhẹ nhưng nếu ta để ý đến các bài toán trong các đề thi Đại học gần đây thì không nhẹ tí nào Vậy ta học như thế nào cho đủ Thật không đơn giản phải không các em?

Để giúp các em phần nào tháo gỡ những khó khăn trên, tôi viết ít trang tài liệu này gởi đến các

em Rất mong các em học tốt

§ Kiến thức cần nắm:

© Cơng thức khai triển nhị thức:

0

n

k

a b C a − b C a C a b− C a b− C a − b C b

=

Tuy nhiên trong thực tế ta hay sử dụng dạng khai triển sau:

0

n

k

=

© Một vài tính chất đơn giản:

1/ Trong khai triển ( * ) thì số các số hạng là n+1 Trong mỗi số hạng thì tổng số

mũ của a và b bằng n

2/ Vì k n k

C =C − nên trong khai triển ( * ) thì các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau

3/ Trong khai triển ( * ) thì số hạng thứ k +1 là 1 k n k k

T+ =C a − b được gọi là số hạng tổng quát và hệ số của nĩ là k

n

C

4/ Trong ( ** ) ta cho x=1 thì ta cĩ: 0 1 2

n 2n

C +C +C + +C = 5/ Trong ( ** ) ta cho x= −1 thì ta cĩ: 0 1 2 3 ( )

C −C +C −C + + − C = § Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tìm hệ số của một số hạng trong khai triển

Ví dụ 1: Trong khai triển nhị thức: 14

n

a a

a

 + 

  cĩ hiệu số giữa hệ số của số hạng

thứ ba và thứ hai là 44 Tìm hệ số của số hạng thứ bảy

Giải

Ta có: 2 1 ( 1)

2

n n

C −C = ⇔ − − =n ⇔ =n

Vậy hệ số của số hạng thứ bảy bằng C116 =462

Ví dụ 2: Trong khai triển 2 2 n

x x

 − 

  biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu bằng 37

Hỏi số hạng thứ mấy là 4

1120x ?

Giải

Theo đề bài ta có:

2

C +C +C = ⇔ + +n − = ⇔ =n

2

2

k

k

x

+ = −  = −

 

x nên

ta phải có: 16 3− k = ⇔ =4 k 4

Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ năm

Ví dụ 3: Cho khai triển

40

2

1

x x

 + 

  Tìm hệ số của

31

x

Giải

1 k

k

x

+

 

=   =

Vì T k+1 chứa 31

x nên ta phải có 40 3− k =31⇔ =k 3 Vậy hệ số cần tìm là

3

Các bài toán tự giải:

Bài 1: Cho khai triển

1

3 2

n x

5

C = C và số hạng thứ tư bằng

35 Tìm x và n

Bài 2: Tìm hệ số của 5

x trong khai triển ( ) (4 ) (5 ) (6 )7

1+x + +1 x + +1 x + +1 x

Bài 3: Khai triển ( ) 2

n

− = + + + + Tìm a5 biết a0 + + =a1 a2 71

Bài 4: Tìm hệ số của 10

x trong khai triển (2+x)n biết rằng:

C − − C + − C − − C + + − C =

Dạng 2: Tính toán

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: 1 2 2 9 9

M = C + C + + C

Giải

Trong khai triển ( ** ) cho x=4 và n=10 được :

5 =C +4C +4 C + + 4 C +4 C

Suy ra:

Ví dụ 2: Tính 1 3 5 19

N =C +C +C + +C

Giải

Cách 1:

Trong khai triển ( ** ) cho x= −1,n=20 ta được:

0=C −C +C − + C −C +C

Suy ra:

C +C + +C +C =C +C + +C

Ta lại có :

2 =C +C +C + + C =2N ⇒ =N 2

Cách 2:

C =C −− +C − Vận dụng vào biểu thứ của N :

N =C190 +C191 +C192 +C193 + + C1918 +C1919 =219

Các bài toán tự giải

Bài 1: Tính 10 0 9 1 0 10

K = C + C + + C

Bài 2: Tính 4 4 4

M =C +C + +C

Bài 3: Tính 1 2 3 2007

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ( ) ( )0 2 1 2 ( )2

2

C + C + + C =C

Giải

Ta xét khai triển:

2

2 0

1

n

n k

=

+ =∑ Suy ra hệ số của n

x trong khai triển trên là 2n

n

C

1+x n = +1 x n x+1 n

Hệ số của n

x trong tích trên là ( ) ( )0 2 1 2 ( )2

C + C + + C Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài trên còn có thể giải bằng cách khác, nhưng cách giải này còn có thể áp dụng cho việc giải nhiều bài tập tương tự

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 0 1 2 2

C +n C +n C + +n C ≥ n

Giải

Trước hết ta dễ dàng chứng minh được hai điều sau đây:

1 2 3

2

n n

+ + + + =

n n n

+ + + + ≥

Từ đó ta sẽ có:

n ≤ +n =C +n C +n C + +n C

Các bài toán tự giải

Bài 1: Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )0 2 1 2 2 2 ( )2 4

1

n n

n

Bài 2: Chứng minh rằng:

1

4

n n n

n

+

≤  ∀ ∈

+

Bài 3: Chứng minh rằng: 0 1 1 2 2 0

C C +C C − +C C − + +C C =C +