Ví dụ1:Tìm hệsốcủa 4 x trong khai triển Niutơn của biểu thức 2 10 (1 2 3 ) P x x = + + Lời giải: Ta có 10 10 2 10 2 10 10 0 0 0 (1 2 3 ) (2 3 ) ( 2 3 ) k k k k i k i i k i k k k i P x x C x x C C x − + = = = = + + = + = ∑ ∑ ∑ Theo giảthiết ta có 4 0 1 2 0 10 4 3 2 , k i i i i i k k k k i k N + = = = = ≤ ≤ ≤ ⇔ ∨ ∨ = = = ∈ Vậy hệsốcủa 4 x là: 4 4 3 1 2 2 2 2 10 10 3 10 2 2 2 3 3 8085 C C C C C + + = .
Trang 1Ví dụ 1: Tìm hệ số của x4trong khai triển Niutơn của biểu thức P= +(1 2x+3x2 10)
Lời giải:
Ta có
k
k
Theo giả thiết ta có
4
,
k i
+ =
∈
Vậy hệ số của x là: 4 C10424+C C103 312 32 +C C102 2232 =8085
Ví dụ 2: Cho khai triển ( )
0
n
n k n k k
n k
=
Quy ước số hạng thứ i của khai triển là số hạng ứng với k= −i 1
Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong khai triển
8
1 1
3 1 log 3 1 log 9 7 5 2 2
x
−
+
là 224
Lời giải:
2
1
log 3 1
x
−
Số hạng thứ 6 của khai triển ứng với k = 5 là ( )1 3 ( ) 1 5 ( )( )
1
Treo giả thiết ta có ( )( ) 1
1
1
1
2
x
x
x x
−
−
−
=
+
=
1 2+ x x + +x 1 = +a o a x+a x + + a x Hãy tìm giá trị của a6
Lời giải:
Ta có
4
3 ) 1 2 ( 4
1
) 2 1 ( 16
9 ) 2 1 ( 8
3 ) 2 1 ( 16
1 ) 1 (
2
Trong khai triển ( )14
2
1+ x hệ số của x là: 6 2 C ; Trong khai triển 6 146 ( )12
2
1+ x hệ số của x là: 6 2 C 6 126
Trong khai triển ( )10
2
1+ x hệ số của x là: 6 2 C 6 106
16
9 2
8
3 2
16
10 6 6
12 6 6
14 6
a
1 2− x = +a o a x+a x + + a x Tính tổng: S = a0 +2a1 +3a2 + + 2014a2013
Lời giải:
(1 2 )x 4026 (1 2 )x x a 2a x 3a x 2014a x
Nhận thấy: a x k k = a k (−x)k do đó thay x= −1 vào cả hai vế của (*) ta có:
01 NHỊ THỨC NIU-TƠN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Ví dụ 5: Tìm hệ số của x7trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n x
−2
2
, biết rằng n là số nguyên
dương thỏa mãn 4C n3+1+2C n2 = A n3
Lời giải:
6
) 1 ((
) 1 ( 4 2
4C n3+1+ C n2 =A n3 ⇔ n+ n n− +n n− =n n− n− n≥
2(n 1) 3(n 1) 3(n 3n 2), n 3 n 12n 11 0, n 3 n 11
11
0
3 22 11
11
0
11 2 11
11
=
−
=
−
=
−
k
k k k
k
k k
k
x C
x x
C x
x
Số hạng chứa x7 là số hạng ứng với k thỏa mãn 22−3k=7⇔k =5
Suy ra hệ số của x trong khai triển là 7 C115.(−2)5 =−14784
Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 1
C ++ −C + = n+ Tìm hệ số của 8
x trong khai triển: 5
3
2 ( )
n
x
với x>0
Lời giải:
Ta có 1
Với n = 12 ta có nhị thức:
3
2
x
−
Hệ số chứa x thỏa mãn8
4
60 11
8 2
k
k k
≤ ≤
⇔ =
− =
8
x là 4 4
122 7920
Ví dụ 7: Cho biết hệ số của số hạng thứ tư của khai triển 2
5
1
2
n x
x x
+
bằng 70 Hãy tìm số hạng không
chứa x trong khai triển đó
Lời giải:
Ta có
16 2
5
0
5 2
n
k
k
x x
−
=
−
Suy ra hệ số của số hạng thứ tư là: C n3.2−3
Từ đó có :C n3.2−3=70⇔n n( −1)(n− =2) 560⇒n=16
Khi đó số hạng không chứa x trong khai triển ứng với giá trị k thoả mãn:2.16 16 0 10
5
k
k
Vậy số hạng không chứa x là: 1610.2 10 1001
128
C − =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức 2 4 13
n
x x
+
, (x ≠ 0) Biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn C n2+2A n2+ =n 112
Trang 3Bài 2: Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức 2 3
n
x x
−
, biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
n
C −− +nA =
Bài 3: Tìm hệ số của x trong khai triển: 9 ( )2
*
n
− ∈ℕ , biết 22 143 1
3
C + C = n
Bài 4: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của biểu thức: 4 (1+ +x 4x2 10)
Bài 5: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 6 2( )5 ( )7
( ) 2 1 3 3 1 2
Bài 6: Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức ( ) 2( )2
P=x − x +x + x , biết rằng A n2 −C n n+−11=5
P x =a +a x+a x + +a x Hãy xác định hệ số a9
được dạng dạng: P x( )=a0+a x1 +a x2 2+ + a x20 20 Tìm hệ số a15?
P x = −x =a +a x+a x + +a x Tìm hệ số a78?
a Tính hệ số a46?
b Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … a50
Bài 11: Trong khai triển của nhị thức
21
3
3
+
, tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống nhau?
Bài 12:
a) Trong khai triển 14
+
n
x x
x cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai là 44 Tìm n
b) Cho biết trong khai triển 2 1
n x
x
+
, tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46 Tìm hạng tử không chứa x
c) Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển 2 2
3
n x
−
là 97 Tìm hạng tử của khai triển chứa x4
n
khai triển là 5 Tìm số hạng chính giữa?
Trang 4Bài 14: Cho khai triển 3 0( )3
n
n
Biết tổng ba hệ số đầu là 33 Tìm hệ số của số hạng chứa x2
Bài 15: Trong khai triển nhị thức
28
n
−
+
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết rằng n là số
nguyên dương thỏa mãn C n n+C n n−1+C n n−2 =79